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Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...



  1. #1
    Skippy le Grand Gourou

    Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...


    ------

    Salut,

    J'ai encore quelques petits problèmes de familiarisation avec les tenseurs et la notation covariante... Toute tentative d'aide serait la bienvenue.


    1) Tout d'abord, une question facile : , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi ...)


    2) Ensuite, j'ai le générateur I3 défini par
    .
    Si j'ai bien compris, on peut le représenter par la matrice
    ).
    Le problème c'est que je suis censé prouver l'égalité :
    .
    Or à partir de la matrice précédente, je n'arrive qu'à :
    ...
    Quelqu'un peut me dire où sont passés les 1 et les signes - ? Pour les signes -, je pense qu'en fait on doit avoir et (ce qui les ferait apparaître dans I3 , et j'aurais ainsi I3
    sous la forme telle que je l'ai trouvée dans un cours en ligne), mais j'aimerais qu'on me le confirme. Par contre, pour les 1, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, je ne comprends pas...


    3) Enfin, mon dernier problème ressemble un peu au deuxième : il s'agit cette fois-ci de démontrer l'égalité :
    ,
    avec . J'en déduit que J3 s'écrit sous forme matricielle :
    .
    Mais je me retrouve alors avec le même problème que pour la question précédente : je trouve
    ...
    Pour le signe -, je pense définitivement que l'explication que j'ai avancée est la bonne, mais les 1 ont encore disparu !...


    Si quelqu'un pouvait me venir en aide... Merci.



    PS : Je sais, je sais, il faudrait que je cherche dans des bouquins. Mais on est samedi soir... Et pis j'en ai pris un, de bouquin (Field quantization, de Greiner et Reinhardt), mais ça m'aide pas beaucoup...

    -----
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Des réponses pour ce qui est à mon niveau!

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    Salut,

    1) Tout d'abord, une question facile : , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi ...)
    Non, ce n'est pas un scalaire, mais un tenseur d'ordre (1,1). Et l'égalité est vraie parce que dans cette notation tensorielle, la multiplication est commutative (parce que la multiplication l'est dans R).

    et (ce qui les ferait apparaître dans I3 ,
    C'est ce que je dirais aussi.

    Sinon, mais ça va pas t'aider, mais tes notations sont difficiles... le ,\nu est utilisé par certains auteurs pour différentier, et utliser i comme indice avec le i complexe dans la même formule, ça trouble...

    Cordialement,

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Sinon, pour l'exponentielle (point 2), la formule c'est I + M + 1/2 M² + 1/6 M3+.... Le I du début va te donner les 1 manquants, non???

    Cordialement,

  5. #4
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mmy
    Non, ce n'est pas un scalaire, mais un tenseur d'ordre (1,1). Et l'égalité est vraie parce que dans cette notation tensorielle, la multiplication est commutative (parce que la multiplication l'est dans R).
    D'accord, merci. C'est encore un peu flou dans ma tête, mais y'a du mieux.
    Citation Envoyé par mmy
    Sinon, mais ça va pas t'aider, mais tes notations sont difficiles... le ,\nu est utilisé par certains auteurs pour différentier, et utliser i comme indice avec le i complexe dans la même formule, ça trouble...
    Oui, je sais, on a eu cette notation dans un autre cours, et je ne serais pas étonné que le prof de cette matière l'utilise également d'ici à la fin de l'année (la virgule-dérivée)... Pour le double-emploi du i, c'est vrai que le nombre de lettres relativement peu élevé de notre alphabet ne permet pas de varier énormément (quand on y réfléchit, à peu près toutes les lettres sont attribuées...). On fait des efforts en utilisant l'alphabet grec, mais il y aurait peut-être moins de confusions si on utilisait les caractères chinois !
    Citation Envoyé par mmy
    Sinon, pour l'exponentielle (point 2), la formule c'est I + M + 1/2 M² + 1/6 M3+.... Le I du début va te donner les 1 manquants, non???
    Bien vu ! J'avais oublié le M0... Merci de ton aide !
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gatsu

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ?
    Citation Envoyé par mmy
    Non, ce n'est pas un scalaire, mais un tenseur d'ordre (1,1).
    Rigoureusement il me semble n'est pas non plus un tenseur, c'est la composante d'un tenseur une fois covariant et une fois contravariant par rapport à une base de l'espace E et à une base de son dual E*, c'est donc un nombre réel, ce qui explique la commutativité dans l'écriture (comme l'a dit mmy). La dénomination "scalaire" est habituellement utilisée pour parler d'un tenseur (0,0) c'est à dire un tenseur qui n'a qu'une seule composante qui de surcroit est invariante par changement de base.

