TIPE 2006 : paradoxe Banach-Tarski

[inviteab2b41c6]

Salut Matthias, j'ai fait une recherche rapide et j'ai trouvé ca sur le net (un vrai cours pdf sur le sujet, donc relativement sérieux)
Je vais essayer de retrouver le document, et mettrais le lien ici.
A+
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[invited5b2473a]

Bon, je vais essayer d'envoyer mon tipe. C'est possible d'uploader sur ce site??

Mais au-paravant, je vais essayer de satisfaire votre curiosité en vous situant le paradoxe de B-T.

rappel: Soit X un ensemble. On appelle B tribu de X, une partie de P(X) stable par passage au complémentaire et par réunion.
Une mesure mu est une application définie une tribu B de X à valeurs positives. On dit alors que tout élément de B est mu-mesurable.
De plus, mu est simplement additive si mu(réunion finie de parties deux à deux disjointes)=sommes des mesures de ces parties. mu est dite complètement additive si mu(réunion dénombrable de parties deux à deux disjointes)=sommes des mesures de ces parties.
Par exemple, l'application qui à un ensemble associe son cardinal est une mesure complètement additive.
La mesure au sens de Labesgue correspond à la longueur de l'intervalle. Si I=(a,b) avec a<=b, mu(I)=b-a.
La mesure correspond en quelque sorte à une généralisation de la notion de volume.


Donc au début du XIX° siècle, Haussdorff lança le problème dit de la mesure universelle: existe-t-il une mesure applicable à toute partie de R^n, telle que la mesure du cube unité soit égale à 1, qui soit simplement additive et invariante par isométrie (rotation, translation)? Autrement-dit, peut-on attribuer "raisonnablement" un volume à toute partie de R^n??

Pour n=1 ou 2, la réponse est positive (cf le livre de Marc Guinot).
Pour n>=3, elle est négative par le paradoxe de B-T (celui-ci permet de dupliquer des sphères, donc toute notion de volume est absurde).

Comme je l'ai dit, la démonstration de ce paradoxe n'utilise aucun argument de la théorie de la mesure. Donc, si vous ne voyez pas trop les mesures, ce n'est pas trop grave.


Ce paradoxe n'a pas d'exemple concret mais peut servir d'exemple pour l'axiome du choix: on a prouvé (cf The B-T Paradox de Stan Wagon) que l'axiome du choix était nécessaire pour établir ce paradoxe. Ce paradoxe est un des nombreux exemples étranges de l'axiome du choix (qui semble si évident).


Quant au rapport avec la prépa, ce sujet est un très bon sujet me semble-t-il pour des mpsi voulant rentrer en mp. Il ne nécessite pas bcp de connaissance et demande un peu de réflexion et d'abstraction.

[invite9c9b9968]

Salut,

Pour en revenir à la question initiale, sauf à être sûr de son coup (ou être sûr d'être admissible aux ENS et de le présenter là-bas), c'est un TIPE qui ne tient pas la route le jour de l'oral. Ne serait-ce que parce que les examinateurs ne veulent pas passer dix minutes à entendre une démo de maths qu'ils peuvent de toute façon (s'ils ne la connaissent pas déjà) trouver facilement en BU ou sur le net.

Conclusion : très bien pour un sup, ingérable pour un spé.

[invited5b2473a]

J'ai oublié de dire que j'avais réfléchi au paradoxe comme tipe pour l'année prochaine et franchement, je n'ai pas trouvé de rapport (si ce n'est qu'il y a dualité des auteurs: Banach/Tarski!!)

[invite9c9b9968]

Un bon conseil alors : oublie-le pour la spé

Parce que franchement, c'est se limiter à 10/20 (et encore) le jour de l'oral, à moins d'avoir un gros coup de bol (mon prof de maths d'ailleurs ne comprend toujours pas comment un de mes camarades avait obtenu l'an dernier 19 à Mines/Centrale avec ce paradoxe...)

[invited5b2473a]

Je suis d'accord avec toi: c'est un très bon tipe pour la sup et pour l'entrée aux ens (c'est ce que m'a d'ailleurs dit mon prof de maths).
Mais pour être original, pourquoi ne pas parler du paradoxe de Dougherty-Foreman, paradoxe du même genre que celui de B-T mais il n'utilise pas l'axiome du choix?

[invite4793db90]

Cependant les morceaux de la sphère que l'on a découpé, ont été pliés d'une certaine manière pour reconstruire la nouvelle sphère, n'est ce pas?
Dans ce cas on a appliqué une fonction qui aurait pu "modifier" le volume, non?

Et non, c'est là qu'est la magie: on découpe, on déplace et hop!

aucune mesure non-nulle invariante par isométrie de R^3 ?

Sinon comment définir le volume d'une boule puisque par isométrie, elle a le même volume que deux boules?

C'est d'ailleurs ce qui justifie entre autres que la mesure de Lebesgue n'est pas définie sur toutes les parties de IR³.

Cordialement.

[inviteab2b41c6]

Mais est ce qu'on ne peut pas voir la mesure de Lebesgue sur R^3 comme la mesure produit de Lebesgue sur R.
Notamment, on sait que dans R il existe des ensembles non mesurables.
Leur cube n'en aura donc pas, c'est pas vrai ça?

[invitec314d025]

Sinon comment définir le volume d'une boule puisque par isométrie, elle a le même volume que deux boules?

C'est d'ailleurs ce qui justifie entre autres que la mesure de Lebesgue n'est pas définie sur toutes les parties de IR³.

