Tenseurs et représentations matricielles

[sephirot2010]

Bonjour à tous,

Je travaille en ce moment les tenseurs en vu d'approfondir la relativité générale. Mas j'ai beaucoup de mal, je dois l'avouer. Ce que j'aimerais, c'est "saisir" ce qu'est un tenseur via sa représentation matricielle, c'est plus simple pour moi. Alors voilà ma question : quelle est la différence entre la représentation matricielle d'un tenseur de rang 2 et de différentes variances (2,0), (0,2), (1,1) ? Et de même pour des tenseurs de rangs 3 et voire n ?

J'espère que ma demande est assez claire.
Bonne journée et merci d'avance !
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[membreComplexe12]

pour moi, mais c'est peu être incorrecte mathematiquement :
=> tenseur ordre 0 : scalaire
=> tenseur ordre 1 : vecteur
=> tenseur ordre 2 : matrice 2D
=> tenseur ordre 3 : matrice 3D
...
=> tenseur ordre N : matrice ND

ps: par contre je n'ai pas compris ton histoire de variances....

[mariposa]

pour moi, mais c'est peu être incorrecte mathematiquement :
=> tenseur ordre 0 : scalaire
=> tenseur ordre 1 : vecteur
=> tenseur ordre 2 : matrice 2D
=> tenseur ordre 3 : matrice 3D
...
=> tenseur ordre N : matrice ND

ps: par contre je n'ai pas compris ton histoire de variances....

Bonjour,


En aucune façon cela correspond à la notion de tenseur. Les tenseurs sont d'abord des vecteurs dans le sens où ils obéissent aux axiomes de l'espace vectoriel. Ce qui va distinguer un tenseur d'un autre c'est son comportement dans un changement de base. Par exemple les tenseurs de rang 2 (2,0), (0,2), (1,1) se différencient les uns des autres dans un changement de base.

[sephirot2010]

C'est à dire mariposa ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

C'est à dire mariposa ?

Que veux-tu dire par c'est à dire?

[sephirot2010]

Je me demandais si tu pouvais développer ton propos qui me semble très intéressant. Comment les tenseurs de variances différentes se distinguent-ils lors d'un changement de base ? Quel est la différence lors du changement de base entre un tenseur T(2,0) et un tenseur T'(1,1) par exemple ?
Merci.

[mariposa]

Je me demandais si tu pouvais développer ton propos qui me semble très intéressant. Comment les tenseurs de variances différentes se distinguent-ils lors d'un changement de base ? Quel est la différence lors du changement de base entre un tenseur T(2,0) et un tenseur T'(1,1) par exemple ?
Merci.

Le mieux serait d 'effectuer les changements de bases comparatifs.

T(2,0) se transforme comme 2 fois le produit de transformation de 2 vecteurs contravariants.
T(1,1) se transforme comme le produit de transformation d'un vecteur contravariant par le produit de transformation d'un vecteur covariant.

Donc les matrices de transformation sous différentes.

Tu peux revenir en arrière et regarder qu'un vecteur covariant ne se transforme pas comme un vecteur contravariant. C'est ceci qui se répercute sur les propriétés de transformations de tous les tenseurs (p,q)

[albanxiii]

Bonjour,

Je me demandais si tu pouvais développer ton propos qui me semble très intéressant

Avez-vous cherché un minimum sur internet ? Parce que moi en moins de 3 secondes je trouve beaucoup, mais vraiment beaucoup, de cours de base qui couvrent tout cela.

Bonne journée.

[sephirot2010]

Évidemment que j'ai cherché sur internet. Sauf que l'on ne peut pas poser de questions à un cours...

[Amanuensis]

Évidemment que j'ai cherché sur internet. Sauf que l'on ne peut pas poser de questions à un cours...

A contrario on ne peut pas poser sur un forum une question dont la réponse serait l'équivalent un cours de dizaines de pages...

Le compromis est de commencer par étudier un cours trouvé sur Internet, et ensuite de poser sur le forum des questions sur des points bloquants, questions dont on peut espérer une réponse significative en moins de 20 lignes.

