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De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)



  1. #1
    Staind

    De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)


    ------

    "Imaginons une boule ou une sphère pleine de la taille d'une perle. On peut alors la décomposer en un nombre fini de morceaux, qui une fois déplacés sans aucune déformation se recomposent en une boule de la taille de la lune."
    C'est le paradoxe de Banach et Tarski. Peut-on m'expliquer?? (La boule de la taille de la Lune est pleine?)
    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : De la perle... à la Lune???

    Bonjour,

    le paradoxe de Banach-Tarski est une des conséquences surprenantes de l'axiome du choix. Ce paradoxe, qui est un théorème, dit qu'il est possible de décomposer une boule en un nombre fini de morceaux et de réarranger ces derniers sans les déformer pour former deux boules identiques à la première (même rayon). Ce résultat est valable aussi pour les sphères, et par homéomorphie, pour les cubes, etc.

    Tu peux regarder un exposé ici. La démonstration fait appel à quelques connaissance en théorie des groupes (actions de groupe, notamment, puisque l'on fait agir le groupe des isométries sur la sphère).

    Sinon, c'était l'objet de la deuxième composition du CAPES externe 2004, disponible ici en bas de page.

    Cordialement.

  4. #3
    baptt

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Bonjour une petite question ça m'intrigue :
    Martini_bird :
    "Ce paradoxe, qui est un théorème, dit qu'il est possible de décomposer une boule en un nombre fini de morceaux et de réarranger ces derniers sans les déformer pour former deux boules identiques à la première (même rayon). "

    Mais pour le résultat deux boules identiques à la premiere même rayon mais vide à l'interieur ? Merci

  5. #4
    martini_bird

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Citation Envoyé par baptt
    Bonjour une petite question ça m'intrigue :
    Martini_bird :
    "Ce paradoxe, qui est un théorème, dit qu'il est possible de décomposer une boule en un nombre fini de morceaux et de réarranger ces derniers sans les déformer pour former deux boules identiques à la première (même rayon). "

    Mais pour le résultat deux boules identiques à la premiere même rayon mais vide à l'interieur ? Merci
    Non, pleines et parfaitement identiques!

    C'est complètement contre-intuitif et ça n'est pas cohérent avec la réalité, mais s'il on accepte l'axiome du choix, ce résultat est vrai du point de vue mathématique.

    La nuance est subtile: ce résultat est démontrable, mais on ne sait pas comment faire en pratique pour trouver le découpage adéquat. Il est même impossible de construire ce découpage. Donc rassure-toi, la multiplication des sphère, ce n'est pas pour demain!

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    baptt

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Donc c'est vrai, démontré, il faut l'admettre mais on ne sait pas le mettre en pratique ? C'est ça ?

    Merci beaucoup

  8. #6
    martini_bird

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Citation Envoyé par baptt
    Donc c'est vrai, démontré, il faut l'admettre mais on ne sait pas le mettre en pratique ?
    C'est ça et de plus, c'est impossible en réalité (enfin, à ma connaissance ).

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  10. #7
    DanielH

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Je commence à comprendre comment il a fait pour multiplier les petits pains (peut-être n'avait-il pas le choix)

    Justement, c'est quoi l'axiome du choix ? J'ai lu récemment quelque chose à ce sujet dans un "pour la sciences" je crois, mais visiblement j'ai pas du tout compris parce que ça ne me revient pas ...

    Merci de m'éclairer.

  11. #8
    martini_bird

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    L'axiome du choix peut naïvement se voir ainsi: étant donnée une infinité de tiroirs, on peut choisir un objet dans chaque tiroir.

    Mais cette formulation n'est pas tout à fait correcte. Disons que dans chaque tiroirs, il y une paire de chaussures: alors on peut choisir dans chaque tiroir la chaussure gauche. Dans ce cas, pas besoin de l'axiome du choix, car il y a une méthode de sélection.

    Maintenant, si dans chaque tiroirs il y a une paire de chaussettes, alors on ne peut plus choisir la chaussette "gauche": il faut invoquer l'axiome du choix pour prendre une chaussette "au hasard" dans chaque tiroir.

    L'axiome du choix est par conséquent très utile pour démontrer des théorèmes d'existence (solution d'équations différentielles, etc.) et les analystes en font grand usage à ce titre. En revanche, comme il n'y a pas de procédé de sélection, il n'y a pas non plus de construction de l'objet mathématique dont on a démontré l'existence. Ce qui est le cas pour le paradoxe de Banch-Tarski.

    Je ne suis pas sûr d'avoir été très clair: n'hésite pas à me le dire si c'est le cas.

    Cordialement.

  12. #9
    DanielH

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Effectivement ce n'est pas très clair, mais parce que je dois être un peu bouché. C'est dans le numéro de février qu'il y a un très bon article de Jean-Paul Delahaye sur l'axiome du choix, je le relis, ce sera mieux.

    Merci tout de même et a+

  13. #10
    martini_bird

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Citation Envoyé par DanielH
    Effectivement ce n'est pas très clair, mais parce que je dois être un peu bouché. C'est dans le numéro de février qu'il y a un très bon article de Jean-Paul Delahaye sur l'axiome du choix, je le relis, ce sera mieux.

    Merci tout de même et a+
    Au moins c'est franc!

    Bonne lecture (Delahaye fait de très bons articles de vulgarisation).

    Quelques pistes sur google si celà t'intéresse: "axiome du choix", "constructivisme", "Brouwer", "Hilbert".

    Cordialement.

  14. #11
    DanielH

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    martini_bird:
    L'axiome du choix peut naïvement se voir ainsi: étant donnée une infinité de tiroirs, on peut choisir un objet dans chaque tiroir.
    Bon alors j'ai trouvé ça:

    Soit E un ensemble d'ensembles disjoints et non nuls. Il est toujours possible de construire un nouvel ensemble composé d'un éléments de chaque ensemble de E. C'est tout à fait ce que tu disais (c'est bien moi qui étais bouché)

    Moi je comprend qu'il est toujours possible de choisir un élément dans un ensemble.

    Qu'est-ce que la construction d'un nouvel ensemble apporte de plus ?

  15. #12
    doryphore

    Smile Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Il arrive que ce nouvel ensemble soit l'image d'une suite dans ce cas on peut parler de son adhérence et de limite de la suite. C'est comme ça qu'on procède pour justifier que la méthode numérique dite "par dichotomie" conduit au résultat. On y fait une infinité de tests.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  17. #13
    erik

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Moi je comprend qu'il est toujours possible de choisir un élément dans un ensemble.
    C'est ça... et en fait c'est plus précisément un peu plus : l'axiome de choix dit que si tu a une collection d'ensembles (déja définis) tu peux choisir un élément dans chacun de ces ensembles pour construire un nouvel ensemble.
    C'est un axiome qui permet de définir une règle (qui semble bien naturelle- encore que..) de construction de nouveaux ensembles à partir d'ensembles déja existant .
    Qu'est-ce que la construction d'un nouvel ensemble apporte de plus ?
    En fait cela apporte plutot quelque chose de moins :
    Cet axiome a été introduit au début du XXe siècle, pour "empécher" la possibilité de construire l'ensemble de tout les ensembles. En effet si on considère que l'ensemble de tous les ensembles existe on débouche sur quelques méchants paradoxes pas acceptables du tout. Il fallait un axiome indiquant comment on construit un nouvel ensemble à partir d'ensembles existant sans que cela puisse permettre la construction de l'ensemble de tous les ensembles : c'est l'axiome de choix.

    Erik
    Dernière modification par erik ; 05/04/2005 à 22h23.

  18. #14
    DanielH

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Heu, j'essaye de comprendre. Dans la dichotomie, on chosi un point entre deux autres qui encadrent la solution recherchée. La suite c'est l'ensemble de ces points ordonés chronologiquement. L'nsemble des ensembles c'est l'ensemble des intervals de choix. Mais ces intervals ne sont pas disjoints !

    Je me demande si j'ai bien compris. Désolé, mais je suis physicien, pas mathématicien ...

  19. #15
    doryphore

    Smile Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    J'ai trouvé cette application dans un document de l'APMEP, mais je n'ai pas encore réussi à voir où intervenait l'axiome du choix exactement et je commence à douter sérieusement de leur interprétation. Laisse-moi un peu de temps STP
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  20. #16
    DanielH

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    erik:
    Cet axiome a été introduit au début du XXe siècle, pour "empécher" la possibilité de construire l'ensemble de tout les ensembles.
    OK, je comprend mieux comme ça. C'est vrai que l'ensemble de tous les ensembles est inclu dans lui-même et c'est pas terrible.

    Du coup, je reviens au paradoxe de Banach-Tarski et aussi à l'article de Jean-Paul Delahaye dans La Recherche de février sur le coloriage des graphe dépendant de la forme de l'axiome du choix. Il semblerait que l'axiom du choix ne soit pas queque chose de tout à fait évident. Je me demande si cet axiome pourrait être remis en cause ou si les math peuvent vivre avec ces paradoxes ?

  21. #17
    doryphore

    Post Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Renseigne-toi sur le courant de pensée mathématique appelé intuitionnisme, il existe de nombreux résultats obtenus sans l'axiome du choix: en fait la plupart des fonctions utilisées par les physiciens sont suffisamment régulières pour que l'on puisse y appliquer les théorêmes de l'analyse sans l'axiome du choix.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  22. #18
    DanielH

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    doryphore:
    en fait la plupart des fonctions utilisées par les physiciens sont suffisamment régulières pour que l'on puisse y appliquer les théorêmes de l'analyse sans l'axiome du choix.
    Ouff, ça me rassure.

    Bon, OK je regarderai ce qui se cache sous l'intuitionnisme (ça me plait bien parce que je travail toujours à l'intuition...)

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  24. #19
    erik

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    L'intuitionnisme rejète surtout l'axiome du tiers exclue, ce qui très rapidement complique beaucoup de choses.

  25. #20
    doryphore

    Cool Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    C'est peut-être le constructivisme alors, mais j'ai entendu intuitionnisme pour l'axiome du choix. (Il faut se méfier de ce qu'on trouve sur internet...)
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  26. #21
    erik

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Effectivement le constructivisme refuse l'axiome de choix, en fait il refuse tout objet qui n'est pas explicitement construit (et l'axiome de choix dit justement qu'on peut construire un ensemble sans expliquer comment on choisit les différents éléments). Ce qui pose également une tonne de problèmes.

  27. #22
    matthias

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Citation Envoyé par DanielH
    OK, je comprend mieux comme ça. C'est vrai que l'ensemble de tous les ensembles est inclu dans lui-même et c'est pas terrible.
    Bon, je joue un peu au chieur, je pense que ça n'est qu'une étourderie, mais j'ai vu beaucoup de problèmes de compréhension venir de ce point précis:
    tous les ensembles sont inclus dans eux-mêmes, le problème d'un ensemble de tous les ensembles est qu'il serait un élément de lui-même (appartenance et non inclusion).

    http://forums.futura-sciences.com/sh...ble+appartient

  28. #23
    martini_bird

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Bonsoir,

    je réagis sur quelques points:
    Citation Envoyé par erik
    En fait cela apporte plutot quelque chose de moins :
    Cet axiome a été introduit au début du XXe siècle, pour "empécher" la possibilité de construire l'ensemble de tout les ensembles. En effet si on considère que l'ensemble de tous les ensembles existe on débouche sur quelques méchants paradoxes pas acceptables du tout. Il fallait un axiome indiquant comment on construit un nouvel ensemble à partir d'ensembles existant sans que cela puisse permettre la construction de l'ensemble de tous les ensembles : c'est l'axiome de choix.
    Ce n'est pas tout à fait ça: ce que l'on appelle théorie des ensembles est né après constation de problèmes en analyse (notamment sur la convergence des séries de Fourier), quand les mathématiciens se sont intéressés aux ensembles de nombres réels. Lors de la construction de cette théorie, il fallait inclure cet axiome du choix, car il répondait à un besoin en analyse (équations différentiels).

    Or, à la même époque ont jalli des paradoxes inhérents aux progrès de la topologie des nombres réels (ensembles mesurables, de Borel, etc.) qui étaient des conséquences de l'axiome du choix. Dès lors, la majorité des mathématiciens ont continué à travailler avec l'axiome du choix (qui est trop utile), mais d'autres, et surtout Brouwer, se sont attachés à fonder une mathématique différente (sans l'axiome du choix).

    Enfin, il a été démontré que l'axiome du choix n'apporte pas de contradiction dans le système de Zermelo-Fraenkel: les deux théories sont donc valides et l'axiome du choix ne résoud pas plus de problème d'ordre logique qu'il n'en pose. En revanche, l'axiome du choix est fondamental pour démontrer l'existence de certains objets, et en particulier, des solutions d'équations différentielles.

    Pour ce qui est de la formulation de l'axiome du choix, je reviens à mes tiroirs que je vais numéroter T1, T2, ... qui contiennent des éléments a1, a2, ... pour le premier tiroir, b1, b2, ... pour le deuxième etc.
    Ce que dit l'axiome du choix, c'est que l'on peut toujours prendre un élément dans chaque: on obtient des couples (T1, ai), (T2, bj), etc. C'est ce nouvel objet qui est intéressant. Pour le paradoxe de Banach-Tarski, cette objet "représente" justement le découpage: il existe, mais on ne sait pas le construire.

    Cordialement.

  29. #24
    Staind

    Re : De la perle... à la Lune? (Paradoxe de Banach-Tarski)

    Merci beaucoup de vos réponses. même si mon niveau en math n'est pas très elevé j'ai réussi à saisir l'idée et je vous en remercie.

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