solution d'un système différentiel

[invite0bb5307a]

À la toute fin d'un problème je rencontre une difficulté sur une question.

Voici l'énoncé

on considère le système différentiel suivant
4u' = u
4v' = 3u + 3v + w
4w' = v + 3w

Où u v w sont des fonctions désirables sur R telles que u(0)=1, v(0)=2 et w(0)=3

On pose Y(t)= matrice colonne ( u(t), v(t), w(t) ) et Y' pareil avec les dérivées

1) montrer que Y'(t) =M Y(t)

Où M = 1/4 (1,0,0 ; 3,3,3 ; 0,1,3) -> ok

2) en déduire les solutions du système différentiel.

Merci de me répondre et bonne année.
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[invite57a1e779]

On peut essayer de diagonaliser la matrice M...

[Tiky]

Bonjour,

On peut aussi remarquer (ce qui revient au même finalement) que la seconde équation plus la troisième donne :


De même en faisant la différence :


Maintenant il suffit de déterminer u. De résoudre les deux équations que je viens de te donner
en posant par exemple h = v+w et y = v-w et voilà.

Précisions, il faut s'assurer à la fin qu'on a bien des solutions du système de départ car on n'a raisonné que par condition nécessaire.

[invite57a1e779]

ce qui revient au même finalement

Cela revient à utiliser les vecteurs propres de la transposée de M.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0bb5307a]

Dans le début du problème on a déjà trouvé les vecteurs propres et diagonalisé la matrice dans cette nouvelle base. Qu'est ce qu'on fait alors après?

[invite0bb5307a]

Voici tout le problème. J'ai besoin d'aide pour la question 2 de la partie C s'il vous plait.