Espace de Banach & suites

[invite6be2c7d9]

Bonjour tout le monde
je me permets de vous demander un peu d'aide (des indications pas la solution) pour le petit exo suivant :

Soit (E, || ||) un evn
montrer que E est complet ssi toute suite de E vérifiant : (P) pour tt n ||Un+1-Un||<= 1/2^n converge

Donc le sens direct est trivial et pour la réciproque j'ai eu plusieurs idées : je pense qu'il faut prendre une suite de Cauchy (Xn) et écrire (Xn) de sorte qu'elle vérifie la propriété (P). J'ai pensé à introduire une suite auxilliaire (Yn) fabriquée à partir de (Xn) pour qu'elle vérifie de façon évidente (P) et qu'après on puisse conclure pour (Xn) mais ça n'a pas abouti... Le 1/2^n m'a fait penser à une somme de série géométrique mais je vois pas bien d'où elle pourrait sortir...

Auriez-vous une petite suggestion... ?
++ Cyp
-----

[invitec314d025]

J'ai pensé à introduire une suite auxilliaire (Yn) fabriquée à partir de (Xn) pour qu'elle vérifie de façon évidente (P) et qu'après on puisse conclure pour (Xn) mais ça n'a pas abouti...

Pourtant c'est une bonne idée.
En utilisant en plus que si une suite de Cauchy admet une suite extraite convergente, alors elle converge, tu devrais t'en sortir.

Je parie qu'ensuite on te demande de démontrer que E est complet si et seulement si toute série de E normalement convergente converge dans E.

[invite6be2c7d9]

merci et tu y es presque : "Montrer que E est un espace de Banach ssi toute s&#233;rie absolument convergente de E est convergente" mais c'est un peu li&#233; quand m&#234;me :d:d

[invite6be2c7d9]

grrr j'essaie de trouver une suite (Yn) mais je n'y arrive pas... j'ai essay&#233; de la d&#233;finir par r&#233;currence par exemple Yn+1=Yn+(1/2^n)*Xn/||Xn|| donc l&#224; c'est sur que (Yn) v&#233;rifie (P) mais apr&#232;s je peux rien en faire lol :'( (surtout qu'en plus si Xn s'annule Yn n'est pas toujours d&#233;finie) donc &#231;a ne doit pas &#234;tre la bonne suite... Une suggestion... ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Il ne faut pas chercher une formule. Utilises la définition d'une suite de Cauchy, en posant epsilon = 1/2^n.

[invite6b1e2c2e]

Ou essaie de comprendre que suite et s&#233;rie, c'est en fait la m&#234;me chose.

__
rvz

[invite6be2c7d9]

rvz>&#231;a a l'air int&#233;ressant comme id&#233;e tu pourrais d&#233;tailler un peu ?

[invite6b1e2c2e]

Une suite x_n correspond pr&#233;cis&#233;ment &#224; la suite de terme g&#233;n&#233;ral a_n d&#233;fini par
a_0 = x_0
a_n = x_n-x_{n-1}

__
rvz

[invitec314d025]

Une suite correspond pr&#233;cis&#233;ment &#224; la s&#233;rie de terme g&#233;n&#233;ral d&#233;finie par

Ca c'est surtout pratique pour r&#233;pondre &#224; la deuxi&#232;me question.

[invite6b1e2c2e]

Oups pardon !

Le r&#233;flexe, c'est tellement &#233;vident que c'est la question qui va suivre

__
rvz