Terme Général Suite

[invite7675a4dc]

Bonsoir tout le monde,
Je coince sur une question qui ne me paraît pas insurmontable et ca m’énerve! =)

Alors voilà, je dois trouver le terme général (et le démontrer par récurrence) de la suite définie par:
U0 = 1
Un+1 = 3Un + 2

Je pense être proche de la solution avec Un = 3^n(U0 + 2(n-1)) + 2, mais ca ne marche pas... je n'arrive pas à aboutir...

Si vous pouviez me filer un petit coup de pouce, je vous en serrai reconnaissant.


Max
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Indication : étudier la suite de terme général .

[invite7675a4dc]

Ha, c'est bon, merci beaucoup.
Est-ce qu'il faut toujours raisonner comme ca pour ces cas là?

[invite705d0470]

L'idée étant que -1 est solution de l'équation (celà se ramène à l'étude des points fixes de la suite).
Une autre méthode, peut-être moins facile à se souvenir, peut revenir à considérer la suite auxiliaire définie par , et à remarquer qu'elle se télescope assez bien.

Amicalement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Tout ce que je peux dire (mais God's Breath va très bien compléter), c'est que toutes les suites définies par peuvent être étudiées en posant cette suite auxiliaire , si a et b sont des réels, et a différent de 1 (auquel cas, l'étude est simplifiée ^^) et donc est la solution de l'équation (point fixe de la suite).
La seconde méthode est peut être moins utile, je ne sais pas.

Par contre, elle permet de donner la valeur théorique de la suite dans le cas des expressions du type . On trouve alors (à ne surtout pas retenir !! ^^) : l'efficacité de cette expression dépend donc beaucoup de cette somme !
Après, je ne sais pas si cette méthode est fréquente. Elle existe

[invite57a1e779]

mais God's Breath va très bien compléter

Quelle confiance.

Il s'agit d'un problème classique d'algèbre linéaire :

L'ensemble des suites qui satisfont la relation de récurrence est un espace affine dont la direction est l'espace vectoriel des suites qui satisfont la relation de récurrence .

Exactement comme :
– l'ensemble des solutions de l'équation différentielle est un espace affine dont la direction est l'espace vectoriel des solutions de l'équation différentielle ;
– l'ensemble des solutions du système linéaire est un espace affine dont la direction est l'espace vectoriel des solutions du système linéaire .

Dans chacun des cas, il suffit de déterminer un élément particulier de qui permet d'obtenir par translation de .

Pour le cas des suites, est un ensemble de suites géométriques, et on cherche un élément particulier de sous forme d'une suite constante.