Bonjour j'ai un petit souci. dans un exercice on me demande de donner une décomposition d'une matrice A en D+N avec D diagonal et N nilpotente.
le problem c'est que j'ai bien apris a décomposer A en D+N mais avec D diagonalisable et non diagonal ( Dunford)
et si je diagonalise D la somme ne marche plus ...
quelqun pour m'expliquer la marche a suivre svp?
je peut rédiger l'énoncer si besoin.
merci
Bonjour,
Que sais-tu sur la matrice A ? L'énoncé complet serait bien
u(x,y,z)= (3x+z,2x+y+z,-x+y+z)
1)donner la matrice representative A de u
2)determiner le poly caract et le poly min de A
3)donner les ss esp spectrauxde A et les projecteur associé
4)donner la decompo spectral de A
5)donner une base de R3 dans laquelle la matrice representative de u est de la forme D+N avec D diagonal et N nilpotente
voila le 5 me pose problem je n'arrive qu'à trouver D diagonalisable et N nilpotente ( en effetuant une reduction de dunford)
Pour être précis et ça semble important ici, la décomposition de Dunford te dit que lorsque le polynôme caractéristique de A est scindé, alors il existe une unique matrice D diagonalisable et N nilpotente telles que A = D+N et
D et N commutent.
Bref on peut imaginer que A = D+N sans que D et N commutent. Ce n'est pas alors la décomposition de Dunford.
Bon il y a vraisemblablement une erreur car sauf erreur il n'existe pas D diagonale et N nilpotente telles que A = D + N.
En effet si D existe, alors N est de la forme.
Mais si on veut avoir
Dernière modification par Tiky ; 12/01/2012 à 21h23.
dans la solution il est écrit : D=diag(3,1,1)
N=0 0 0
0 0 0
0 2 0
dans la base B={110, 1-30,112}
Il y donc bien une erreur d'énoncé puisque A n'est clairement pas égal à N + D.
Il fallait bien faire une décomposition de Dunford et tu as seulement A semblable à N + D.
bin je pense que cest du auchangement de base. A dans la nouvel base doit etre egale à D+N. dailleur cest la qestion " trouver une base ...." mais je ne vois pas du tout ce qui a été fait pour arriver là
Dernière modification par ebolamath ; 12/01/2012 à 22h02.
J'ai mal lu la question. Il n'y a pas d'erreur d'énoncé. Je ne vois pas où était la difficulté alors ? C'est exactement Dunford.
On te dit qu'il existe D et N avec D diagonalisable et N nilpotent tels que A = D + N
Il suffit alors de se placer dans une base de diagonalisation de D. On a U = PDP-1 avec U diagonal.
Donc PAP-1 = U + PNP-1. Il est évident que PNP-1 est nilpotent.
