Calculer les valeurs propres d'une matrice sans le polynome caractéristique

[invitec336fcef]

BOnjour,

dans un énoncé, nous définissons la matrice A par :
-2 -1 0
A = -1 0 1
0 1 2

On me demande de trouver les valeurs de pour lesquelles la matrice n'est pas inversible.

Ici, nous nous plaçons dans le cadre des "systèmes linéaires", donc je ne peux pas utiliser le polynôme caractéristique, ni le déterminant.

Donc j'avais pensé à montré que admet une solution X 0 (cela montrera que l'application associée à A - I n'est pas injective, et non bijective et l'inverse n'existe pas.

Mais voilà, je trouve les solutions suivantes pour X(x1, x2, x3)



Mais cela ne me mène nulle part, d'autant plus que, quand je calcule finalement les valeurs propres de la matrice, celles-ci sont (0, ).

Je ne vois donc pas comment trouver ces valeurs avec ma méthode.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Je vous remercie.
-----

[phys4]

BOnjour,

dans un énoncé, nous définissons la matrice A par :
-2 -1 0
A = -1 0 1
0 1 2

On me demande de trouver les valeurs de pour lesquelles la matrice n'est pas inversible.

Ici, nous nous plaçons dans le cadre des "systèmes linéaires", donc je ne peux pas utiliser le polynôme caractéristique, ni le déterminant.

Donc j'avais pensé à montré que admet une solution X 0 (cela montrera que l'application associée à A - I n'est pas injective, et non bijective et l'inverse n'existe pas.

Mais voilà, je trouve les solutions suivantes pour X(x1, x2, x3)



Mais cela ne me mène nulle part, d'autant plus que, quand je calcule finalement les valeurs propres de la matrice, celles-ci sont (0, ).

Je ne vois donc pas comment trouver ces valeurs avec ma méthode.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Je vous remercie.

L'équation donne 3 relations dans lesquelles il est possible d'éliminer les coordonnées de X, les solutions redonnent les 3 valeurs propres. Il suffit de persévérer.

Bon courage.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Commençons par détailler le système :



On résout ce système par substitution.

La dernière équation fournit : .

La deuxième équation fournit alors : .

On reporte ces valeurs dans la première équation .

Si la seule solution du système est , sinon le système admet des solutions non nulles.