Groupe des matrices involutives

[invited5b2473a]

Bonjour à tous,
voilà un problème qui me pose problème (!) :

soit G un sous-groupe multiplicatif commutatif de tel que toute matrice M de G vérifie M²=.
Montrer que ce sous-groupe est fini et donner une majoration du cardinal en fonction de n.

J'ai tout d'abord remarqué que les matrices de G sont diagonalisables avec pour valeurs propres 1 ou -1. Puis j'ai pensé à regarder les classes d'équivalence pour la relation de similitude. Il y en a au-mieux 2ⁿ. Il me reste alors à démontrer que ces classes d'équivalence sont finies mais là je bloque.

Si quelqu'un pouvait m'aider,....
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[invitedf667161]

C'est bizarre j'ai déjà vu cet exercice, il sert entre autres à montrer que GL_n(R) est isomorphe à GL_m(R) si et seulement si n=m.

Cela ne t'avance pas je te l'accorde. Il me semble qu'au moment où je l'avais fait ce problème de classe de similitude ne se posait pas et que toutes les matrices de ce sous-groupe sont de la forme diag(+/- 1), et non pas seulement semblables à une matrice de ce style.

[invited5b2473a]

Je suis d'accord que les matrices de ce sous-groupes sont semblables à des matrices diagonales (1/-1). Je voulais montrer que les classes de similitudes de ces matrices diagonales sont finies mais en vain.

[invitedf667161]

Les classes de similitude ne sont pas finies. Il y a trop de matrices inversibles pour cela.

Non je pense que tu es parti sur une voie un tout petit pu à coté de la bonne. Comme je te l'ai dit je me rappelle clairement que les matrices en question sont exactement de la forme diag(+/- 1)

EDIT : après reflexion peut-être je dis des conneries, creuse les deux voies et je te dis si j'ai une illumination, ce qui est rare en période de vacances

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

je considère les classes dans G et sont donc nécessairement finies (puisque G l'est)

[invitedf667161]

Ah bin non ! Il faut le montrer que le groupe est fini.

Par contre voilà une illumination, qui l'eut cru : ton groupe est commutatif. Ca se voit facile en prenant M et N dedans et en regardant MNMN.

Du coup il ne doit ya voir plus qu'un pas pour montrer que si M dans G est semblable à diag(+/- 1) alors est en fait égale à diag(+/- 1)

EDIT : pf en plus c'est marqué dans l'énoncé qu'il commute ton groupe ... tu devrais y arriver là

[invited5b2473a]

justement c'est ce que j'essaye de démontrer désespérement

[invited5b2473a]

attends j'ai peut-être trouvé: on a le droit d'utiliser le faite que si j'ai une famille d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux, alors ils sont codiagonalisables??

[invitedf667161]

Si par codiagonalisable tu entends diagonalisables dans une même base alors oui
Et en effet c'est fini alors

ils ne sont pas exactement de la forme diag(+/- 1) mais de la forme P diag(+/- 1) P^-1

[invited5b2473a]

C'est bon j'ai trouvé. Merci