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Espace de Banach



  1. #1
    hostyle

    Espace de Banach


    ------

    Bonjour à tous,
    Voila je dois montrer que C ([a,b],R)muni de // // (infini) est un espace de Banach, je vois pas trop comment m'y prendre...
    merci!

    -----

  2. #2
    rhomuald

    Re : Espace de Banach

    Salut,

    on prend une suite de Cauchy .

    1) montre que pour tout , converge dans vers une limite qu'on note .

    2) montre ensuite que la fonction ainsi définie est bien continue et est limite uniforme des .

  3. #3
    hostyle

    Re : Espace de Banach

    OK merci
    Donc je prends une suite de Cauchy c'est ça??

  4. #4
    rhomuald

    Re : Espace de Banach

    Par définition, un espace métrique est complet si toutes ses suites de Cauchy sont convergentes.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    hostyle

    Re : Espace de Banach

    Oui je sais donc c'est pour ça qu'on prend une suite de Cauchy et qu'on doit montrais qu'elle converge mais c'est là ou je coince un peu...

  7. #6
    rhomuald

    Re : Espace de Banach

    pour montrer qu'elle converge, on cherche d'abord un candidat qui pourrait être cette limite.

    Ensuite on montre que est bien dans .

    Reste à montrer que converge vers (une fois qu'on connaît l'expression de la limite éventuelle des , c'est plus facile de montrer que converge).

  8. #7
    hostyle

    Re : Espace de Banach

    Ok merci mais je bloque pour montrer que f est une limite uniforme

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