Isométrie R^3

[invite0fd5e1c6]

Bonsoir à tous,

Ce problème m'énerve depuis vraiment assez longtemps
Si on a f une isométrie sur R^3, on me dit que les matrices

M1=
1 0 0
0 cosa -sina
0 sina cosa

M2=
1 0 0
0 cosa sina
0 sina -cosa

M1 est une rotation d'angle a, et M2 est une symétrie par rapport "au plan"
Mais je ne comprends pas du tout comment on les trouve géométriquement. J'ai du mal à imaginer la rotation et la symetrie au niveau du trigo...
Et mes questions sont les suivantes,
1.Pourquoi M1 est une rotation, et dans quel sens?
2.Pourquoi M2 est une symétrie? Si c'est une symetrie, par rapport à quel plan on parle??
3.Comment utiliser ces deux matrices? Par multiplication avec une autre matrice ou ... et pour quelle raison on parle d'une "isométrie" plutôt qu'une matrice quelconque

J'ai envie de comprendre tout cela pour le cours après...
Merci d'avance
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[invite3ce72bf9]

Bonjour,

la matrice M1 représente une rotation autour de l'axe x. Si tu connais les coordonnées d'un vecteur et que tu souhaites les connaitre après la rotation d'un angle a autour de l'axe x, tu multiplies les coordonnées du vecteur initial (identifiée à une matrice colonne) avec la matrice.

Constater que le déterminant de ta matrice M1 est unitaire quelques soit la valeur de a te permet de vérifier que la rotation autour de l'axe x est bien une isométrie.

Cordialement,
MisterDa

[invite3ce72bf9]

je viens de me rendre compte que j'avais répondu au quart des questions.

Pour M1 tu tournes dans le sens direct.

Pour M2, j'ai l'impression que le plan que tu utilises pour faire la symétrie est un plan qui contient l'axe des x et dont l'intersection avec le plan des y,z fait une droite qui forme un angle a avec la droite des y mais c'est à vérifier.

[invite0fd5e1c6]

Merci! Mais je n'ai pas compris pourquoi l'on remplie la premiere colonne par (1,0,0) par rapport à 2eme et 3eme...
Quelqu'un m'a dit que 1 est une valeur propre d'une telle matrice mais je sais rien...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ce72bf9]

La matrice M1 est une matrice de passage. Les 3 colonnes permettent d'exprimer les trois vecteurs de la nouvelle base en fonction des vecteurs de l'ancienne .
Ainsi, , et . Si tu fais un dessin t'y verras beaucoup plus clair.
Bref, comme il s'agit d'une rotation selon le vecteur vecteur n'est pas modifié et . En résumé est un vecteur propre associé à la valeur propre 1 de la matrice .


Pour la matrice M2 l'angle que fait la droite avec l'axe des y doit être a/2 et non a (mais c'est à vérifier)
MisterDa

[invite0fd5e1c6]

En fait ce qui me bloque toujours, c'est que je ne sais pas comment faire ce dessin
C'est pour ça j'ai écrit "J'ai du mal à imaginer la rotation et la symetrie au niveau du trigo..."

[invite3ce72bf9]

Je ne comprend pas où ça coince. Tu dessines un trièdre orthonormé direct. Puis tu fais une rotation autour de l'axe des x d'un angle a. Le nouvel axe des y appartient toujours au plan yz et fait un angle de a avec l'ancien axe des y et de la même manière, le nouvel axe des z appartient toujours au plan yz et fait un angle de a avec l'ancien axe des z... Au final tu projettes ton nouveau repère en fonction de l'ancien et tu exprimes les nouveaux vecteurs en fonction des anciens...

[invite0fd5e1c6]

Tu as parfaitement raison! J'ai compris merci beaucoup