La réponse à la question initiale demande d'avoir compris la notion de dual d'un espace vectoriel (et le rapport avec les notions "covariant" vs. "contravariant"), et les cours sont la meilleure façon de commencer pour atteindre cette compréhension.

[invite76543456789]

Bonjour à tous,

Je travaille en ce moment les tenseurs en vu d'approfondir la relativité générale. Mas j'ai beaucoup de mal, je dois l'avouer. Ce que j'aimerais, c'est "saisir" ce qu'est un tenseur via sa représentation matricielle, c'est plus simple pour moi. Alors voilà ma question : quelle est la différence entre la représentation matricielle d'un tenseur de rang 2 et de différentes variances (2,0), (0,2), (1,1) ? Et de même pour des tenseurs de rangs 3 et voire n ?

J'espère que ma demande est assez claire.
Bonne journée et merci d'avance !

Salut!
De deux choses l'une, soit tu sais ce qu'est le produit tensoriel de deux espaces.
Alors si E est un espace vectoriel, alors un tenseur d'ordre (p,q) c'est un element de où tu as p fois E et q fois son dual E*.

Si tu ne sais pas ce qu'est un produit tensoriel (ce n'est pas une notion qu'on introduit en soi courement ailleurs qu'en maths de façon tres propre).

Alors un tenseur d'ordre (p,q) c'est un "truc" (je serai plus precis apres) qui prend en argument q vecteurs, p formes linéaires, et qui te sort un nombre, et qui soit linéaire en tous les vecteurs et toutes les formes linéaires.

Autrement dit c'est une application (p+q)-linéaire sur Ex..xExE*x..xE*.

Et le produit tensoriel transforme cette multilinearité en linéarité.

Apres pour retomber sur les pattes de ce qui est dit plus haut.

Effectivement tu peux voir un tenseur d'ordre (1,1) comme une matrice parce qu'il y a un isomorphisme joli entre et End(E).

Et effectivement si tu choisis une base de E et que tu decide de changer de base alors ta matrice de changement de base agit p fois par multiplication et q fois par multiplication par sa transposée (c'est logique, la dualisation change le sens des fleches, et si Pe est ta nouvelle base alors ta nouvelle base duale est transposée(P)e* ).

[invite76543456789]

La difference entre tenseur de rand (2,0), (1,1) et (0,2) c'est que tu n'interpretes pas ta matrice de la meme facon.
En fait, un matrice peut representer un endormorphisme bien sur, mais aussi une application bilinéaire.
C'est dans le cas (1,1) que tu vois ta matrice comme un endomorphisme, dans les deux autres cas c'est simplement la matrice d'une forme bilinéaire, sur ExE dans le premier cas sur E*xE* dans le second.

[sephirot2010]

Ok, merci pour toutes vos réponses, là du coup je commence à vraiment saisir. C'est OK pour la notion d'espace vectoriel dual et pour le coup des applications k-multi linéaires. C'est juste que, physicien de formation, j'avais du mal à "saisir" l'objet mathématiques en question. Maintenant, c'est plus clair, je vais pouvoir continuer sur de meilleures bases. Merci à tous !

[albanxiii]

Re,

Le compromis est de commencer par étudier un cours trouvé sur Internet, et ensuite de poser sur le forum des questions sur des points bloquants, questions dont on peut espérer une réponse significative en moins de 20 lignes.

Maintenant que sephirot2010 semble satisfait, je me permet de préciser qu'il ne connait pas sa chance. De mon temps (^TM, (c), etc...) pas d'internet.... j'en ai passé du temps dans les librairies scientifiques de la capitale pour trouver ce qui me manquait ou ce que je voulais voir tout seul de mon côté à l'époque où j'étais étudiant. Et en plus d'y avoir passé du temps 1) le choix était forcément limité 2) ça coute cher....

Bonne soirée.

[sephirot2010]

Il y a de très bonnes bibliothèques en accès libres, par exemple celles de Paris 6 et 7 où j'ai fait mes études. Un coup de photocopieuse sur ce qui est intéressant, et hop, pas la peine de se ruiner
Bonne soirée.