démonstration du nombre "cond"

[invite9c7554e3]

salut tous,

j'ai un résultat mais je n'arrive pas à le montrer :



et sont respectivement les plus grandes et plus petites valeurs propres de A.

=> je sais qu'on a où est le rayon spectral de (plus grande valeur propre en module de )

=> par contre je ne sais pas trop ce que ça donne pour et je ne sais pas arriver à montrer que le produit de ces deux choses sont égales à ce que j'ai dis plus haut

je ne suis pas très familier encore avec tous cela, pourriez vous m'expliquer s'il vous plait ? merci
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[inviteea028771]

Attention, il me semble que ça n'est vrai que pour les matrices symétriques

D'autre part, si je ne me plante pas :
a) si v > 0 est valeur propre de A, alors 1/v est valeur propre de A^-1
b) si v > 0 est valeur propre de A, alors v² est valeur propre de A²
c) ||A²|| est inférieur ou égale à ||A||.||A||

[Seirios]

Bonjour,

Essaie de regarder ce que cela donne sur des matrices diagonales, tu devrais voir comment cela se passe.

[invite9c7554e3]

merci pour vos réponses!

j'ai vérifié et la relation est semble bien vrai pour n'importe quelle matrice A

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ce72bf9]

Bonjour,

Il me semble que par définition le conditionnement de A ça soit le rapport de la plus grande valeur singulière sur la plus petite valeur singulière de la matrice A.

Si AA^T=A^TA alors on peut se ramener au rapport des valeurs propres en modules (plus grande valeur propre en module sur plus petite valeur propre en module).

Cordialement,
MisterDa

[invite9c7554e3]

Salut Da,

Il me semble que par définition le conditionnement de A ça soit le rapport de la plus grande valeur singulière sur la plus petite valeur singulière de la matrice A.

j'ai vérifié Da est la definition que j'ai donné pour le conditionnement est bien la definition "officielle" en fait on peut montrer ceci assez facilement en considérant une systeme Ax=b avec une petit perturbation soit sur A soit sur B. Ensuite en utilisant les propriétés des normes on peut montrer que l'erreur sur la solution est bornée par le nombre que j'ai dis multiplié par l'erreur sur la donnée d'entrée (soit A soit B).

Par contre j'aimerai comprendre comment on arrive à la deuxieme expression que j'ai donnée qui est fonction des valeurs propres et vérifier qu'elle est bien valable pour tout A (j'en suis presque sur mais je veux verifier quand meme)

Si AA^T=A^TA alors on peut se ramener au rapport des valeurs propres en modules (plus grande valeur propre en module sur plus petite valeur propre en module).

je n'ai pas compris du tout, pourrais tu détailler s'il te plait ?