vers le théorème de Hahn-Banach

[invite769a1844]

Bonsoir,

je n'arrive pas à boucler cet exo:

Soient un espace vectoriel sur , un sous-espace vectoriel de , et une application de dans telle que, pour tous , et tout , on ait:

.

a) Soit une forme linéaire sur telle que pour tout ;
montrer que pour tout , et tous on a:

.

b) Plus généralement, soit une forme linéaire définie seulement sur et telle que pour tout .

Pour tout , posons:

.

Montrer que et sont finis et que .

c) On conserve les même hypothèses que dans b), et on suppose ; soit un nombre quelconque .
Pour tout , et tout , posons

Montrer que est une forme linéaire sur le sous-espace vectoriel de engendré par et , que est identique à sur , et que pour tout .


Voilà je n'arrive pas à montrer que pour tout .

Merci pour votre aide.
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[invite35452583]

Il faut séparer les trois cas =0, >0 et <0.
Pour le 1er c'est évident.
Pour les second une division par , permet de se ramener au cas y=x+a. Ensuite il faut utiliser k<=K_a en changeant ce second terme par un plus grand mais plus intéressant.
Pour le 3ème cas on divise par , on utilise k_a<=k, pour le reste c'est le même que le second cas.

[invite769a1844]

d'accord, maintenant c'est clair.
merci homotopie

[invite769a1844]

Bon l'exo suivant me pose aussi problème:

Rappelons d'abord qu'un ensemble ordonné est dit inductif si toute partie de totalement ordonné de est majoré par un élément de ;
et rappelons aussi l'énoncé du théorème de Zorn (équivalent à l'axiome du choix):

"Dans un ensemble ordonné inductif , tout élément de est majoré par un élément maximal de "


On suppose que et sont définis comme dans l'exercice précédent.

Soit l'ensemble des couples , où est un sous-espace vectoriel de , et une forme linéaire sur , telle que sur .
On dira que

ou encore que est un prolongement de si et si est la restriction de à .

a) Montrer que cette relation est une relation d'ordre sur, et que l'ensemble ainsi ordonné est inductif.

b) Déduire de l'exercice précédent que tout élément maximal de est de la forme .

Déjà pour la a), je n'arrive pas à montrer que est inductif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Soit l'ensemble des couples , où est un sous-espace vectoriel de , et une forme linéaire sur , telle que sur .
On dira que

ou encore que est un prolongement de si et si est la restriction de à .

Déjà pour la a), je n'arrive pas à montrer que est inductif.

Soit une partie totalement ordonnée de .

Commence par montrer que est un sous-espace vectoriel, il te sera alors facile de construire un majorant de

[invite769a1844]

Soit une partie totalement ordonnée de .

Commence par montrer que est un sous-espace vectoriel, il te sera alors facile de construire un majorant de

ok merci, je ne vois pas comment définir la forme linéaire définie sur qui est et qui prolonge tous les , .

[invite769a1844]

Bon en fait si c'est bon, ils le disent dans wiki http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...lytique_.C2.BB.

[invite769a1844]

Voilà le dernier exo qui me pose problème:

Soient à nouveau définis comme dans l'exercice précédent.

a) Montrer que tout possède un prolongement .
Montrer en particulier qu'il existe toujours une forme linéaire sur telle que sur .

b) Montrer que la condtion nécessaire et suffisante pour que le prolongement de soit unique est que, pour tout on ait, avec les notations antérieures .

(Les énoncés de cet exercice constituent le théorème de Hahn-Banach dont les applications à l'Analyse sont multiples).


Déjà pour montrer que tout possède un prolongement , je ne vois pas comment procéder,

merci pour votre aide.

[invite769a1844]

Déjà pour montrer que tout possède un prolongement , je ne vois pas comment procéder

Bon je crois que j'ai compris, , donc d'après la question b) de l'exo précédent,
il existe une forme linéaire telle que .

[invite35452583]

Si pour un a ka<Ka alors tu as deux prolongements distincts à F+<a> cahcun se prolongeant à E.
Si ka=Ka quelles possibilités pour les images possibles de a pour les extensions de f ?

[invite769a1844]

ok, donc si pour tout , ,
alors comme ,
donc on a .

Ainsi on a au plus une possibilité:

la forme linéaire définie par convient.

Merci Homotopie.

[invite769a1844]

Voilà le dernier exo qui me pose problème:

Soient à nouveau définis comme dans l'exercice précédent.

a) Montrer que tout possède un prolongement .
Montrer en particulier qu'il existe toujours une forme linéaire sur telle que sur .

b) Montrer que la condtion nécessaire et suffisante pour que le prolongement de soit unique est que, pour tout on ait, avec les notations antérieures .

(Les énoncés de cet exercice constituent le théorème de Hahn-Banach dont les applications à l'Analyse sont multiples).

la forme linéaire est-elle alors continue?

[invite35452583]

la forme linéaire est-elle alors continue?

Il n'y a pas de topologie définie ici donc f n'est ni continue ni discontinue. Par contre dans la pratique la majoration par p induit souvent que f est continue.

[invite769a1844]

ah oui effectivement, je viens de retrouver ce résultat en corollaire dans le Brezis. Merci.