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Méthode pour trigonaliser une matrice

  1. #1
    dj_titeuf

    Question Méthode pour trigonaliser une matrice

    Bonsoir,

    Je viens vous demander votre aide afin que vous m'expliquiez svp comment trigonaliser une matrice, concrètement.

    Par exemple, considérons la matrice suivante:



    Tout d'abord, j'ai déterminé le polynôme caractéristique:



    On en déduit directement que est valeur propre triple de .

    De là, j'ai déterminé le sous-espace propre associé à cette unique valeur propre. Je trouve . J'appelle alors .

    On cherche à présent deux vecteurs et pour compléter afin de constituer une base. (D'ailleurs, une base pour la nouvelle matrice qu'on cherche à obtenir?)

    Pour l'instant, on sait que (la matrice trigonalisée qu'on cherche à avoir) aura la forme:



    Il nous faut donc déterminer , et , ainsi que la matrice de passage. Et c'est là que je ne sais plus comment faire, raisonner...

    En espérant que vous m'aiderez à terminer et à pouvoir appliquer une méthode à tout type de matrice "semblable" à celle-ci, merci d'avance.

    Bonne soirée!

    -----

    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  2. Publicité
  3. #2
    Scorp

    Re : Méthode pour trigonaliser une matrice

    Tu dois pouvoir déjà prendre b=0 et a=c=1, ca simplifiera les calculs. Apres, l'idée s'est d'écrire les relations que tu as avec tes vecteurs de base.
    Par exemple, tu auras : A.e1=-e1; A.e2=e1-e2 etc...(si tu as pris b=0 etc..., tu vois que ca va être plus simple à résoudre).
    Après, il ya en gros deux méthodes : 1) la méthode bourin, tu résout ton systeme comme tu peux
    2) t'essaye de voir dans quel espace chercher ces vecteurs de bases e1, e2, e3 : Pour cela, tu vas devoir aller chercher les sous espaces A+I, (A+I)² etc... Reporte toi à la méthode dîte de Jordanisation (j'ai fait un topic il y a quelques temps sur ca, chercher le dans ce forum) => Cette méthode est très efficace, mais plus dure à assimiler, avec une bonne partie théorique dernière si on veut généraliser etc...
    Bref, essaye de lire les topics sur le forum et laisse un message s'il y a des choses que tu ne comprends pas.

  4. #3
    dj_titeuf

    Re : Méthode pour trigonaliser une matrice

    Mais le but n'est-il pas justement de trouver les trois réels a, b et c?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]

  5. #4
    Scorp

    Re : Méthode pour trigonaliser une matrice

    Non, pas vraiment. Tu as dû remarquer que ces réels n'étaient pas unique. On va donc rapidement pouvoir les imposées. Bien sûr, il y aura quelques conditions à respectées : par exemple, je ne peux pas prendre a=b=c=0. Le plus simple, c'est donc de les prendre comme je les ai indiqué : le problème, ce n'est plus alors de savoir quels sont les réels a, b, c mais plutôt quels sont mes vecteurs de base pour obtenir a=c=1 et b=0 => Les inconnues sont alors e1, e2, e3 ! (c'est un peu comme une diagonalisation : obtenir le spectre est "relativement" facile, mais trouver la matrice de passage, c'est plus dur)
    Rq : on prend souvent a=c=1 et b=0 car on obtient une matrice simple (par exemple, si elle correspond à la résolution d'une équa diff, ca nous fera un systeme plus simple que si on avait pris a, b etc quelconques)

    Regarde ce topic, ca devrait t'aider : http://forums.futura-sciences.com/thread161141.html

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