Salut tous,
suite à un poste sur les normes matricielles, je me suis rendu compte que je n'étais pas très au points avec les différentes propriétés des matrices.
Seiros et MisterDa m'ont donné déjà pas mal d'éléments mais je n'arrive pas à démontrer certaines propriétés.
Tout le long de ce poste je considère une matrice [A] et des valeurs propres L, "vp" veut dire valeurs propres.
I°) matrice non carré :
ma première question est simple : est qu'une matrice non carré est diagonalisable? (si non pk?) en fait je demande ceci car j'ai toujours travaillé avec des matrices carrés
II°) matrice symétrique (coeff reels):
je voudrais savoir comment démontrer (ou même montrer pour une matrice simple 4x4) :
II-1°) pourquoi une matrice symétrique à forcement des valeurs propres réelles ?
lorsque je calcul det(A-L.I) je tombe sur un polynome pas très joli dont le plus haut degès est la taille de la matrice (si elle n'est pas carré c'est le degrès du nombre de ligne ou colonne...?)
un polynome de degès "n" à dans l'espace complexe "n" racines (qui sont mes "n" valeurs propres). Donc mes valeurs propres sont des complexes :euh:
Du coup, comment montrer que ces complexes n'ont pas de partie imaginaire ....(je ne vois pas en quoi la symétrique va jouer quelque chose dans les racine d'un polynome ou les parties imaginaires...)
- cette matrice n'est pas forcement definie positive il faut verifier en plus X^t.A.X>0 ?
II-2°) et des vecteurs propres orthogonaux.
les vecteurs propres d'une matrice sont orthogonaux, mais comment démontrer ceci ?
II-3°) pourquoi une matrice symétrique est forcement diagonalisable ?
III°) matrice réelle non symétrique
j'ai lu sur un cours : "si A est reelle, alors à toute vp complexe Li est associée sa vp conjuguée"
III-1°) je n'ai pas compris qu'es ce qu'on appel une matrice reelle
- c'est une matrice dont tous les coefficients sont positif ? (j'ai vu sur wiki que cela s'appel une matrice positive..)
- une matrice définie positive n'est pas forcement une matrice réelle ?
III-2°) je n'ai pas compris la phrase sur les vp d'une telle matrice
- ça veut dire quoi une vp complexe associée à son conjugué ?
- que doit on conclure de cette phrase ? si une matrice est reelle alors ces vp sont reelles ?
IV°) matrice complexe
dans tous ce que j'ai dis au dessus qu'es ce qui change si ma matrice [A] n'a pas des coefficient réels ?
- une matrice complexe peut elle être définie positive ?
- une matrice complexe symétrique à quelles propriétés ?
...
V°) matrice non diagonalisable
V-1°) je n'ai pas compris pourquoi toutes les matrices ne sont pas diagonalisables
La diagonalisation nous amène à la recherche des racines d'un polynome or on sait que dans le corps? des complexes un polynome de degres "n" à "n" racines. Du coup, je me dis que dans C une matrice est forcement diagonalisable ?
V-2°) une matrice non diag est donc une matrice non diagonalisable dans R ? peut on le voir à l'avance ou doit on arriver jusqu'a la resolution du polynome pour s'en rendre compte ?
je vous remercie d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter
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