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Valeurs/ Vecteurs propres



  1. #1
    Hawkboy

    Valeurs/ Vecteurs propres


    ------

    Voilà mon énoncé :
    Soient E un espace euclidien, a € E-{0}, k € R*, f € L(E) définie par :
    pour tout x€ E, f(x) = x + k <a,x> a

    Il me faut déterminer les valeurs et vecteurs propres de f.


    Je sais donc qu'il faut trouver par exemple un q tel que il existe un x différent de 0 tq f(x)=qx
    J'avais pensé à f(x)= <x,1> + k <a,x> a
    et après mettre en un seul produit scalaire mais ça ne donne rien...

    Voilà si qqn pouvait me mettre sur une piste ça serait sympa ! Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    pat7111

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    Citation Envoyé par Hawkboy Voir le message
    J'avais pensé à f(x)= <x,1> + k <a,x> a
    Cette ecriture n'a pas de sens. d'autant que x est un vecteur et que <x,1> est un scalaire que tu essayes ensuite d'additionner a un vecteur.

    Une idee eventuelle, c'est d'ecrire la matrice de f dans la base canonique mais je ne sais pas si cela aboutit (m'a l'air un peu bourrin comme approche...)
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  3. #3
    lapin savant

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    Salut,
    on peut remarquer que les vecteurs orthogonaux à a sont des vecteurs propres de f associés à la v.p. 1. Je ne sais pas si ça t'avance...
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  4. #4
    Hawkboy

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    C'est ce que j'avais fait entre temps lapin savant, si a orthog à x, alors <a,x>=0
    donc f(x)=x d'ou q=1

    Mais le problème reste quand même le cas où a n'est pas orthog à x

    J'avais aussi pensé aux matrices pat, mais en réalité je buggue sur cet exo dans le sens où je ne sais pas quoi faire de mon <a,x>...


    Merci d'avoir répondu ^^

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    acx01b

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    si x est colinéaire à a, on peut écrire x = y.a

    ce qui nous donne
    <x,a> . a = ?
    et donc f(x) = ?

  7. #6
    Ledescat

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    Salut,

    Si tu cherches un vecteur propre non orthogonal à a, tu peux voir facilement que ce vecteur propre est nécessairement colinéaire à a.

    Tu as en effet dans ce cas : (q-1).x = k<a,x> a=m.a où m est un scalaire.

    Cdlt,
    François
    Cogito ergo sum.

  8. #7
    Hawkboy

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    Merci...

    Je me mets aux vecteurs propres...

  9. #8
    Hawkboy

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    Encore une fois merci...

    J'ai un autre exo dans ma feuille de TD et je ne sais absolument pas comment partir...

    Dans R^4 euclidien, on considère V1=(1,2,-1,1)
    V2=(0,3,1,-1)
    et F=Vect({V1,V2})
    Déterminer une base orthogonale et un système d'équation de orthogonale de F


    Déjà, trouver une base orthog d'un orthog de F, ça revient pas à trouver une base de F , Enfin je ne pense pas, mais dans ce cas je dois déjà trouver orthog de F pour trouver une base orthg...

    Cad 1 vecteur orthogonal à V1 et 1 autre à V2, ou 2 vecteurs orthog à V1 Et V2... ?

  10. #9
    acx01b

    Re : Valeurs/ Vecteurs propres

    tu compliques tout là !

    F est de dimension X (à toi de trouver X)
    donc ta base ortogonale de F c'est une famille f1 de X vecteurs orthogonaux

    ensuite comme F est inclus dans R^4 et que R^4 est de dimension 4, orthoF est de dimension 4-X, et donc ce qu'on te demande c'est une famille f2 de 4-X vecteurs formant une base orthogonale de orthoF

    quelles sont les conditions pour que f1 soit une famille de vecteurs de F, et que les vecteurs de f1 soient orthogonaux ?

    pareil avec f2

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