Des tenseurs, des matrices et des transformations de Lorentz...

[Lévesque]

Aie aie c'est la panade la

Ecris comme ca : est la composante d'un 4-vecteur puisqu'on a somme implicitement sur . est donc un nombre !

Je ne comprends pas très bien ce que tu dis. Cela revient à dire que n'est pas un 4-vecteur mais la composante d'un 4-vecteur. En fait, après avoir fait la somme sur dans , il te reste un indice libre. On a affaire à un 4-vecteur, qu'on peut écrire comme , , etc. Puisque , etc sont des vecteurs, et une matrice, j'ai de la difficulté à admettre que ça commute sans preuve.


Cordialement,

Simon
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[gatsu]

En fait, après avoir fait la somme sur dans , il te reste un indice libre. On a affaire à un 4-vecteur, qu'on peut écrire comme , , etc. Puisque , etc sont des vecteurs, et une matrice, j'ai de la difficulté à admettre que ça commute sans preuve.

Comme l'a dit Karibou Blanc ça commute parceque c'est des nombres (du moins c'est une des façons de voir). Il semblerait qu'il n'y ai pas de convention de lecture de l'écriture tensorielle qui soit communément admise bizarre non?

[Lévesque]

Comme l'a dit Karibou Blanc ça commute parceque c'est des nombres (du moins c'est une des façons de voir). Il semblerait qu'il n'y ai pas de convention de lecture de l'écriture tensorielle qui soit communément admise bizarre non?

Mmm... Je ne connais pas de convention où est un nombre. Donc, la convention, ce serait que (par exemple), n'a pas le même statut que ?

Pourtant, se transforme comme un 4-vecteur, et pas comme un scalaire:





Je ne comprends pas ce que je ne comprends pas... Vous pouvez m'éclaircir votre point de vue sur votre convention dans laquelle est un nombre (se transforme comme un scalaire)?


Simon

[Lévesque]

Je pense que Skippy voulais montrer l'invariance d'une équation (Dirac par exemple), et intervertit et dans son équation. En ce qui me concerne, il faudrait que je puisse voir le calcul, à savoir si effectivement tu peux intervertir. Mais selon ce qu'il a présenté, je ne suis absolument pas d'accord que les quantités en questions commutent, puisqu'il s'agit du produit d'un 4-vecteur et d'une matrice. Il faudrait vraiment m'expliquer votre convention...

[Karibou Blanc]

Salut,

ça commute parceque c'est des nombres (du moins c'est une des façons de voir)

Ce n'est pas une facon de voir ce SONT des nombres. Il n'y a pas de convention, tout au plus on fait un abus de langage en ecrivant que est un vecteur. Non c'est une nombre, la ième composante du vecteur position X.
Pareil pour la matrice .
L'origine de la confusion vient du fait qu'on oublie regulierement la sommation sur les indices muets (répétés).


Que signifie cette ecriture ? C'est la somme d'un produit de nombres ! C'est la -ieme composante d'un vecteur (un nombre donc) que j'obtiens en sommant les produits des éléments (encore des nombres) d'une ligne de la matrice avec les composantes du vecteur X (toujours des nombres).

Bref developpez a la main AU COMPLET un produit matriciel pour vous en convaincre. Ce ne sont que des nombres !!!!
Et les nombres usuels commutent...

KB

[Karibou Blanc]

Puisque , etc sont des vecteurs, et une matrice, j'ai de la difficulté à admettre que ça commute sans preuve.

encore une fois n'est pas une matrice sous le groupe de Lorentz, ce sont les composantes d'un 4-vecteur. Pourquoi ? Mais tout simplement parce qu'il n'y a qu'un indice de Lorentz pour indexé les composantes de !!

La difference c'est que chaque composante de ce vecteur est une matrice et plus un nombre comme .
MAIS (et ce mais est des plus important), ce n'est pas une matrice sous le groupe de Lorentz mais sous SL(2,C). Par consequent le fait qu'il s'agisse d'une matrice n'intervient PAS dans la contraction d'un indice de Lorentz comme :


C'est encore une fois une somme de produits de composantes, dont certaines sont des nombres et d'autres des matrices. Et des nombres commutent avec des matrices !!

Derniere chose,
Avant de ce lancer dans ce genre de formalisme, je pense qu'il est hautement conseillé d'etudier un minimum de theorie des groupes et de ne pas se lancer dans ces écritures sans savoir exactement (mathematiquemen) ce qu'est une representation d'un groupe.

