Inégalité a établir.

[yootenhaiem]

Bien le bonsoir a vous,
Je souhaite prouver cette inégalité:
pour tout n entier strictement positif.
pour

J'ai essayé la convexité de quelques fonctions et une probable récurrence, mais je ne trouve aucun lien possible car t n'est pas entier. J'ai aussi essayé quelques techniques élémentaires comme la soustraction, puis l’étude de variation que ce soit d'une fonction dont t est la variable ou d'une suite ré
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[Snowey]

Je ne sais pas si ça va vraiment aider, mais déjà on peut réecrire l'inégalité de deux façons: , ou bien (en renversant juste les choses) .

On voit apparaitre des formes qui ne sont pas sans laisser penser aux dérivées. Du coup, je pencherais plutôt vers les restes de Taylor, mais ...

[Tiky]

Bonsoir,

Tu étais sur la bonne piste, il faut juste persévérer








Or

La concavité du logarithme permet de conclure.

[Snowey]

Ah !!
Donc finalement la transformation de l'inégalité n'était pas utile ^^
Pourtant ça m'avait l'air sympa avec des airs de dérivée
Une question: comment voir que l'écriture que j'ai proposée est inutile par rapport à celle de l'énoncé ? (je suis vraiment curieux, parce que ça me semblait prometteur :/)
Amicalement.


PS: en plus il nous reste l'inégalité

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Bon, pour montrer que je sers parfois à quelque chose, voilà une autre idée pour démontrer les inégalités (ou presque !): soit

On pose , dérivable à tout ordre sur R et on considère une traduction de l'égalité des accroissements finis:
.
En posant h=1 et a=n, on aboutit donc à
soit .
Puisque on a donc l' encadrement suivant: .

En particulier, on a la première inégalité

On peut essayer de partir de , mais avec la même méthode on ne parvient qu'à , ce qui n'est donc pas encore le résultat.
Il va falloir être plus fin

[Snowey]

Quelqu'un pour la suite ?

[yootenhaiem]

Bonjour,
Je savais qu'il s'agissait de concavité ou de convexité. Merci bien Tiki .
Sinon Snowey, merci pour l'autre méthode que je trouve très judicieuse l'implication du T.A.F. J'ai aussi pensé aux dérivées car le terme de droite est une dérivée seconde très apparente. Mais je pense que la concavité était le mot clef, il s'agissait de trouver la fonction, ce qui ne manque pas d'attention.

[Snowey]

Et quelle fonction prends-tu pour la seconde inégalité ?

[yootenhaiem]

Justement, je parlais de la première inégalité.
Pour la deuxième, je n'y ai pas vraiment réfléchi. mais je pense qu'on pourrait s'intéresser a la fonction: x->t.x^(t-1), et utiliser ta méthode.
Notez bien que ce sont des spéculations; je n'ai pas encore repris le problème.