Méthode fiable pour diagonaliser ou trigonaliser

[invite0bb7e7cc]

Bonsoir à tous les amis !

Je suis étudiante, et j'aurais quelques questions...

Tout d'abord, comment sait-on si une matrice est diagonalisable ou sinon trigonalisable?

Quelle est la marche à suivre pour diagonaliser une matrice (les étapes) ?
J'ai compris qu'il fallait qu'on trouve les valeurs propres à partir du polynôme caractéristique, puis on en déduit les vecteurs propres (c'est à partir de là que j'ai un peu de mal, pourriez m'expliquer comment vous faites?) ... et voilà, après que dois-je faire ?!

Merci de m'aider !!!

Virginie 19 ans du 64 !!!
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[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,
je ne sais pas ce que tu as vu en cours mais de maniere generale.


On prendre une matrice A réel (pour simplifier) qui représente un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E.

On cherche ses valeurs propres en factorisant le polynome caracteristique.
Les valeurs propres sont les racines du polynomes caracteristiques:

Si est une valeur propre de A alors c'est une racine du polynome caracteristique

autrement dit
autrement dit l'endomorphisme n'est pas injectif
autrement dit
autrement dit il existe un vecteur v different du vecteur nul dans ce noyau.

donc

Ce vecteur v est appelé vecteur propre associée à la valeur propre

Et on appele le sous espace vectoriel sous espace propre associé à la valeur propre

Une matrice A est diagonalisable si et seulement si il existe une base B de E composée uniquement de vecteurs propres de A.


De maniere general si on note le sous espace propre associé à la valeur propre et si A admet p valeurs propres distinctes



A est diagonalisable si et seulement si il y a égalité.

Dès lors que l'on a les valeurs propres de A, on cherche une base de chaque espace propre, comment?

L'espace propre d'une valeur propre est le noyau de , pour trouver une base de cette espace, on ecrit la matrice , et on cherche une base de son noyau en prenant un vecteur quelconque x=(x1,...,xn)
et on écrit C(x)=0 sous forme de systeme, on resout ...

Si on obtient autant de vecteurs propres libres que la dimension de E(autrement dit si la somme des dimensions des espaces propres vaut la dimension de E), alors A est diagonalisable. Sinon, A n'est pas diagonalisable.


Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynome caracteristique est scindé. (en paticulier toute matrice à valeur complexe est trigonalisable).

[invite0bb7e7cc]

Salut!
Je comprends tes explications jusque là:

Une matrice A est diagonalisable si et seulement si il existe une base B de E composée uniquement de vecteurs propres de A.

Tout ce que tu me mets, ressembles à mon cours, donc j'aimerais bien avoir une explication plus simple...(autrement qu'avec le langage mathèmatique) même si les exemples sont triviaux...^^

SI j'ai bien compris, une matrice est diagonalisable ssi l'ordre de multiplicité de ses valeurs propres est 1 ?

Et que veut dire :

son polynome caracteristique est scindé

Et ensuite, comment obtient-on notre matrice diagonale ou triangulaire?
Dans le premier cas, c'est simple (je crois, il faut recopier les valeurs propres sur la diagonale et remplir de "0" le reste), dans le second cas, je ne pige pas trop (on recopie toujours les valeurs propres sur la diagonale, on remplit de zéros le triangle inférieur(/supérieur), on ajoute un "1" au dessus de la dernière valeur propre...) enfin je ne suis pas trop au point!

Et il y a aussi une histoire de matrice de passage pour avoir A'=P^-1*A*P, que veut dire cette égalité ?

Merci de me répondre !!!

Bisous à tous, Virginie

[invite7ffe9b6a]

Qu'est ce qu'une base d'un espace vectoriel?
si on prend


la matrice représentative d'un endomorphisme f de E dans une base (e1,e2,e3).

Combien vaut f(e1), f(e2) et f(e3) ?


Que veut dire , deux matrices A et B sont semblables?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0bb7e7cc]

Qu'est ce qu'une base d'un espace vectoriel?
si on prend


la matrice représentative d'un endomorphisme f de E dans une base (e1,e2,e3).

Combien vaut f(e1), f(e2) et f(e3) ?

je résouds le système et j'obtiens . Est-ce bien cela? Sinon pourriez vous m'expliquer svp??

Que veut dire , deux matrices A et B sont semblables?

C'est quand les coefficients sont égaux à un Lambda près, non ?

Merci de votre aide!

[invite7ffe9b6a]

non,

si A est la matrice représentative de f dans la base(e1,e2,e3) alors la premiere colonne de A est le vecteur f(e1) (exprimé dans la base (e1,e2,e3) ),
le deuxieme f(e2), le troisieme f(e3).

On a donc f(e1)=2e1+e2+e3 dans la base (e1,e2,e3)

f(e2)=e1+2e2+e3




A,B sont semblables cela veut dire qu'il existe une matrice inversible P tels que: