TIPE 2006 : paradoxe Banach-Tarski

[invite3bdc5ed6]

Bonjour tt le monde !!

Voila je vien juste de passer mon tipe de sup ( sur le theoreme de Fermat et son application aux premiers reguliers par Kummer... j'en ai encore mal au crane lol).

Je commence donc a bosser sur mon tipe de spe, et je viens de lire un article plutot interessant sur le net sur le pradoxe de Banach-Tarski. Pensez vous que ce sujet peut coller au theme 2006 de tipe ??? Auriez vous d'autres idee de tipe maths ?? Je pensais pt etre poursuivre mon travail de sup et bosser sur les nombres de Bernoulli et les corps cyclotomiques (idee precise sur le sujet ???)

Merci d'avance
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[invite51c9e6f8]

Bonjour
Je viens aussi de lire un article sur ce paradoxe et j’ai trouvé ca genial ! Non seulement parce que j’ai compris de quoi ca parlait sa avoir a lire deux fois, mais aussi parce que je pense que ca peut faire un tipe beton.
Etudier l’axiome du choix est bien evidemment impensable, c’est pas du niveau mpsi (ou pcsi ou bac +1), mais en etudier une consequance peut etre amusant, surtout pour se convaincre que les maths meme tres theorique ont des applications concretes. Je vais continuer mes recherches la dessus. Finalement as tu decide de ton sujet ?
Au passage j’ai lu dans un magazine Pour la science cette année (je ne sais plus quand) un article enoncant une autre consequence de l’axiome du choix, a savoir la possibilité de colorier une carte geographique avec seulement 4 couleurs sans que deux pays cote a cote ne soient dans la meme couleur. Evidemment, j’ai jeté le magazine, quelle inconscience !
A bientôt, Flore

[invitec314d025]

Etudier l’axiome du choix est bien evidemment impensable, c’est pas du niveau mpsi (ou pcsi ou bac +1), mais en etudier une consequance peut etre amusant, surtout pour se convaincre que les maths meme tres theorique ont des applications concretes.

Banach-Tarsky, une application concrète ? Ce serait plutôt l'inverse en fait. Par contre, étudier l'axiome du choix n'est pas si impensable.

[invite51c9e6f8]

Je ne vois pas en quoi ce n'est pas une application concrete mais l'inverse? Ca veut dire quoi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Je ne vois pas en quoi ce n'est pas une application concrete mais l'inverse? Ca veut dire quoi?

Banach-Tarsky est un théorème très théorique, totalement inutilisable à ma connaissance pour une quelconque utilisation concrète.

[invitee3acbb1b]

hé chui dans un lycée qui est justement le lycée pierre de fermat... c'est nul lol

[invite9c9b9968]

Merci toutouille de ne pas poster des messages inutiles sans rapport avec la discussion

Pour reprendre ce que dit Matthias, Banach-Tarski ne sert strictement à rien de manière pratique, et n'est pas du tout de niveau bac+2.

Par contre, l'axiome du choix est tout à fait abordable en prépa, de même que ses conséquences immédiates : existence de bases en dimension infinie dans un espace vectoriel par exemple.

Cela faisait partie de mon cours de sup.

[invite51c9e6f8]

Coucou,
j'ai lu la demonstration de ce theoreme hier soir, c'etait expliqué le plus clairement possible et franchement j'ai compris la demo. Je ne pretendrai pas que tout est limpide mais pour une premiere lecture c'est encourageant. Et le gars qui a fait ca a dit que c'etait accessible a un bon eleve de sup.
Sinon c'est quoi les premiers reguliers par Kummer? Simple curiosité.

[invite3bdc5ed6]

Dsl jai pa pu repondre la semaine derniere (salete de ***** de Neuf Tel !!!).

J'ai parlé de mon sujet de TIPE a ma prof de maths, normalienne de son état , elle m'a dit que c'était interessant mais que le problème serait surment d'ajouter la valeur personelle a un sujet aussi théorique. Il y a aussi le problème de trouver une forme d'application a un paradoxe tellement theorique qu'il n'en comporte aucune. Enfin tous ca c des details et ce sujet m'emballe plutot pas mal...

Pour repondre a ta question, en fait j'ai etudier la demonstration du théorme de fermat (x^p+y^p=z^p) dans le cas des nombres premiers reguliers (d'après le critère de Kummer, p est regulier s'il ne divise aucun des nombres de Bernoulli pr 1<p<p-2). Et en utilisant ce critère Kummer a reussit a faire la demonstration dans le cas de tous les nombre reguliers. Mais je t'avouerai que j'ai pas poussé tellement loin la question des premiers reguliers, et notamment leur definition (les corps cyclotomiques c un chouille trop compliqué pr mon petit cerveau lol).

Sinon flore tu passe en spe toi aussi ?? Pasque si tu garde le meme sujet ce serai bien de rester en contact, pr partager la doc etc...

[invite51c9e6f8]

Coucou, en fait je viens de t'envoyer un message privé et je me rends compte que l'on partage les mêmes craintes au sujet d'un sujet (!) aussi theorique. Si t'as des idées d'applications je suis toute ouïe! Et oui je passe en spé MP.

[invite39dcaf7a]

je viens de lire un article plutot interessant sur le net sur le pradoxe de Banach-Tarski.

Il s'agit de quel document ? Ca m'intéresse beaucoup alors, si vous avez d'autres documents à proposer... J'ai aussi cherché par moi-même.

[invite51c9e6f8]

J'ai trouvé ca sur le net mais je n'ai pas noté l'adresse. Je l'ai enregistré ans mon ordi donc si tu veux je peux te l'envyer par email.

[invite39dcaf7a]

D'accord, je t'envoie mon adresse par MP.

Merci !

[invite39dcaf7a]

Merci pour les envois de docs par mail !

Il ne m'a pas fallu beaucoup de temps pour comprendre que c'était difficile à comprendre... lol
Il est dit que c'est compréhensible par un bon élève de maths-sup, mais est-ce-que les notions abordées dans la démonstration du paradoxe sont vues plutôt en début ou plutôt en fin d'année ?

[invite51c9e6f8]

Ca depend des profs mais nous on a commencé l'algebre lineaire vers janvier, et en faisant quelques pauses d'analyses entre deux on a du finir ca vers mai.
La notion de groupe on l'a vue a la rentrée de la toussaint parcontre.

[invite39dcaf7a]

Donc c'est quasiment pas la peine d'essayer de faire un TIPE sur ce paradoxe en MPSI, si ?

[invite51c9e6f8]

Bah je pense que si a condition que les tipe ne commencent pas trop tot dans l'année. Mais tu sais les notions vues en mpsi, c n'est que la suite de la terminale, ce n'est pas incomprehensible. Tu prendras de l'avance sur le programme donc si t'arrives a gerer ton temps c'est même plutot positif.

[invite39dcaf7a]

Bah je pense que si a condition que les tipe ne commencent pas trop tot dans l'année. Mais tu sais les notions vues en mpsi, c n'est que la suite de la terminale, ce n'est pas incomprehensible. Tu prendras de l'avance sur le programme donc si t'arrives a gerer ton temps c'est même plutot positif.

D'accord... je verrais en fonction du prof alors.
Mais sinon, avec quelle autre matière on peut travailler pour ce TIPE ? Physique, c'est apparemment impossible puisqu'il ne faut pas essayer de se représenter le paradoxe... Informatique peut-être ? Je vois pas trop comment mais bon...

[invitec314d025]

Mais sinon, avec quelle autre matière on peut travailler pour ce TIPE ? Physique, c'est apparemment impossible puisqu'il ne faut pas essayer de se représenter le paradoxe...

A moins d'essayer d'expliquer pourquoi ce théorème est inapplicable en physique (dualité continu / discontinu ?). Mais ça reste limité.

[invite51c9e6f8]

Justement c'est ce probleme qui m'a fait renoncer a ce tipe. Y'a rien d'autre a fire que de la theorie. Du moins on s'est creuséla tete a deux et on n'a rien trouvé, donc on a changé de sujet. Je pense que c'est trop theorique en fait et qu'il risque d'etre tres dificile d'y mettre un apport personnel.

[invite39dcaf7a]

Mouais... ça pourrait paraître un peu trop superficiel dans l'esprit du jury qui comprendrait vite que c'est fait pour justifier la dualité...

[invitec314d025]

Mouais... ça pourrait paraître un peu trop superficiel dans l'esprit du jury qui comprendrait vite que c'est fait pour justifier la dualité...

Oui je suis du même avis. Banach-Tarski est intéressant mais cadre difficilement avec l'esprit TIPE.

[invited5b2473a]

Bonjour à tous. Je suis actuellement en MPSI et mon tipe n'est rien d'autre que le paradoxe de Banach-Tarski.
Avant de vous en parler, voici des exposés à ce sujet:
www.madore.org/~david/math/bantar.pdf
http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/ Vol...AReissman.html
http://perso.wanadoo.fr/dchoimet/exp...nachtarski.pdf

A mon avis, un élève sérieux de sup peut comprendre ce sujet. Il faut déjà savoir que bien que ce paradoxe ait pour origine un problème de la théorie de la mesure, la démonstration ne fait appelle qu'à de l'algèbre. En fait, la démonstration introduit ses propres notions qui sont très intuitives si on se place dans R^3. De plus, les notions en rapport avec le programme auxquelles elle fait appel, ne nécessitent pas beaucoup de connaissance: il faut juste savoir ce que représente SO(n) (c'est l'ensemble des rotations de l'espace euclidien), ce qu'est l'axiome du choix (c'est un axiome très intuitif qui permet de construire un ensemble en prenant un élément de chaque ensemble d'un ensemble d'ensemble), avoir une idée sur le calcul matricielle et l'algèbre linéaire.
En fait, la difficulté de la démonstration réside dans le fait qu'elle peut se montrer abstraite et que nous n'avons aucune idée de la forme que prennent les morceaux de la sphère (ces morceaux servant à reconstituer deux sphères identiques à la première).