  8. #6
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    D'accord, je comprends mieux maintenant, merci.
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par gatsu
    Rigoureusement il me semble n'est pas non plus un tenseur, c'est la composante d'un tenseur une fois covariant et une fois contravariant par rapport à une base de l'espace E et à une base de son dual E*, c'est donc un nombre réel, ce qui explique la commutativité dans l'écriture (comme l'a dit mmy). La dénomination "scalaire" est habituellement utilisée pour parler d'un tenseur (0,0) c'est à dire un tenseur qui n'a qu'une seule composante qui de surcroit est invariante par changement de base.
    Il y peut-être un problème de notation, mais je ne crois pas. Cette notation est celle d'un tenseur à n² composantes, n étant la dimension de l'espace (ici n=4). C'est une fonction bilinéaire à deux arguments, un dans E, un dans E* et à résultat dans R. Les matrices carrées correspondent à trois sortes de tenseurs, (2,0), (1,1) et (0,2), et les trois on droit au nom "tenseur"...

    Cordialement,

  11. #8
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Bon, du coup je ne suis plus sûr de rien... Dans ce cas, je ne vois pas trop pourquoi ça commute...
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    Bon, du coup je ne suis plus sûr de rien... Dans ce cas, je ne vois pas trop pourquoi ça commute...
    Les multiplications tensorielles commutent. Sans contraction, une composante d'un produit est le produit de deux composantes: ça commute. Avec contraction, une composante est la somme de produits de composantes, ça commute encore...

    La multiplication matricielle ne commute pas, mais il suffit de noter pour voir pourquoi.





    C et D sont différentes et correspondent aux deux multiplications matricielles entre A et B. En notation tensorielle, la multiplication tensorielle est commutative. Mais la multiplication matricielle demande une contraction: c'est le choix de l'indice qui permet de choisir l'ordre de la multiplication matricielle...

  13. #10
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Donc lorsque j'écris AijBjk, j'ai deux interprétations possibles : soit je sais que ce sont des tenseurs et dans ce cas ça commute, soit je sais que ce sont des matrices, auquel cas ça ne commutent pas. Il n'y a aucune différence au niveau de l'écriture. C'est ça ?
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

  14. #11
    gatsu

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mmy
    Il y peut-être un problème de notation, mais je ne crois pas. Cette notation est celle d'un tenseur à n² composantes, n étant la dimension de l'espace (ici n=4). C'est une fonction bilinéaire à deux arguments, un dans E, un dans E* et à résultat dans R. Les matrices carrées correspondent à trois sortes de tenseurs, (2,0), (1,1) et (0,2), et les trois on droit au nom "tenseur"...

    Cordialement,
    Je pense qu'on est pas d'accord sur les notations (c'est meme clair).
    Pour moi, si je considère un tenseur deux fois covariant par exemple (qui agit donc sur deux vecteurs de E) et si sont deux vecteurs de E, ne veux rien dire du tout...donc n'est pas un tenseur (d'apres ce que je sais). En revanche normallement par définition est un nombre réel et est la composante du tenseur dans la base ce qui une fois encore explique la commutativité.

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    Donc lorsque j'écris AijBjk, j'ai deux interprétations possibles : soit je sais que ce sont des tenseurs et dans ce cas ça commute, soit je sais que ce sont des matrices, auquel cas ça ne commutent pas. Il n'y a aucune différence au niveau de l'écriture. C'est ça ?
    Pas dans ce que je comprends... J'interpréte une notation comme celle-ci comme tensorielle. Cela correspond, si je regarde en composantes, à une multiplication matricielle. Mais c'est le choix de l'indice de contraction qui m'indique si c'est AB ou BA en matricielle, pas l'ordre dans lequel est écrit la multiplication tensorielle. Dans un cas on contracte l'indice haut de A avec l'indice bas de B, et dans l'autre cas on contracte l'indice bas de A avec l'indice haut de B. Les deux contractions sont bien distinctes en notation tensorielle, et donne des résultats distincts, et cela correspond aux deux cas de la multiplication matricielle.

