Intégrale d'une fonction positive paire

**Jon83** · 17/02/2012, 12h04

Bonjour à tous!

On me donne:
- une fonction g(x) paire, définie et continue sur R

- et $\text{[math]}$

Je cherche à démontrer que F(x) est une fonction impaire en écrivant:

$\text{[math]}$

Je ne sais pas si je suis sur la bonne piste car ensuite je bloque...
Merci pour votre aide!

**breukin** · 17/02/2012, 12h12

$\text{[math]}$
Et après seulement on fait le changement de variable $\text{[math]}$ .

**Jon83** · 17/02/2012, 12h21

Merci pour ta réponse! donc ça donnerait:

$\text{[math]}$

mais ensuite?

**albanxiii** · 17/02/2012, 12h41

Bonjour,

C'est fini puisque vous avez oublié de changer le signe de(s) la borne(s) d'intégration.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**breukin** · 17/02/2012, 13h13

Non, vous vous trompez, vous faites mal votre changement de variable :

$\text{[math]}$
La première égalité est la définition de $\text{[math]}$ , appliquée à $\text{[math]}$ , la seconde égalité est le changement de variable $\text{[math]}$ , la troisième égalité utilise la parité de $\text{[math]}$ et la quatrième égalité est la définition de $\text{[math]}$ .

**Jon83** · 17/02/2012, 13h23

Oui, en effet, j'ai du mal à comprendre et à appliquer la formule

$\text{[math]}$

Merci pour votre aide!

**breukin** · 17/02/2012, 14h25

Ce n'est que de la substitution.
Vous remplacez bêtement $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ est remplacé par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est remplacé par $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ va de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ va de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ va de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ .

De même pour $\text{[math]}$ :
si vous remplacez $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est remplacé par $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est remplacé par $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ va de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ va de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ va de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$

Le tout avec des règles prudentielles sur la fonction $\text{[math]}$ (monotonie).

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