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suite



  1. #1
    poinserré

    Question suite


    ------

    bonsoir tous le monde ;

    j'aurai besoin d'aide pour ce qui suit :

    Soient deux réels a et b. On considère les suites vérifiant la relation de récurrence



    a) Montrer qu’une telle suite est entièrement définie par la donnée de ,puis que ces suites forment un espace vectoriel isomorphe à pour l’addition et la multiplication externe par un scalaire.

    merci
    cdt

    -----

  2. #2
    thepasboss

    Re : suite

    Bonsoir,

    Pour montrer que u0 et u1 définissent entièrement la suite... Ca sent la récurrence non ? ^^

    Sinon pour montrer que tu as à face à toi un espace vectoriel, il s'agit juste de vérifier les axiomes un à un. Ou plus simple si tu as vu que l'ensemble des suites est un espace vectoriel montrer que tu as là un sous-ev ^^

    Pour la dernière question, il suffit de montrer qu'il est de dimention 2. Indice : c'est en rapport avec la toute première question sur u0 et u1 ^^

  3. #3
    poinserré

    Re : suite

    bonsoir ;

    y a-t-il une personne qui puisse me détailler le raisonnement pour démontrer que uo et u1 définissent entièrement la suite ...

    merci
    cdt

  4. #4
    ericcc

    Re : suite

    Par récurrence c'est évident non ? Si tu as les valeurs de Un et Un-1, tu as celle de Un+1.
    Tu as U0 et U1, donc U2...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    thepasboss

    Re : suite

    Montre par récurrence que si tu as deux suite de E(a,b) qui ont leur deux premiers termes égaux, alors ces deux suite coïncident pour chaque terme (d'où la récurrence)

  7. #6
    poinserré

    Re : suite

    supposons 2 suites () et () tel que :





    et uo=vo u1=v1

    soit p(n): pour tout entier n ,

    p(2) est vérifiée :


    soit un entier k fixé,tel que p(k) soit vérifiée :

    , comment montrer l'hérédité au rang k+1


  8. #7
    poinserré

    Re : suite

    je pense avoir trouver , corriger moi si je me trompe

    <=>

    =>

    =>

    on en déduit alors :



    =>

    car par hypothèse donc , d'ou :



    la suite je sais faire ...

  9. #8
    poinserré

    Re : suite

    y a-t-il une personne qui puisse confirmer le raisonnement !!!

    merci
    cdt

  10. #9
    thepasboss

    Re : suite

    Toi de même ^^

    Bon sinon il faut faire une récurrence forte.

    A savoir : p(n) : "pour tout k inférieur ou égale à n, on a u(k) = v(k)"

    p(2) est vérifié.

    soit n supérieur à 2 tel que p(n), alors on a pour tout k inférieur à n u(k) = v(k).

    Donc on a que a*u(n) + b*u(n-1) = a*v(n) + b*v(n-1) donc u(n+1) = v(n+1). Et donc comme on a p(n), on a alors p(n+1).

  11. #10
    poinserré

    Re : suite

    dsl , g craqué

    sinon , le raisonnement que j'ai fait , il est bon ou il y a une erreur ???

    merci
    cdt

  12. #11
    poinserré

    Re : suite

    quelqu'un peut justifier que est un e.v en vérifiant les axiomes un par un , je sais pas trop comment m'y prendre

    merci
    cdt
    Dernière modification par poinserré ; 14/02/2009 à 19h01.

  13. #12
    thepasboss

    Re : suite

    pour ton raisonnement je dirais qu'il n'est pas valable avec l'hypothèse de récurrence telle que tu l'a formulé :


    dire que a*u(k-1) + b*u(k-2) = a*v(k-1) + b*v(k-2) => a*u(k-1) = a*v(k-1) en ayant juste supposé que u(k) = v(k)...

