Polynome : existence et racines

[invite131799f6]

Bonjour à tous,
j'essaie de faire quelques exos pour m'entrainer mais je bloque sur certaines questions :

1ere question :
Démontrer qu'il existe un unique polynome p [X] tel que : quelque soit x appartenant a R+ ,
P(x) = ((racine(x)+i)^2n+1 - (racine(x)-i)^2n+1) / (2i)

=> Je ne vois pas comment démontrer l'existence de cet unique polynome

ensuite, j'ai montré que cotg² (k*pi/(2n+1)) est racine du polynome, mais comment en déduite la décomposition du polynome en facteurs premiers ?
Est-ce qu'il suffit d'ecrire le polynome sous la forme de produit de
x-cotg² k*pi/(2n+1) ) en faisant varier k de 0 à n ?

Enfin, derniere question : calcule la somme de k=1 jusqu'a n de
cotg² (k*pi)/(2n+1)
j'arrive à
somme de k=0 jusqu'a n de
1/( sin² ((k*pi)/(2n+1))-1)
Peut-on aller plus loin ?

Merci pour vos réponses
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour à tous,
1ere question :
Démontrer qu'il existe un unique polynome p [X] tel que : quelque soit x appartenant a R+ ,
P(x) = ((racine(x)+i)^2n+1 - (racine(x)-i)^2n+1) / (2i)

=> Je ne vois pas comment démontrer l'existence de cet unique polynome

Je pense qu'il faut utiliser le binôme de Newton, développer, et constater que les termes en racine(x) s'en vont.

ensuite, j'ai montré que cotg² (k*pi/(2n+1)) est racine du polynome, mais comment en déduite la décomposition du polynome en facteurs premiers ?
Est-ce qu'il suffit d'ecrire le polynome sous la forme de produit de
x-cotg² k*pi/(2n+1) ) en faisant varier k de 0 à n ?

C'est tout à fait exact.

Sinon, pour la somme, d'après la factorisation de ton polynôme, ça a un lien très fort avec le coefficient devant x^{n-1}. (Fonctions symétriques des racines...)

__
rvz

[invitec314d025]

Enfin, derniere question : calcule la somme de k=1 jusqu'a n de
cotg² (k*pi)/(2n+1)

C'est la dernière question ? Bizarre, généralement ça finit par le calcul de .

[invite6b1e2c2e]

C'est la dernière question ? Bizarre, généralement ça finit par le calcul de .

Comment tu trouves avec ce polynôme ?
Je ne vois pas de 1/n^2 sortir

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Il est là :

[invite6b1e2c2e]

Il est là :

Très très joli !

Moi qui ne connaissais que la démonstration avec les séries de Fourier....

__
rvz

[invite131799f6]

Pour etre exact, la fin de l'exo, c'est montrer l'inegalité :
somme des cotg^2(k*Pi/(2n+1)) inférieur à
somme des ((2n+1)/(k*pi))^2 inférieur à :
somme des 1/(sin^2(k*pi/(2n+1)))

puis en déduire la limite de :
un = somme des 1/k^2
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Pourriez vous juste me préciser si dans mon calcul de somme (cf 1er post) je peux aller plus loin ?

merci pour vos réponses

[invitec314d025]

C'est donc rigoureusement la même chose, puisque ton inégalité se montre à partir de celle que j'ai donnée, et que :



(il faut lire zéta 2, cela vient de la fonction zéta de Riemann).

[invite6b1e2c2e]

Pourriez vous juste me préciser si dans mon calcul de somme (cf 1er post) je peux aller plus loin ?

merci pour vos réponses

J'ai déjà répondu dans mon premier post.

__
rvz

[invitec314d025]

Pour être un chouya plus explicite, s tu as un polynôme de degré n qui admet n racines, il s'écrit sous la forme:

Que vaut le coefficient du terme en X^n-1 en fonction des racines ?