Fonction convexe et point critique

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Bonjour, cela fait quelques jours que je suis coincé sur ce problème : On considère une fonction convexe et un point tel que

pour tout i entre 1 et d.

On demande de montrer que est un minimum de . Et il est ajouté : "Pour cela, on pourra commencer par .".

Alors, je l'ai prouvé pour d=1, en utilisant le fait que l'application du taux d'accroissement en a est croissante;
cependant pour le cas général, j'ai l'impression qu'il manque l'hypothèse de différentiabilité en , parce que sans ça je ne vois pas comment conclure.

Puisque, même si , étant convexe, admet une dérivée à gauche et à droite en suivant n'importe quel vecteur, cette dérivée n'est pas forcément nulle si n'est pas différentiable en , n'est-ce pas?
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[Tryss]

Une fonction convexe admettant des dérivées partielles nulle en un point est différentiable en ce point il me semble.

On peut, sans perte de généralité, supposer que f(a)=0

Pour montrer que la fonction est alors différentiable, on peut décomposer dans la base canonique :



Puis, comme f est convexe :



Ensuite on utilise la dérivée partielle selon chaque coordonnée :



On utilise le fait que toutes les dérivées partielles sont nulles ainsi que la fonction au point a, et que tout se passe bien pour les restes, et on trouve :



Ainsi f est bien différentiable en a

(la démo n'est peut être pas parfaite, j'y vais un peu comme un bourrin)

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Merci beaucoup, je vais étudier ça et je te dirai si j'y arrive.

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J'ai une petite question : on peut utiliser la convexité pour majorer mais pour il me semble qu'on ne peut pas toujours majorer comme ça car la fonction valeur absolue n'est pas monotone. Je me trompe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Non, tu ne te trompe pas, j'ai écrit une grosse bêtise...

Il faudrait donc faire la même chose sans valeur absolue, puis montrer qu'elle est positive (ou un truc du genre)

Tout à coup c'est moins drôle -_-'

[God's Breath]

puis montrer qu'elle est positive (ou un truc du genre)

Ce qui revient à prouver que f(a)=0 est un minimum...

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Le problème c'est que je ne sais même pas si la différentiabilité en est impliquée; si je le savais, cela m'encouragerait à essayer de le démontrer.
Et j'ai vu un exercice des Mines totalement pareil mais qui mettait comme hypothèse que f est différentiable en a ce qui rend les choses plus simples. Mais en même temps c'était un oral, je crois.
Faudrait peut-être trouver un contre-exemple, mais ça non plus, ne me paraît pas trivial.

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Voici ce qu'on m'a dit, mais dont je ne suis pas vraiment convaincu :

Avec , en regardant la restriction de sur la droite engendrée par , (c'est pour le cas d=2) on voit que la dérivée de dans la direction est nulle.

Est-ce que ça vous parle?

[God's Breath]

Comment peut-on assurer que f admette une dérivées dans la direction de h ?

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C'est bien là tout le problème. La convexité nous permet de vérifier aisément que f admet une dérivée à gauche et à droite suivant n'importe quel vecteur en tout point de l'intérieur de son domaine de définition (obtenu en appliquant le résultat du cas d=1 à l'application qui à associe )
, mais n'admet pas forcément une dérivée en a suivant h.

C'est pour ça que je suspecte un oubli d'une hypothèse dans l'énoncé (à savoir f differentiable en a).

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Je crois avoir une idée, dites-moi ce que vous en pensez :
Sans perte de généralité on peut remplacer par et montrer que 0 est un minimum.

Soit .
On pose définie par .

Par la formule de la dérivée d'une composée de fonctions, on obtient :

donc .

Comme on a déjà prouvé que pour une fonction d'une variable, si la dérivée est nulle et la fonction est convexe, alors on a un minimum, on peut dire que (comme est convexe) est un minimum pour . Alors quel que soit , et en particulier pour . Donc .

[God's Breath]

JPar la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Il faudrait savoir que est dérivable.

Mais il est intéressant d'introduire cette fonction .

On note la base canonique de .

Avec l'execellente idée de Tryss :



Le fonction est convexe, donc admet en 0 une dérivée à droite et une dérivée à gauche avec : .

Pour :



donc, en passant à la limite lorsque tend vers 0 par valeurs supérieures :



alors que, pour :



donc, en passant à la limite lorsque tend vers 0 par valeurs inférieures :



On obtient finalement : , donc est dérivable en 0 avec , et l'étude du cas permet de conclure que admet un minimum en 0.

On conclut que, pour tout élément de : .

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Effectivement, j'ai voulu un peu trop raccourcir en sautant toute la partie donnée par Tryss, ce qui rend la démo incorrecte. Mais cette fois c'est bon. Merci à vous deux pour votre précieuse aide.