Hahn-Banach

[invite3ce7e460]

Bonjour, il y a quelquechose que je ne comprends pas sur les applications du théorème de hahn-banach:
Dans mon cours le théorème s'énonce ainsi:

Cas réel: "Soit E un espace normé séparable sur R et a dans E. Il existe une forme linéaire continue g sur E de norme 1 telle que g(a) = //a//."

Cas complexe: "Soit E un espace normé séparable sur C et a dans E. Il existe une forme linéaire continue g sur E de norme 1 telle que g(a) = //a//."

Après il y a le corollaire suivant:
"Si E est un espace normé, E' son dual et B' la boule unité de E', on a pour tout x de E: //x// = sup( pour f dans B'( /f(x)/ ))"

Ce que je ne comprends pas c'est que dans la démonstration de ce corollaire on applique Hahn-Banach sans avoir l'hypothèse de séparable pour E, et il en est de même pour un autre corollaire. L'hypothèse "séparable" ne paraît alors pas utile pour appliquer le théorème et pourtant elle l'était pour sa démonstration.

Merci d'avance de m'éclairer à ce sujet.
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[invited749d0b6]

L'hypothèse séparable n'est pas utile pour Hahn-Banach. On peut utiliser le lemme de Zorn et prendre un sous-espace maximal contenant sur lequel . Pour cela, soit l'ordre sur les sous-espace contenant munis d'une forme linéaire de norme égale à 1:
ssi et restreint à est égale à .
Il faut montrer que tout ensemble totalement ordonné de sous-espaces admet un majorant (c'est la réunion des sous-espaces) pour appliquer le lemme de Zorn.