KB

[gatsu]

Mmm... Je ne connais pas de convention où est un nombre. Donc, la convention, ce serait que (par exemple), n'a pas le même statut que ?

Pourtant, se transforme comme un 4-vecteur, et pas comme un scalaire:





Je ne comprends pas ce que je ne comprends pas... Vous pouvez m'éclaircir votre point de vue sur votre convention dans laquelle est un nombre (se transforme comme un scalaire)?

Dans le cours de maths sur les tenseurs que j'ai eu, on differencie les notions de tenseur et composante de tenseur. Dans ce cas, est une composante de quadrivecteur et non un quadrivecteur et le quadrivecteur (tenseur contravariant) s'écrirait alors .
Par exemple lorsque plus haut tu dis

Pourtant, se transforme comme un 4-vecteur, et pas comme un scalaire:

mon prof dirait plutot "Pourtant, se transforme comme la composante d'un 4-vecteur".
A priori un quadrivecteur en tant qu'entité mathématique se moque completement de la base mais ce n'est pas le cas de ses composantes.
De manière générale (dans le cours que j'ai eu) on peut faire la même chose avec les tenseurs. Aussi on écrit un tenseur p fois covariant sur , comme où les sont les composantes (ce sont des nombres pas des scalaires) du tenseur relativement à la base où les sont les vecteurs de base du dual E* de E.

[Lévesque]

Dans le cours de maths sur les tenseurs que j'ai eu, on differencie les notions de tenseur et composante de tenseur. Dans ce cas, est une composante de quadrivecteur et non un quadrivecteur et le quadrivecteur (tenseur contravariant) s'écrirait alors .

D'accord, merci à vous deux, ça apporte beaucoup à ma compréhension. Je vois souvent, dans les livres de physique, que est un 4-vecteur, i.e. une liste de 4 nombres. C'est comme si, du moment que l'indice n'était pas déterminé, l'objet qui le possède est sous sa forme vectorielle. Pour être plus précis, je vois souvent des trucs du genre:
(1)
(2).

Mais bon, vous avez surement raison... Mais, KB, ça ne pourrait pas être dangereux si on adopte ce que tu dis dans un livre qui écrit des trucs comme (1) et (2)? Là n'était pas la question de convention discutée plus haut?

Merci,

Simon

[invité576543]

Bonjour,

Quelques remarques, pour ce qu'elles valent, expliquant comment j'arrive à lire les différentes notations sans me faire des noeuds au cerveau...

Il n'y a pas de convention, tout au plus on fait un abus de langage en ecrivant que est un vecteur.

Je ne vois pas cela comme un abus de langage. Il y a DEUX conventions.

La première est de voir comme une composante d'un objet x, x étant n'importe quoi. C'est celle qui est utilisée quand on explicite les bases ou les matrices.

La deuxième est de voir comme un tenseur de rang (1, 0), la liste et position du ou des indices muets permettant d'indiquer sa nature (ici rang 1 contravariant). Un nombre (un scalaire) est alors ce qui est noté sans indice

Dans l'écriture de la multiplication tensorielle avec ou sans contraction, les deux conventions donnent une interprétation valable. La multiplication tensorielle n'est jamais entre un nombre et un tenseur, mais entre tenseurs, avec le premier un scalaire.

Maintenant, quand on essaye de parler de composantes, on doit introduire la multiplication entre un nombre (une composante) et un tenseur (un élément de la base). Et ce n'est PAS la multiplication tensorielle. Ainsi ne doit pas être interprétée comme la même opération que la multiplication tensorielle. La notion même d'indice et de position des indices n'est plus la même. Utiliser la convention de sommation explicite sème le trouble, et amène une confusion entre la mutiplication réel x tenseur, et la notation scalaire x tenseur ou plus généralement tenseur x tenseur.

Cela s'applique de la même manière quand on parle de multiplication matricielle. En fait la multiplication matricelle et la multiplication tensorielle avec contraction sont deux choses conceptuellement distinctes.

Ainsi, la multiplication tensorielle commute. Elle commute intrinsèquement, pas parce que les nombres commutent. Ainsi peut très bien se comprendre comme exprimant la commutation de la multiplication entre tenseurs. La contraction doit alors être exprimée explicitement pour qu'il n'y ai pas confusion. L'opération "multiplication de deux tenseurs (1,1) en contractant l'indice covariant du premier et l'indice contravariant du deuxième" ne commute pas parce que les indices contractés dépendent de l'ordre de notation (c'est exactement ce qui se passe dans la notation de multiplication matricielle). Mais l'écriture tensorielle avec explicitation de l'indice contractée permet de mettre les tenseurs dans n'importe quel ordre dans la notation de la multiplication.

