Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation

[invitee0cc8045]

Bonjour les Maths Addict !!
Je vous présente mon problème, et surtout l’endroit ou je bloque… !
( 1 0 0 )
( 1 2 0 )
( -3 -3 3 )
Ceci est ma tentative de reproduction de ma matrice M, la base canonique…
J’en ai déduit les Valeurs propres pas très élaborés du fait qu’elle soit triangulaire. Donc VP sont 1, 2 et 3, et la un souci vient quand je tente, de trouver les espaces propres ainsi que leurs vecteurs associé :
Pour VP=1 on a
x = x  0=0
x+2y=y  x=-y
-3x-3y+ 3z=z  2z=0
Bizarre non ?? Quel vecteur je peux en déduire… ?
Pour VP=2 on a
x=2x  x=0
x+2y=2y  x=0
-3x-3y+3z=2z  z=3x+ 3y
La encore je ne vois pas bien ce que je peux en déduire… ?
Pour VP=3 on a
x=3x  x=0
x+2y=3y  x=y
-3x-3y+3z=3z  -x=y
Enfin la encore ca dépasse tout ce que j’ai vu auparavant… me suis-je trompé ?
Je ne saisis pas bien les vecteurs à déduire.
J’espère que vous saurez m’aiguiller.
Merci
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[invitebb921944]

Bonjour, un vecteur propre est un vecteur non nul qui vérifie ton système.
Or x=x n'est pas vérifié uniquement pour x=0.
Il suffit par exemple de prendre x=1.
Tu as alors y=-1 et z=0.
Un vecteur propre pour la valeur propre 1 serait donc (1,-1,0) par exemple.

Pour la valeur propre 2, tu as nécessairement x=0.
Comme l'équation x+2y=2y ne te donne pas de condition sur y, tu peux prendre y=1 par exemple (l'égalité x+2y=2y est vraie pour tout y puisque x=0).
Il suffit donc de déduire un z valable par ta dernière équation.

Pour la troisième valeur propre, tu trouves nécessairement x=y=0. Cela dit la dernière équation ne te donne aucune information sur z puisque l'égalité -3x-3y+3z=3z est vraie pour tout z (car x=y=0).
Il suffit donc de prendre z=1 par exemple.

Voilà !

[invitee0cc8045]

Je te remercie,

Tout devient plus limpide... !