    Sinon pour montrer que c'est un espace vectoriel, tu peux le faire toi même ! Montre que tu as un sous-ev de l'espace vectoriel des suites réels en prenant les points à montrer un à un :

    1) que tu as un sous ensemble des suites réels
    2) que tu as un sous groupe additif de l'ensemble des suites réels
    3) et les quelques bidules provenant de la multiplication par un réel.

  14. #13
    poinserré

    Re : suite

    ou est l'erreur ???

    "pareil" pour

    je ne fais qu'utiliser la formule de récurrence de l'hypothèse et a et b étant deux réels fixés on a donc en faisant l'égalité membre à membre :

    et aussi mais dont je n'ai pas besoin pour le raisonnement .....

    ensuite pour montrer que est un e.v je dois montrer qu'il vérifie la loi d'addition et la loi externe dite de multiplication par un scalaire ?????

  15. #14
    thepasboss

    Re : suite

    Bon...

    formulée de cette manière, "p(n): u(n) = v(n)" pour tout entier n , n supérieur ou égale à zéro, alors oui ton raisonnement est faux.

    Avec p(k), k plus grand que deux tu as juste u(k) = v(k), càd :

    a*u(k-1) + b*u(k-2) = a*v(k-1) + b*v(k-2) , ce qui ne te permet absolument pas de déduire que u(k-1) = v(k-1)

    Ou alors cela veut dire que tu es entrain de me dire que comme :

    1*2 + (-1)*2 = 1*3 + (-1)*3, alors 2 = 3...


    Sinon pour l'espace vectoriel : ouvre ton cours, prends toutes les conditions que doit vérifier un espace vectoriel et vérifie les une à une méthodiquement...

  16. #15
    deiki

    Re : suite

    J'sais pas trop. Une idée comme ça en vrac : tu pourrais pitêt essayer d'utiliser une formulation matricielle de la relation de récurrence.



    Si tu veux la matrice colonne avec u(k+2) et u(k+1) à partir de celle avec u(1) et u(0), il suffit de multiplier k+1 fois par la matrice carrée.

    Avec valeurs/vecteurs propres, tu pourrais carrément calculer le terme général de la suite à partir de u0 et u1 ( même si ce n'est pas demandé ), et là t'as flingué la première question

  17. #16
    poinserré

    Re : suite

    ola

    je suppose que pour un entier naturel fixé , p(k) est vraie !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    donc explique moi comment tu fais pour avoir

    cette égalité si a et b sont 2 réels fixé non nuls ( autrement qu'en

    ayant et ) je suis à l'écoute ....

  18. #17
    thepasboss

    Re : suite

    Ecrit moi, avec guillemets et tout et tout ta condition p(n).

  19. #18
    poinserré

    Re : suite

    deiki me parle pas de matrice sinon c moi que je vais flinguer ...

    non si tu veux en supposant que le raisonnement par récurrence est juste , il me reste à démontrer que les suites () forment un e.v ( et je sais pas comment faire exactement ) et puis trouver une application de -> , montrer qu'elle est linéaire et bijective afin de montrer l'isomorphisme de sur pour les opérations qu'on me demande, voilà .....

  20. #19
    thepasboss

    Re : suite

    Problème, sincèrement, dire que u(k) = v(k) => u(k-1) = v(k-1) c'est totalement faux.

    Enfin bref, puisque visiblement tu veux la solution...
    clairement E(a,b) est inclu dans E l'espace vectoriel des suites réels.

    Ensuite pour u et v deux suites de E(a,b), je te laisse vérifier toi même que u-v est bien aussi dans E(a,b) et donc que E(a,b) est un sous groupe additif de E. Ensuite sauf oublie de ma part, tu as juste à montrer que tu as la stabilité par produit externe : a savoir que pour tout c réel et u dans E(a,b), c*u est dans E(a,b).

    L'isomorphisme ? Si tu veux l'exhiber tu prend f de E(a,b) dans R² qui a tout élément u de E(a,b) associe ( u(0),u(1) ).

