Sous-suite uniformément convergentes

[invited4ba974c]

Soit fn : [1,2] -> R, la fonction définie par fn(x) = [ ValAbs(nx^2-3n+2)*sin(n) ] / (5nx - 2).
Montrer que {fn} possède une sous-suite qui converge uniformément.

J'ai pensé utiliser le théorème de Arzela-Ascoli pour prouver que la fonction est équicontinue, et il faut aussi la borner.. Je n'ai pas réussi à faire ni l'un ni l'autre. Peut-être y a-t-il une autre stratégie?

Merci de me répondre le plus tôt possible!!
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[Tiky]

Bonjour,

Utiliser le théorème d'Arzelà-Ascoli est une bonne idée. est un compact.



car et le minimum est alors atteint en 1.

Donc

La famille de fonctions est bien bornée.

D'autre part
Avec C indépendant de x, y et n. J'utilise l'inégalité triangulaire renversée pour faire saute les valeurs absolues agaçantes.

Tu as donc une famille C-lipschitzienne, qui est donc a fortiori équicontinue.

[invite3240c37d]

Un autre point de vue : est évidement bornée, donc il existe une sous-suite convergente vers une limite .
Il est facile de voir que et que cette convergence est uniforme sur le compact :

et ... etc ..

Comme l'adhérence de est , on a que l'adhérence de est donnée par la famille de fonctions avec .

[invite3240c37d]

Désolé, erreur de frappe Mettre à la place de

,

L'adhérence de est donnée par la famille de fonctions avec

[A voir en vidéo sur Futura]