groupe et matrices

[invite03201ae3]

bonjour j'ai un petit peu de mal à démontrer ici que c'est un groupe commutatif.
Alors j'ai la matrice A=(0 -2/3 -2/3)
( 2/3 0 -1/3)
( 2/3 1/3 0)
on a B=A², C=A^3,U=A^4
Je dois donc montrer que ({U,A,B,C},x) est un groupe commutatif avec x le produit matriciel.

Normalement on prend a,b,c de {U,A,B,C}^3 est on montre pour l'associativité que ax(bxc)=(axb)xc mais ici je prend a,c,b égale quoi??? merci de m'aider et bonnes vacances à tous
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[invite4793db90]

Salut,

calcule explicitement A, A², A³, A⁴ et A⁵: quelque chose devrait te marquer.

[invite03201ae3]

oui j'ai deja calculé et j'ai remarqué que B =-U et C=-A=-A^5

[invite4793db90]

oui j'ai deja calculé et j'ai remarqué que B =-U et C=-A=-A^5

Parfait. Maintenant, "groupe cyclique", ça te dit quelque chose?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03201ae3]

oui c'est bon merci j'ai montré que l'ensemble était stable par le produit matriciel et qu'on pouvait alors dresser la table de loi par x.

[invitedf667161]

Une fois que tu as montré que A^5=A, tu as fini.
L'ensemble que tu as donné est stable par produit et l'inversse de n'importe quel élément est facile à trouver vu la table que tu as du dresser.

Maintenant pour ta première question : il ne faut pas te soucier de l'associtivité de la multiplication dans ton ensemble, elle découle automatiquement de celle de la multiplication dans Mn(R).

[invite4793db90]

Salut,

il est sympa ton exercice: c'est un exemple de groupe multiplicatif de matrices qui n'est pas un sous-groupe de M_n(IR).
Au passage, il est isomorphe à (Z/4Z,+) (ou, si tu préfères, au groupe des racines quatrième de l'unité).

A+

[invitedf667161]

Salut,

il est sympa ton exercice: c'est un exemple de groupe multiplicatif de matrices qui n'est pas un sous-groupe de M_n(IR).
Au passage, il est isomorphe à (Z/4Z,+) (ou, si tu préfères, au groupe des racines quatrième de l'unité).

A+

Euh un sous groupe de Mn(R) serait additif non? (puisque Mn(R) n'est pas un groupe multiplicatif!)
Le groupe en question est juste un sous groupe fini de GLn(R), isom à Z/4Z en effet vu la table.

[invite6f044255]

Ce que j'aime dans cet exercice, c'est la tete du neutre (necessaire a la structure de groupe)

A^4=
8/9 2/9 -2/9
2/9 5/9 4/9
-2/9 4/9 5/9

Assez contre-intuitif comme neutre.

[invite4793db90]

Euh un sous groupe de Mn(R) serait additif non? (puisque Mn(R) n'est pas un groupe multiplicatif!)

Oui, en effet.
Disons que c'est un groupe contenu dans le monoïde multiplicatif et commutatif M_n(IR) et pas dans GL_n(IR)!

Le groupe en question est juste un sous groupe fini de GLn(R), isom à Z/4Z en effet vu la table.

Sans regarder la table, on voit clairement qu'il est cyclique à quatre éléments.

Cordialement.

[invite4793db90]

il est sympa ton exercice: c'est un exemple de groupe multiplicatif de matrices qui n'est pas un sous-groupe de M_n(IR).

Ou plutôt que ce n'est pas un sous-monoïde de (M_n(IR),x).

A+

[invitedf667161]

houlala mais j'avais pas fait les calculs, j'aurais du!
Ce groupe là n'est pas (vraiment) un sous groupe de GLn(R), puisqu'il a pas le bon neutre.
J'avais déjà vu des sales exemples de sous anneau unitaire d'un anneau unitaire qui n'avaient pas la même unité, mais je savais pas qu'on pouvait faire des trucs de la même trempe aussi simplement...