    Sinon tu peux aussi montrer que les deux suites u et v définies par u(0)=1 et u(1)=0, et v(0)=0 et v(1)=1 forment une base de E(a,b) et donc que E(a,b) est de dimension deux, donc isomorphe à R².

    Content ?

  21. #20
    poinserré

    Re : suite

    revenons a la demonstration par récurrence !!!

    la proposition est ; p(n) : pour tout entier naturel supérieur à 2 .

    - p(2) est vérifiée
    - je suppose que p(k) est vraie pour un entier fixé et je montre qu'elle l'est pour k+1 , donc que p(k+1) est vraie aussi ....

    je vois pas ou j'ai fais d'erreur dans mon raisonnement , mais on ne sait jamais , donc c'est pour ça que je demande confirmation ..... enfin j'essaie

  22. #21
    thepasboss

    Re : suite

    Bon, alors ton hypothèse de récurrence, formulé tel quel, c'est donc:

    P(n) : "u(n) = v(n)" pour tout entier n ?

    Donc si c'est ça, dire que tu as p(n) de vérifier pour un n donné, ça implique juste que u(n) = v(n) pour un n donné, et c'est tout, pas d'autre information sur les autres termes de la suite.

    Ensuite tu dis a*u(n-1) + b*u(n-2) = a*v(n-1) + b*v(n-2) => u(n-1) = v(n-1). Et bien ça, formellement, c'est complètement faux ! Comme ton hypothèse de récurrence ne te donne aucune indication sur u(n-1), u(n-2),v(n-1) et v(n-2) tu dois les considérer comme des réels totalement inconnus. Et donc ton implication est fausse. (cf : 1*2 + (-1)*2 = 1*3 + (-1)*3 qui n'implique pas 2=3 (et heureusement !) )

  23. #22
    poinserré

    Re : suite

    je crois qu'on va jamais se comprendre lol ...

    j'utilise la relation de récurrence des suites (Un) pour avoir les égalités ....

  24. #23
    thepasboss

    Re : suite

    Mais justement, ton hypothèse de récurrence formulée telle quelle ne te donne une indication que sur le terme d'indice n !
    C'est un problème de forme principalement !

    et de raisonnement aussi, ton implication me donne des sueurs froides écrite ainsi !

  25. #24
    thepasboss

    Re : suite

    Bon, cette histoire me hérisse le poil (un comble le jour de la saint valentin). Quelqu'un peut trancher ?

  26. #25
    acx01b

    Re : suite

    oui tu as compris pas de doute, pour le montrer clairement tu aurais juste du dire que
    p(n) : pour tout entier k : 0 <= k <= n
    et donc ce que tu veux montrer c'est que p(n) est vrai pour tout n

  27. #26
    poinserré

    Re : suite

    bon moi j'abandonne

  28. #27
    poinserré

    Re : suite

    acx01b es tu capable de faire le raisonnement par récurrence , si c'est le cas , vas y je t'en prie , te prive pas pour moi , place à l'artiste .....

  29. #28
    thepasboss

    Re : suite

    Relis voir mes messages... je l'ai fait le raisonnement par récurrence...

  30. #29
    poinserré

    Re : suite

    Citation Envoyé par thepasboss Voir le message
    Toi de même ^^

    Bon sinon il faut faire une récurrence forte.

    A savoir : p(n) : "pour tout k inférieur ou égale à n, on a u(k) = v(k)"

    p(2) est vérifié.

    soit n supérieur à 2 tel que p(n), alors on a pour tout k inférieur à n u(k) = v(k).

    Donc on a que a*u(n) + b*u(n-1) = a*v(n) + b*v(n-1) donc u(n+1) = v(n+1). Et donc comme on a p(n), on a alors p(n+1).
    oué je vais cogiter la dessus

  31. #30
    poinserré

    Re : suite

    et franchement j'y comprend pas grand chose

    tchuss , merci comme même ....

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