    Cordialement,

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par gatsu
    Je pense qu'on est pas d'accord sur les notations (c'est meme clair).
    Pour moi, si je considère un tenseur deux fois covariant par exemple (qui agit donc sur deux vecteurs de E) et si sont deux vecteurs de E, ne veux rien dire du tout...
    Je ne comprends pas. Ce n'est pas une écriture usuelle, mais je l'interpréte sans hésiter comme



    Ecrire un tenseur (et non une des ses composantes) sous la forme est tout à fait courant... Où est le problème?

    Cordialement,

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    En reprenant le texte d'origine, la question tourne autour de

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi ...)
    Le mot clé c'est scalaire. Si on interprète comme une composante, c'est un réel mais pas un scalaire (c'est une valeur qui dépend du choix de base, donc pas un scalaire). Considérer que dénote le tenseur ne pose pas de problème. On peut aussi le voir comme une composante, mais le contexte fait la différence... Ici, la question me semblait parler de tenseurs, pas de composante.

    Cordialement,

  19. #15
    gatsu

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mmy
    Je ne comprends pas. Ce n'est pas une écriture usuelle, mais je l'interpréte sans hésiter comme



    Ecrire un tenseur (et non une des ses composantes) sous la forme est tout à fait courant... Où est le problème?

    Cordialement,
    Ok, si je veux écrire les choses comme toi j'obtient:
    ....tu trouves pas qu'il y a une coquille dans l'écriture?

    cordialement,

  20. #16
    mtheory

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    Salut,

    J'ai encore quelques petits problèmes de familiarisation avec les tenseurs et la notation covariante... Toute tentative d'aide serait la bienvenue.


    1) Tout d'abord, une question facile : , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi ...)
    Hum...j'ai l'impression que c'est une matrice de changement de repère et donc pas un tenseur,ce que tu écrit ressemble à la loi de transformation des de Dirac
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Je discute tout seul...

    Je crois comprendre le problème, qui est juste un problème de notation entre une même écriture qui peut être vue comme dénotant une composante particulière ou tout le tenseur.

    Un extrait d'un texte pris comme exemple

    Citation Envoyé par http://www.astrosurf.org/lombry/relativite-concepts-tenseur-rc.htm
    Le tenseur de Riemann-Christoffel, dit tenseur de courbure est le tenseur-clé de la théorie généralisée d’Einstein. Il dispose de quatre indices et est symbolisé par (l,m,n et k en notation latine). Le tenseur de courbure se décompose en deux parties, le tenseur de Weyl, et le tenseur de Ricci, comportant chacun 10 composantes, 10 rayons de courbure différents[9]
    Dans ce texte on voit que l'écriture indicée dénote le tenseur directement, c'est clair par le sens des phrases. C'est peut-être un peu "libre" comme écriture, mais courant me semble-t-il...

    On peut trouver d'autres textes disant que la notation est celles des composantes. L'une ou l'autre des conventions, ou le mélange, ne pose pas de problème, à mon sens...

    Cordialement,

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par gatsu
    Ok, si je veux écrire les choses comme toi j'obtient:
    ....tu trouves pas qu'il y a une coquille dans l'écriture?
    Je ne comprends toujours pas. Mets le symbole Sigma pour les contractions et je verrais peut-être mieux ce que tu appelles la coquille...

    Cordialement,

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  24. #19
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mtheory
    Hum...j'ai l'impression que c'est une matrice de changement de repère et donc pas un tenseur,ce que tu écrit ressemble à la loi de transformation des de Dirac
    C'est un bon point, mais ça rajoute une dimension à la discussion... J'avais l'impression que l'on discutait si c'était un réel ou un objet plus complexe. La distinction symbole/tenseur dépend du contexte, il me semble... Je ne discutais personnellement que de notations...

    Cordialement,

  25. #20
    mtheory

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mmy
    C'est un bon point, mais ça rajoute une dimension à la discussion... J'avais l'impression que l'on discutait si c'était un réel ou un objet plus complexe. La distinction symbole/tenseur dépend du contexte, il me semble... Je ne discutais personnellement que de notations...