En résumé, il y a deux mondes qui se mélangent difficilement:

Soit on parle de tenseurs et de multiplication tensorielle en explicitant les ordres (en indiquant toujours les indices muets de manière a indiqué la nature du tenseur et pas les composantes) et en explicitant les indices de contraction.

Soit on parle de base, de matrices et de composantes... C'est en particulier le cas quand on introduit la matrice de changement de base.

Il faut alors faire la chasse aux notations qui mélangent les deux mondes, comme présenter une base avec . Plusieurs pistes: mettre les flêches, ce qui indique par une autre manière la nature des objets mais ça limite aux tenseurs (1,0)... Réserver la sommation implicite à la multiplication tensorielle et dire dans le texte de quoi on parle...

Une dernière note, qui peut peut-être aider! On peut présenter la notion de base tensoriellement, en évitant certains usages des indices... Soit une base "usuelle", c'est à dire la donnée de dim tenseurs contravariants ici notés tensoriellement. Alors, pour chaque , il existe un tenseur covariant tel que la ième composante du tenseur soit égale à .

Cordialement,

[Lévesque]

Merci mmy, très intéressant. J'étais un peu perturbé par

Que signifie cette ecriture ? C'est la somme d'un produit de nombres ! C'est la -ieme composante d'un vecteur (un nombre donc) que j'obtiens en sommant les produits des éléments (encore des nombres) d'une ligne de la matrice avec les composantes du vecteur X (toujours des nombres).

Si je me réfère à un livre que je considère fiable, je trouve

(*)
Weinberg, The Quantum Theory of Fields.

Difficile pour moi, regardant cette expression (lorsqu'exprimée sous forme matricielle, correspond au produit de 3 matrices) de considérer comme un nombre... (sinon, toutes mes équations ne seraient que des produits de nombres, et je pourrais intervertir l'ordre de tous mes objets, ça fonctionnerait pas toujours.)

Derniere chose,
Avant de ce lancer dans ce genre de formalisme, je pense qu'il est hautement conseillé d'etudier un minimum de theorie des groupes et de ne pas se lancer dans ces écritures sans savoir exactement (mathematiquemen) ce qu'est une representation d'un groupe.

Je suis d'accord. Mais même après avoir suivi un cours de math sur les groupes, j'aurais de la difficulté à interpréter chaque côté de (*) comme un nombre. Je te retourne la balle, en te disant que pour répondre à un physicien, il faut le faire en considérant ce qu'il peut retrouver dans ses livres.

[Karibou Blanc]

salut,

Je vais le repeter une 3eme fois. Des deux cotes de ton egalite (*) tu as bien un nombre....de Lorentz (ie une composante d'un quadrivecteur). Ce ne sont des matrices que sous SL(2,C) !
S est un scalaire (donc represente par un nombre) sous le groupe de Lorentz ! Mais un element de SL(2,C) represente par une matrice sous ce groupe.

Dans toutes ces egalites dont on parle depuis le debut, chaque objet a vit dans deux representations distinctes de 2 groupes differents : Lorentz et SL(2,C). Et depuis le debut, tu melanges les deux

Mais même après avoir suivi un cours de math sur les groupes, j'aurais de la difficulté à interpréter chaque côté de (*) comme un nombre.

Du point de vue du groupe de Lorentz, ce SONT des nombres.
Du point de vue de SL(2,C), ce sont des matrices (dont les indices n'ont pas ete explicites).
J'espere que la c'est plus clair comme ca.

Bilan : Ne PAS melanger les representations de SO(3,1) et SL(2,C) sinon vous courrez a la catastrophe...

Je te retourne la balle, en te disant que pour répondre à un physicien, il faut le faire en considérant ce qu'il peut retrouver dans ses livres.

Encore faut-il comprendre ce qu'on y trouve...

KB

[Lévesque]

Des deux cotes de ton egalite (*) tu as bien un nombre....de Lorentz (ie une composante d'un quadrivecteur). Ce ne sont des matrices que sous SL(2,C) !
S est un scalaire (donc represente par un nombre) sous le groupe de Lorentz ! Mais un element de SL(2,C) represente par une matrice sous ce groupe.

?????
Hummmm... je dois avouer que je me gratte le crâne là.
Je te fait confiance, mais j'avoue que tu me perds un peu.

