Banach

[inviteaa34f496]

Bonjour,
Me voilà confrontée à un petit soucis de compréhension.

Le but de l'exo est de montrer que l'ensemble E des applications de [a,b] à valeurs réelles muni de la norme infinie N est un espace de Banach.
On considère une suite (Un) de Cauchy.

Dans un premier temps il faut montrer que pour t fixé dans le segment [a,b], la suite (Un(t)) est de Cauchy.
J'ai peur de ne pas avoir compris la question .. Il faut majorer la valeur absolue de Up(t)-Uq(t) c'est bien ça?
J'ai majoré la valeur absolue par le sup pour t appartenant à [a,b] puis le sup par la N(Up-Uq) mais ça me paraît un peu "simple" ..

Ensuite p est fixé (p>no).
On doit majorer |Up(t)-f(t)| par ε . En notant f la fonction vers laquelle Un CVS, il suffit de faire tendre q vers l'infini dans |Up(t)-Uq(t)| et on a le résultat (je crois ..)

Mais ensuite il faut montrer que N(Up-f) tend vers 0 quand p tend vers l'infini. On a bien N(Up-f) plus petit que ε . Suffit-il de dire que cela est vrai pour tout ε ?

Et comment montrer que f est continue ?

Merci d'avance de votre aide
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[Tiky]

Bonsoir,

Je suppose que E est l'ensemble des fonctions continues au regarde de ta dernière question ?
Tes deux raisonnements sont parfaitement corrects.

Pour la continuité de la limite, c'est une proposition générale.
La limite uniforme (si elle existe) d'une suite de fonctions continues est continue.

[inviteaa34f496]

Oui les applications continues, pardon.
D'accord pour les premières questions, merci.

Pour la continuité, je n'avais même pas pensé à utiliser les théorèmes sur les séries ..
Merci beaucoup de votre aide,
Bonne soirée