    Cordialement,
    mon hum était interrogatif pas critique ,je ne suis pas sûr de ce que skippy à écrit .
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  26. #21
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mmy
    Mais c'est le choix de l'indice de contraction qui m'indique si c'est AB ou BA en matricielle, pas l'ordre dans lequel est écrit la multiplication tensorielle. Dans un cas on contracte l'indice haut de A avec l'indice bas de B, et dans l'autre cas on contracte l'indice bas de A avec l'indice haut de B. Les deux contractions sont bien distinctes en notation tensorielle, et donne des résultats distincts, et cela correspond aux deux cas de la multiplication matricielle.
    Ok, ça commence à s'éclaircir dans ma tête. Donc en fait, si on a un produit de plusieurs tenseurs, on peut les écrire dans n'importe quel ordre du moment qu'on ne change pas la position relative des indices.
    Citation Envoyé par mmy
    Si on interprète comme une composante, c'est un réel mais pas un scalaire (c'est une valeur qui dépend du choix de base, donc pas un scalaire).
    Là encore, tout devient limpide.
    Citation Envoyé par mtheory
    Hum...j'ai l'impression que c'est une matrice de changement de repère et donc pas un tenseur,ce que tu écrit ressemble à la loi de transformation des de Dirac
    c'est une transformation de Lorentz, mais si tu pouvais m'énoncer cette loi de transformation, je suis preneur...

    Concernant la notation, je pensais en tant que composante particulière, mais maintenant je crois comprendre que j'avais tort : en fait, la commutation est plus générale que ce que je pensais.
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

  27. #22
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    Ok, ça commence à s'éclaircir dans ma tête. Donc en fait, si on a un produit de plusieurs tenseurs, on peut les écrire dans n'importe quel ordre du moment qu'on ne change pas la position relative des indices.
    Plus précisément du moment que, s'il y a une contraction, on écrive correctement le ou les indices qui sont contractés, c'est-à-dire ceux qui sont indiqués par une lettre répétée une fois en haut, une fois en bas.

    Dans une multiplication tensorielle, le plus gros de l'information sur l'opération effectuée est en fait donné par les indices!

    Cordialement,

  28. #23
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Oui, bien sûr. On est d'accord. Merci !
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par gatsu
    Ok, si je veux écrire les choses comme toi j'obtient:
    ....tu trouves pas qu'il y a une coquille dans l'écriture?
    Je ne suis pas sûr de comprendre, mais je viens de réaliser que l'écriture contient . J'ai déjà vu cette contradiction dans des textes: une manière d'interpréter cette écriture donne un réel, l'autre donne un vecteur. Pour obtenir un vecteur, il faut considérer que cela représente avec des réels et des vecteurs. Le mélange de convention aboutit à la coquille, il me semble, non?

    Cordialement,

  30. Publicité
  31. #25
    gatsu

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par mmy
    Je ne suis pas sûr de comprendre, mais je viens de réaliser que l'écriture contient . J'ai déjà vu cette contradiction dans des textes: une manière d'interpréter cette écriture donne un réel, l'autre donne un vecteur. Pour obtenir un vecteur, il faut considérer que cela représente avec des réels et des vecteurs. Le mélange de convention aboutit à la coquille, il me semble, non?

    Cordialement,
    Oui il semble que j'ai été très peu précis dans ce poste désolé.
    Je me place dans E et considère deux vecteurs de E (dans la base {} de E on a donc et ).
    ....je viens de me rendre compte comment cette notation pouvait etre mal interprétée (comme tu l'a fait remarqué mmy), en effet si on considère comme la composante d'un tenseur 1 fois covariant (et non comme un vecteur) alors est un produit contracté et est donc scalaire ce qui n'est pas du tout pareil nous sommes d'accord .

