Questions fréquentes

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
J'ai deux questions classiques à vous poser:

1/ Déterminer l'ensemble de définition D de cotan. Sur que domaine les fonctions cotan et 1/tan coincident elles ?
Pour moi, D=]-Pi+K.Pi;Pi+k.Pi[ où k appartient à Z
Cependant, je ne comprends pas la deuxième partie de la question. En effet, pour moi, cotan=1/tan ??? Comment répondre alors ???

2/ Soit x appartenant à ]0;Pi[.
Soit Inf: Inférieur (strictement)
Soit InfE: Inférieur ou égal
On sait que 0 Inf sin(x) Inf x Inf tan(x)
Pourquoi cotan(x)² InfE 1/x² InfE 1/sin(x)² ??? Pourquoi des "inférieur ou égal" et non inférieur strictement ???

Merci d'avance et à tout de suite.
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[inviteea028771]

Pour la première question, 1/tan(x) n'est pas définie pour x=pi/2 (car tan n'est pas définie pour cette valeur là)

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Le 0 pose problème aussi, ce qui remet en doute ton ensemble de définition. Et en pi/2 on peut prolonger par continuité.

[inviteda3529a9]

ok mais comment répondre à ces deux questions alors ??? J'ai besoin de votre aide s'il vous plait.

1/ Déterminer l'ensemble de définition D de cotan. Sur que domaine les fonctions cotan et 1/tan coincident elles ?
Pour moi, D=]-Pi+K.Pi;Pi+k.Pi[ où k appartient à Z
Cependant, je ne comprends pas la deuxième partie de la question. En effet, pour moi, cotan=1/tan ??? Comment répondre alors ???

2/ Soit x appartenant à ]0;Pi[.
Soit Inf: Inférieur (strictement)
Soit InfE: Inférieur ou égal
On sait que 0 Inf sin(x) Inf x Inf tan(x)
Pourquoi cotan(x)² InfE 1/x² InfE 1/sin(x)² ??? Pourquoi des "inférieur ou égal" et non inférieur strictement ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

1- Elle est définie pour toute valeur n'annulant pas le sinus.
2- C'est faux. quand le x tend vers pi. cotanx^2 ->l'infini.

[invite705d0470]

Juste pour reprendre ce qu'a dit Donkishot:
1°_ Il te faut plutôt regarder cette définition de cotangente:
.
D'où la question des domaines de définition !
A ton avis, a t'on ?
Pour les fonctions, c'est pareil: on ne peut commencer à les comparer que si elles ont les mêmes ensembles de départ et d'arrivée. Sinon, ce ne sont pas les mêmes par définition.

2°_ Oui, cette égalité est vraie uniquement pour .
Un coté t'est immédiatement donné par la concavité de sinus, l'autre n'est pas très dur non plus (au pire, on fait une étude de fonction "et ça marche").
Tu sais, selon ce que tu souhaites montrer, il n'est pas toujours nécessaire de se "fatiguer" avec des inégalités strictes.

[inviteda3529a9]

merci mais quelle réponse alors pour 1/ ?
La réunion que vous avez écrite juste aus dessus ???

Pour la 2/
J'ai montré que 0 Inf sin(x) Inf x Inf tan(x) (qui été demandé)
comment aboutir à cotan(x)² InfE 1/x² InfE 1/sin(x)² ??? (pourquoi des inégalités larges, comment les obtenir en ayant 0 Inf sin(x) Inf x Inf tan(x) ?

Merci d'avance à tous.

[invite705d0470]

Pour le 1°, l'ensemble de définition est bien celui-ci (c'est, pour reprendre Donkishot, l'union des intervalles sur lesquels le sinus ne s'annule pas ) !
Et sinon, pour l'égalité, j'ai envie de dire

on ne peut commencer à comparer (des fonctions) que si elles ont les mêmes ensembles de départ et d'arrivée ...

... Or d'après le premier message (de Tryss) ...

La 2° utilise bien évidemment la 1°, il faut donc que vous remarquiez que l'inégalité est vraie sur un intervalle convenable. Prenez les inégalités séparément, et concluez.

PS: les opérations comme le passage à l'inverse ou l'élévation au carré sont bien évidemment possibles, sous certaines conditions qui sont réunies ici !

PS bis: si vous avez vraiment envie de mettre les inégalités strictes, mettez les strictes ! Mais si elles sont vraies strictes, elles sont vraies larges ...

[inviteda3529a9]

ok pour l'ensemble de définition mais sur que domaine les fonctions cotan et 1/tan coincident elles ?

[invite705d0470]

Vous aviez tendance à penser que ces deux fonctions étaient égales.
L'intuition n'était pas mauvaise, mais seulement, elles "ne vivent pas exactement au même endroit".
On a l'égalité lorsque les deux sont définies. Il suffit donc de faire l'intersection de leurs ensembles de définition respectifs.

[inviteda3529a9]

mais elles ont le même ensemble de définition ?!

[invite705d0470]

Ah bon ?!
Relisez peut être les premiers messages pour vous convaincre du contraire. Que vaut (oui, je sais, c'est pas vraiment correct mais bon) ? Et ?
Parce que si elles ont le même ensemble de définition, ces deux expressions sont bien définies, non ?

A moins, bien sûr, qu'écrire soit correct il y a un petit problème ^^

Bon, puisque vous le voulez, je dirais que

Je vous laisse trouver les inégalités (on a tout dit, vraiment)

Bonne soirée

[inviteda3529a9]

donc nous pouvons dire:

1/Tan définie sur ]0+k.Pi;Pi/2+k.Pi[U]Pi/2+k.Pi;Pi+k.Pi[ avec k appartenant à Z
Cotan définie sur ]0+k.Pi;Pi+k.Pi[ avec k appartenant à Z

Les fonctions cotan et 1/tan coincident sur ]0+k.Pi;Pi/2+k.Pi[U]Pi/2+k.Pi;Pi+k.Pi[ avec k appartenant à Z

PS: Comment l'écrire de façon plus élégente, avec les intersections de familles ?

Merci d'avance.

[invite705d0470]

Peut-être qu'en lisant le message précédent en entier ... ... ...

[inviteda3529a9]

Pourquoi ce n'est pas bon là ???

[invite705d0470]

Si.
Je parlais juste de l'écriture sous forme d'union d'intervalle. Je l'ai écrite precedemment.

[inviteda3529a9]

mais est ce que c'est juste ce que je propose ?

[invite705d0470]

SI c'est correct.
Je parlais de la forme d'union d'intervalle dont vous parlez: je l'ai écrite précédemment.