Pour avoir une bonne idée, je vous conseille (désolé de faire un peu de pub!) le livre de Marc Guinot: Le paradoxe de Banach-Tarski ainsi que mon tipe (quand j'aurai fini de le taper i.e. vendredi).

Pour finir, je pense que le paradoxe de Banach-Tarski est parfait pour la sup car c'est un sujet original, ne nécessitant pas de connaissance pointue et avec une démonstration suffisemment abstraite pour plonger l'hypotaupin dans l'abstraction du monde des maths.

[inviteab2b41c6]

Salut, justement à ce propos, j'ai lu un document hier sur le paradoxe (je cherchais l'exemple classique de l'existence d'un ensemble non mesurable (Lebesgue) et il était sur la même page).
J'ai trouvé ceci:
Le paradoxe de Banach-Tarski montre bien qu'il existe des ensembles non mesurables.
Je ne vois vraiment pas en quoi, surtout que les mesures ne sont pas conservées par les transformations en général.
Si quelqu'un avait une idée ...

[invitec314d025]

Salut, justement à ce propos, j'ai lu un document hier sur le paradoxe (je cherchais l'exemple classique de l'existence d'un ensemble non mesurable (Lebesgue) et il était sur la même page).
J'ai trouvé ceci:
Le paradoxe de Banach-Tarski montre bien qu'il existe des ensembles non mesurables.
Je ne vois vraiment pas en quoi, surtout que les mesures ne sont pas conservées par les transformations en général.
Si quelqu'un avait une idée ...

La mesure de Lebesgue dans IR^3 est bien conservée par rotation non ?

[inviteab2b41c6]

Oui, je pense que les mesures sont conservées par isométries (sans dire trop de bétises).
Mais est ce que l'on effectue que des rotations dans ce paradoxe?
(va falloir que je le relise, parce que je n'ai pas en tête tout le cheminement, mais dans ma tête on découpait la sphère en 6 parties connexes plus un point, pour recomposer 2 sphères identiques).

[inviteab2b41c6]

éhéh, en fait j'ai trouvé un article plus sérieux, que j'ai parcouru, et il est question du fait qu'il n'existe aucune mesure non nulle invariante par isométrie de R^3.
Ca répond à ma question, et je vois un peu plus l'idée.

Cependant les morceaux de la sphère que l'on a découpé, ont été pliés d'une certaine manière pour reconstruire la nouvelle sphère, n'est ce pas?
Dans ce cas on a appliqué une fonction qui aurait pu "modifier" le volume, non?

[invite3bdc5ed6]

Salut

Moi perso je pense que c'est plutot chaud de bosser sur ce tipe en mpsi, parceque cela demande quand meme pas mal de connaissance, et quand on dit que les demos sont accesible pour un eleve de sup, c'est plutot un eleve de fin de sup lol !! Et en plus le TIPE et sup est beaucoup moins poussé qu'en spé, il y a nettement moins de seance de tipe en mspi qu'en spe.

Mais si tu est courageux, pourquoi pas !! En tout cas si tu t'y met des le 1er trimestre de mpsi ca t'aidera pas mal je pense au niveau du cours(groupes, etc...), et au niveau simplement du raisonnement. En tout cas, bonne chance, et previent moi par mp si tu decide l'année prochaine de prendre ce sujet, je vais peut etre faire le mien sur le meme sujet.

Il n'est pas vraiment demandé en tipe de faire un pont entre deux matieres, donc je pense que c'est pas trop un probleme si tu fait en tipe que maths. Moi par ex j'ai fait qqchose sur Fermat, et j'ai juste parlé du th et de ses demos, c passer tout seul auprès des profs . Le paradoxe de B-T ne présente malheureusmt aucune application "concrete", puisque justement il prouve qqch d'"absurde" physiquement.

Allez bonne chance pour ta sup

[invitec314d025]

éhéh, en fait j'ai trouvé un article plus sérieux, que j'ai parcouru, et il est question du fait qu'il n'existe aucune mesure non nulle invariante par isométrie de R^3.
Ca répond à ma question, et je vois un peu plus l'idée.

Cependant les morceaux de la sphère que l'on a découpé, ont été pliés d'une certaine manière pour reconstruire la nouvelle sphère, n'est ce pas?
Dans ce cas on a appliqué une fonction qui aurait pu "modifier" le volume, non?

aucune mesure nulle invariante par isométrie de R^3 ? Tu es sur ? Tu peux m'envoyer un lien pour l'article ?
Sinon, il me semble que l'on effectue que des rotations, il faudrait que je m'y replonge.

[invite3bdc5ed6]

Indian 58 je vien de t'envoyer un MP, mais ton TIPE m'interesse beaucoup, et j'aimerai bien discut avec toi de ce sujet (problématique, voie(s) dans lesquelles tu t'est engangé plus précisement, etc...). Ce serait sympa si tu pouvai me faire parvenir un version ecrite de ton dossier pas mail.

merci d'avance