espace fermé

invite6997af78 · 06/10/2011, 10h14

Salut,

J'ai un petit problème avec cet exo :

Soient $\text{[math]}$ .

On définit

$\text{[math]}$

On suppose $\text{[math]}$ compact, $\text{[math]}$ fermé.

Est-ce que $\text{[math]}$ est fermé ?

J'ai envie de dire oui.

Je propose de partir sur les suites.

Soit $\text{[math]}$ , une suite de $\text{[math]}$ , qui converge vers $\text{[math]}$ . Montrons que $\text{[math]}$ .

On a

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ , une fonction d'extraction telle que $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ compact).

On a $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ fermé).

Donc $\text{[math]}$ (par $\text{[math]}$ )

Donc $\text{[math]}$

D'où $\text{[math]}$ .

Or $\text{[math]}$ converge donc $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ est fermé.

Mais j'ai l'impression qu'il y a une faute quelque part...

Ensuite j'ai celui-ci :

Soit $\text{[math]}$ un espace métrique compact et $\text{[math]}$ une application localement bornée, ce qui
signifie : pour tout $\text{[math]}$ , il existe un nombre $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est bornée sur la boule $\text{[math]}$ .
a. Montrer que $\text{[math]}$ est bornée sur $\text{[math]}$ .
b. Donner un contre-exemple avec un espace $\text{[math]}$ qui n’est pas compact (on pourra prendre $\text{[math]}$ ).

Et là, je sais pas comment partir.

Merci de votre aide.

inviteea028771 · 06/10/2011, 14h26

Pour ta seconde question, j'utiliserai le fait que comme X compact, alors de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un recouvrement fini de X.

On pose $\text{[math]}$

Donc il existe $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ tel que :

$\text{[math]}$

A partir de là tu peux facilement conclure.

invite899aa2b3 · 06/10/2011, 14h26

En fait ce qui cloche c'est que l'on ne sait pas que la suite $\text{[math]}$ converge. En revanche, la sous-suite $\text{[math]}$ est convergente.
Pour le deuxième problème, il faut remarquer que $\text{[math]}$ forme un recouvrement ouvert de $\text{[math]}$ . Pour le contre-exemple, une application continue non-bornée devrait marcher.

invite6997af78 · 09/10/2011, 09h53

Salut,

la suite $\text{[math]}$ converge car $\text{[math]}$ converge.

Pour la 2, le recouvrement fini montre que $\text{[math]}$ est borné sur $\text{[math]}$ , non ? (car borné sur chaque boule)

Mais ca suffit pas de dire ca ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 09/10/2011, 11h14

Envoyé par L-etudiant

la suite $\text{[math]}$ converge car $\text{[math]}$ converge.

C'est faux ! La suite $\text{[math]}$ peut très bien converger sans qu'aucune des suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne converge.

invite6997af78 · 09/10/2011, 11h16

Envoyé par God's Breath

C'est faux ! La suite $\text{[math]}$ peut très bien converger sans qu'aucune des suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne converge.

OK, un exemple ?

invite899aa2b3 · 09/10/2011, 11h23

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 09/10/2011, 11h25

Tout simplement : $\text{[math]}$ .

invite6997af78 · 09/10/2011, 12h15

Oula oui !! C'est de ma faute je pensais a un autre exo.

espace fermé

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Re : espace fermé

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