Existence d'un polynôme et matrice

[invitedcf42569]

Bonjour à tous,
J'ai un problème sur un exercice.
A, B sont deux matrice d'ordre dans C, A est diagonalisable et AB=BA et je dois montrer qu'il existe polynome P et Q et une matrice M tel que A=P(M) et B=Q(M)
Alors voilà, je n'ai aucune idée de comment commencer?
J'ai essayée pendant longtemps d'utiliser la formule du binome de newton pour exploiter l'hypothèse AB=BA mais ça ne va pas plus loin...
Auriez vous des idées? Merci
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[invitedcf42569]

Personne n'a d'idée?

[invite34b13e1b]

Salut,
Tu peux commencer par (montrer que l'on peut) codiagoniser A et B.
Dans la nouvelle base, tu verras quel(s) polynôme(s) marchent bien.

[invite34b13e1b]

en relisant l'affaire, je viens de remarquer que B n'est pas supposée diagonalisable.
Ma méthode ne parle pas, désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Bonjour, à quel niveau es-tu et quels outils as-tu à ta disposition ?
Si tu connais la réduction de Jordan alors j'ai bien une démonstration possible de ton énoncé. Et si tu connais quelques petites choses sur les matrices cycliques alors la démonstration est encore plus simple.