Ben oui, mais justement, on découpe la boule en parties non mesurables. Il me semblait que l'image par isométrie d'une partie mesurable donnait une partie mesurable de même mesure, et l'image d'une partie non mesurable restait non mesurable. Bon je vais aller revoir tout ça.

[invite4793db90]

Je crois que ton interrogation vient d'un manque de précision de notre part: il n'existe pas de mesure (non-nulle) invariante par isométrie sur P(IR³).

Mais la mesure de Lebesgue est bien invariante par isométrie sur les ensembles mesurables (heureusement! ).

[invited5b2473a]

Effectivement, comme je l'ai dit, le paradoxe de b-t intervient dans le cadre du problème de la mesure universelle, mesure qui s'applique à toute partie de R^n.

[inviteab2b41c6]

Salut,
ok je comprend mieux là, en effet je n'avais pas vu que l'on ne se limitait pas aux boréliens mais bel et bien à P(R^3).
Là je comprend vraiment le paradoxe.
Merci,
A+

[invite39dcaf7a]

Bon, ben je vais sans doute laisser tomber le paradoxe B-T pour les TIPE de l'an prochain... même si ça a l'air d'être intéressant. Je le regarderai pendant les grandes vacances prochaines ! lol

Mais pour être original, pourquoi ne pas parler du paradoxe de Dougherty-Foreman

J'ai pas trouvé grand chose comme doc sur Internet. Auriez-vous une adresse ?

[invited5b2473a]

Voilà quelques adresses:
http://www.math.ohio-state.edu/histo...h-matrix/Sp90/

http://www.pnas.org/cgi/content/abstract/89/22/10726

http://hal.ccsd.cnrs.fr/docs/00/03/0.../ShortNote.pdf

p.s: c'est en anglais et encore plus dur que le paradoxe de b-t!!

[invite39dcaf7a]

p.s: c'est en anglais et encore plus dur que le paradoxe de b-t!!

Merci bien ! lol
Je vais aller voir ça, quand-même...

[invite3bdc5ed6]

Ouai ca l'air sympa ce paradoxe

[inviteaeeb6d8b]

Un bon conseil alors : oublie-le pour la spé

Parce que franchement, c'est se limiter à 10/20 (et encore) le jour de l'oral, à moins d'avoir un gros coup de bol (mon prof de maths d'ailleurs ne comprend toujours pas comment un de mes camarades avait obtenu l'an dernier 19 à Mines/Centrale avec ce paradoxe...)

Mais le TIPE qu'on fait en sup, on le continue pas en spé ???
Parce que là tu dis de le faire en sup, mais si c'est pour en faire un autre en spé...

[invite9c9b9968]

Pas nécessairement (c'est même assez rare en fait de voir un tipe se faire sur 2 ans).

Dans ma classe, tous les TIPE de spé se sont fait en 1 an.

[inviteab2b41c6]

Non, de toute facon les sujets changent chaque année...
C'est vraiment très rare de conserver son sujet de TIPE.

[invite39dcaf7a]

C'est vraiment très rare de conserver son sujet de TIPE.

Et le jury le sait si on a gardé le même sujet sur les deux ans ?

[invited5b2473a]

Ca n'a même aucun intérêt de faire un unique tipe en deux ans

[invite39dcaf7a]

Ca n'a même aucun intérêt de faire un unique tipe en deux ans

Peut-être qu'on n'a pas le temps de bien en faire 2, donc peut-être qu'il est plus judicieux de n'en traiter qu'un...

[invited5b2473a]

Non, je ne suis pas d'accord

[invite39dcaf7a]

Non, je ne suis pas d'accord

Et pourquoi ?

[invitec314d025]

Si la grandes majorité des gens en font deux (si j'en crois Quinto), c'est probablement qu'ils ont le temps

[invite3bdc5ed6]

C'est aussi peut etre que l'on commence les tipe est sup avt de connaitre le theme de son tipe de spe... Il faut donc avoir pas mal de bol pour tomber sur un sujet qui "colle" bien.

[inviteaeeb6d8b]

D'accord merci bien !

j'en profite pour poser une petite question bête ...

qu'est-ce qu'on entend par "dualité" ??????

[invite51c9e6f8]

Jutememnt c'est une question avec pas mal de reponses... Nos profs nous ont dits par exemple "deux facons d'obtenir la meme chose" donc par exemple microscope electronique ou optique, d'autres te diront n'importe quoi ou il y a une oppositon, comme chaud/froid, jour/nuit, les textes officiels parlent par ex d'un phenomene dont deux approches experimentales donnent deux resultats differents comme onde/corpuscule pour la lumiere par ex. On en apas mal parlé sur le forum.

[doryphore]

Je crois que ton interrogation vient d'un manque de précision de notre part: il n'existe pas de mesure (non-nulle) invariante par isométrie sur P(IR³).

Mais la mesure de Lebesgue est bien invariante par isométrie sur les ensembles mesurables (heureusement! ).

Ouf, j'avais peur que nos braves tranlations ne modifient les volumes !!

[invite77e86f54]

C'est aussi peut etre que l'on commence les tipe est sup avt de connaitre le theme de son tipe de spe... Il faut donc avoir pas mal de bol pour tomber sur un sujet qui "colle" bien.

non c est juste que les themes des TIPEs sont fait en sorte de pouvoir englober n importe quel sujet(je citerais l eternel "paradoxe de Banach-Tarski" pour un theme "developpement durable",cf 09Jul85)
lon te demande juste un vrai travail de reflexion...peu importe le sujet(ou presque)...