racines d'un polynome de degre 4

[invite8ec5a6d5]

Bonjour
Voici un exercice de mon dm qui me donne du fil a retordre.J'aimerais bien que quelqu'un m'explique...

Considerons le polynome P(x)=x^4-2x^3-x^2+1.

demontrez que si x0 est une racine alors 1/x0 est une racine de P.
Demontrez que l'egalite P(x)=0 est equivalente a x^2-2x-1-2x*1/x+1/x^2=0 pour tout x non nul.

Posons X=x+1/x.Demontrer que x est solution de l'equation P(x)=0 si et seulement si X est solution de l'equation X^2-2X-3=0.(1)

Resoudre l'equation (1) en trouvant une racine evidente
En deduire que les racines de P sont les solutions de x^2+x+1=0 (2) et ls solutions de x^2-3x+1=0.(3)

resoudre (2) et(3) en utilisant la forme canonique puis conclure.


Voici le fameux probleme. Je sais que l objectif c'est de determiner les racines du polynome P mais je ne vois vraiment pas comment je dois proceder.
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[martini_bird]

Salut et bienvenue,

et si tu commençais par répondre à la première question ?

Cordialement.

[Jeanpaul]

Et si tu vérifiais l'énoncé d'abord : ce n'est sûrement pas x², mais peut-être bien 2 x. Ca marche quand le polynôme est symétrique (le 1er coefficient = le dernier, le second = l'avant-dernier, etc..

[invite8ec5a6d5]

je corrige.
c'est effectivment x^4-2x^3-x^\2-2x+1.
j'ai fait une faute de de frappe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Et maintenant, tu dois pouvoir faire ce que suggère martini_bird.

[invite8ec5a6d5]

est ce que x0 signifie 0? Dans ce cas si j ffectue mon calcul je trouve 1 Cest faux?

[invite8ec5a6d5]

Non ce dois etre ca car 1=1/x0 non? S'il vous plait expliquer moi je n'y comprends rien.

[Jeanpaul]

Si le x0 t'embête, dis que a est un zéro du polynôme (il s'annule quand x = a). Qu'est-ce que ça veut dire ?
Ensuite, calcule la valeur du polynôme quand x vaut 1/a.
Conclus.

[invite8ec5a6d5]

Bonjour
Voila j'ai travailler mon exercice
Pour la premiere question je dit
Si x0 racine dupolynome alors son inverse 1/x0 est une racine mais apres je ne vois pas si je fais ca j suis bloque:P(1/x0)=(1/x0)^4-2(1/x0)^3-1(1/x0)^2-2(1/x0)+1.

cependant j'ai fais la question 2 ca parait coerant.
P(x)=0
C'est un polynome de la forme ax^4+bx^3+cx^2+bx+a
on peut diviser par x^2 car c'est un P(0) non nul

ax^2+(-bx+-c+-b/x)+a/x^2=0
a(x^2+1/x^2)+-b(x+1/x)+-c=0
par identification des coefficients a=1
b=2
c=1
d'ou x^2+1/x^2-2x+-2*1/x-1

Si X=x+1/x on a X^2+-bx+-c-2a=0
X^2-2X-1-2=0
X^2-2X-3=0

ce qui donne
X(X -2)=3
d'ouX=3 et 2/3

apresje bloque. si j continue tout de meme je trouve
x(x+1)=0 donc x=0 et x=-1
x(x-3)+1=0 donc x=0 x=3 et x=-1
(forme canonique de x^2+x+1=0 et x^2-3x+1=0)
je conclue que les racines du polynome sont donc 0 -1 3 et 2/3.
je pense avoir fait quelques erreurs et il me faudrais encore un petit eclairsissement sur 1 ou 2 questions.
Je vous remercie pour l'aide que vous m'avez porter jusque ici.

[Jeanpaul]

C'est un polynome de la forme ax^4+bx^3+cx^2+bx+a
on peut diviser par x^2 car c'est un P(0) non nul

ax^2+(-bx+-c+-b/x)+a/x^2=0
a(x^2+1/x^2)+-b(x+1/x)+-c=0

D'où vient ce signe - devant b ?

Ensuite, tu peux écrire que x² + 1/x² = (x + 1/x)² +... que je te laisse compléter.
Alors tu introduiras X = x + 1/x

[invite8ec5a6d5]

Le - devant b vient dela formule initiale il y a des - entre les differents membres du polynome.

si j ecris comme tu m'indique je trouve
((x+1/x)^2-2)+-b(x+1/x)+-c=0

ensuit par identification des coefficients je trouve
a=1 b=2 c=1
je remplace en prenant X=x+1/x
X^2+-bX+-c-2a=0
X^2-2X-1-2=0
X^2-2X-3=0

Je factorise
X(X-2)=3
Est ce que je put dire que 3 est une racine evidente?

Comme X=1/x
x+1/x=3 x+1/x-2=3
x+1/x-3=0 x^2+1-2x-3x=0
x^2+1-3x=0 x^2+1-5x=0

Or dans mon enonce il est dit que je doit trouve x^2-3x+1=0 et x^2+x+1=0.

[Jeanpaul]

Tu te compliques vraiment la vie. A quoi bon introduire ces a,b,c ?
Autant diviser par x² et écrire
x² + 1/x² - 2(x + 1/x) - 1 = 0 (après réarrangement)
soit (x + 1/x)² - 2 - 2 (x + 1/x) - 1 = 0
et si X = x + 1/x :
X² - 2 X - 3 = 0
et ça, ce n'est jamais qu'une équation du second degré, pas besoin d'aller chercher des racines évidentes : c'est
X = 3 et
X = -1
Ensuite x + 1/x = 3 donne x² - 3 x +1 = 0. Je ne vois pas pourquoi il apparaît un -2 d'un seul coup.
et l'autre, je te laisse faire.