Pour l'histoire d'inverser l'ordre de Lambda et gamma, je suis d'accord avec toi, quoi que je ne l'ai pas vu tout de suite. Là où je bloque, c'est quand tu dis que et S dans (*) sont des scalaires. Plus tard, tu as ajouté que dans SO(3,1) ils le sont, mais pas dans son recouvrement universel. Déjà là je me sens plus à l'aise. Disons, pour exprimer ce que je ne comprends pas, et que peut-être tu peux éclaircir, je me concentre sur l'équation (*):


En fait, ce qu'on a, c'est un système de 4 équations une pour chaque . Donc, l'équation (*) contient de l'information sur 4 égalités, qu'on peut écrire (c'est peut-être là que je me trompe) comme:

(**)

Mais pour moi (et c'est peut-être là que je me trompe) l'équation (*) et l'équation (**) sont exactement les mêmes. Comment puis-je alors considérer comme des nombres les objets que tu considères comme des nombres? Il faudrait que je considère chaque côté de (**) comme des nombres?


Cordialement,

Simon

[Karibou Blanc]

Salut Simon,

Oui c'est la que tu te trompes, comme je te le disais tu melanges les representations de SO(3,1) et SL(2,C) :

Le produit matriciel que tu veux ecrire est sous SL(2,C). Tu l'as ecris comme un produit sous Lorentz. Donc (**) est une mauvaise reecriture de (*). S est bien un scalaire de Lorentz (il n'y a pas d'indice grec) donc elle ne peut agir sur l'indice .
Au passage tu a ecris a droite de (**) une matrice x un vecteur x une matrice, ce qui n'a pas de sens mathematiquement. (*) est un produit matriciel de SL(2,C) pour fixe !

Je n'arrive pas a faire des matrices ici, mais jette un coup d'oeil a ce cours que je viens de trouver je pense qu'il te sera assez pratique. Il y a la forme explicite des matrices gamma.

http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-43/cel-43.html

KB

[Lévesque]

Salut Simon,

Oui c'est la que tu te trompes, comme je te le disais tu melanges les representations de SO(3,1) et SL(2,C)

J'avais plutôt l'impression de donner un exemple où n'était pas un nombre. Je ne comprends pas bien pourquoi ce n'est pas un tel exemple...

Le produit matriciel que tu veux ecrire est sous SL(2,C). Tu l'as ecris comme un produit sous Lorentz.

Voilà peut-être une piste de réponse. Dans SL(2,C), (donc S) est une 2x2 à 6 paramètres. peut-être écrite comme une 2x2 (de matrices 2x2). Alors je crois bien que (*) dans SL(2,C) est une équation où chaque côté de l'égalité est une matrice. Si ce n'est pas le cas, alors effectivement il y a quelque chose que je ne comprends pas. Si c'est le cas, alors mon unique but est réalisé, donner un exemple où n'est pas un nombre...

Donc (**) est une mauvaise reecriture de (*). S est bien un scalaire de Lorentz (il n'y a pas d'indice grec) donc elle ne peut agir sur l'indice .

Je m'en doute, j'avais dans l'idée (peut-être fausse) que je pouvais écrire (**) comme

(**)

Au passage tu a ecris a droite de (**) une matrice x un vecteur x une matrice, ce qui n'a pas de sens mathematiquement. (*) est un produit matriciel de SL(2,C) pour fixe !

cf (**) réécrite juste en haut.

Puisque je cherche un exemple où n'est pas un nombre, alors me diras-tu que cette recherche est vaine? Et que dans tous les représentations cette expression est un nombre? Parce que tu dis (me semble-t-il) que C'EST un nombre. J'ai l'impression que oui, mais seulement dans SO(3,1)...

Merci pour tes réponses, c'est pas tout clair pour moi.

Simon

[Karibou Blanc]

J'ai l'impression que oui, mais seulement dans SO(3,1)...

At last ! Oui c'est bien ca.

Dans SL(2,C), (donc S) est une 2x2 à 6 paramètres.

S oui mais pas .

dans SL(2,C) est une équation où chaque côté de l'égalité est une matrice

matrices de Sl(2,C) oui.

donner un exemple où n'est pas un nombre...

Merci pour tes réponses, c'est pas tout clair pour moi.

Au plaisir ! Ce ne sont pas des choses faciles a visualiser, il faut jongler avec des objets qui vivent dans des representations de deux groupes differents. Avec le temps, ca deviendra plus clair

KB