    La coquille que je voulais souligner dans mon précedent poste était que si l'on considère comme un tenseur et non comme une composante on arrivait à l'écriture:
    .
    Ensuite si on comprenait (1) ça impliquait l'égalité
    que je trouve personnelement ambigüe d'autant qu'on ne sait plus entre le membre de gauche et de droite de l'égalité (1) si doit etre pris comme un tenseur (à gauche) ou un nombre (à droite).
    Dans la notation que je connais, les seuls tenseurs indicés qui existent sont les vecteurs de bases de E et de son dual E* ainsi que tous les produits tensoriels qu'on peut faire avec mais ça s'arrete là (par exemple les sont des tenseurs 1 fois contravariants avec pour définition en considérant un élément du dual E*, est la composante de exprimé dans la base duale de ).

  32. #26
    invité576543
    Invité

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Bonjour,

    Dans mes lectures, j'ai rencontré pas mal de manière de présenter les tenseurs, et pas mal de notations un peu différentes.

    Très grossièrement, je les classe en deux catégories: celles qui s'occupent des bases, et celles qui ne s'en occupent pas.

    Les présentations qui s'occupent des bases privilégient la notion de composante, vont donner les formules de changement de repère, parler de matrices, ... Les notations présentées par Gatsu tombent dans cette catégorie: un tenseur sera indiqué par une lettre (X par exemple) et son rang sera indiqué dans le texte.

    Les présentations qui ne s'occupent pas des bases parlent des tenseurs en eux-mêmes, comme objets. On ne s'y occupe pas de présenter explicitement les changements de repère (ils sont implicites). Les tenseurs sont alors dénotés avec des indices muets, ce qui permet de donner leur rang sans texte. Le texte que j'ai cité appartient à cette catégorie.

    Tout ça, c'est juste des conventions. L'important est de savoir ce dont on parle, et cela dépend du contexte...

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 07/11/2005 à 05h39.

  33. #27
    gatsu

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Oui quelle que soit la convention prise l'important est de comprendre un texte le moment voulu.
    En esperant que ces histoires de convention d'écriture n'auront pas desservies Skippy le Grand Gourou dans sa compréhension des differentes ecritures.

  34. #28
    Skippy le Grand Gourou

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par gatsu
    En esperant que ces histoires de convention d'écriture n'auront pas desservies Skippy le Grand Gourou dans sa compréhension des differentes ecritures.
    Non, au contraire. Pour l'instant je crois qu'on utilise la deuxième convention (celle qui ne s'occupe pas des bases), mais si on change en cours de route je saurais qu'il faudra que je me méfie...

    Encore merci pour votre aide.
    "J'ai horreur des scientifiques, les chercheurs sont des nuisibles" [Patrick Besson]

  35. #29
    spi100

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Citation Envoyé par Skippy le Grand Gourou
    Salut,

    J'ai encore quelques petits problèmes de familiarisation avec les tenseurs et la notation covariante... Toute tentative d'aide serait la bienvenue.


    1) Tout d'abord, une question facile : , écrit tout seul, comme ça, c'est un scalaire ? (Ce qui expliquerait pourquoi ...)
    C'est une question d'usage :
    Quand tu écris , on sous-entend "pour tout ". C'est en fait l'expression matricielle que l'on exprime dans une base donnée.
    Maitenant si est une matrice, est une composante de cette matrice, i.e. un nombre. Donc pas de problème à multiplier par la gauche ou par la droite dans l'expression que tu donnes. Elle ne signifie nullement que et commuttent.

    En résumé
    n'est pas un scalaire mais une composante de la matrice .

  36. #30
    Karibou Blanc

    Re : Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

    Aie aie c'est la panade la

    Ecris comme ca : est la composante d'un 4-vecteur puisqu'on a somme implicitement sur . est donc un nombre ! C'est la composante de la matrice . Attention pas un scalaire mais un nombre. Un scalaire est un objet invariant sous le groupe de transformations, un nombre est un element d'un espace vectoriel a une dimension. Bref un scalaire est "represente" par un nombre. est une composante d'un 4-vecteur de Lorentz, c'est donc aussi un nombre sous ce groupe de transformations , MAIS c'est aussi une matrice sous le groupe SL(2,C) (c'est une matrice de Dirac). En developpant toutes les composantes on devrait ecrire : qui est un nombre. et sont des indices de Dirac et non a priori rien a voir ceux de Lorentz !

    Bref tout ca pour dire que car ce sont tous les deux des nombres sous le groupe de Lorentz et que des nombres commutent.

    KB

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