[Algèbre]noyau et cône
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[Algèbre]noyau et cône



  1. #1
    invitecd57206b

    [Algèbre]noyau et cône


    ------

    On me demande de déterminer le noyau d'une forme quadratique q sur un espace vectiorel E puis de démontrer qu'il est inclus dans le cone isotrope de q.

    quésako ?

    Le noyau de q ce sont bien les vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les autres vecteurs de E ?
    Et pratiquement comment fait on pour déterminé ce noyau à partir de la? (Si c'est la bonne définition)
    Je pense qu'il faut trouver déjà la forme polaire de q, non ?

    Quand au cone isotrope de q, il me manque la définition pour travailler dessus...

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invite6de5f0ac

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Citation Envoyé par Manolack
    On me demande de déterminer le noyau d'une forme quadratique q sur un espace vectiorel E puis de démontrer qu'il est inclus dans le cone isotrope de q.
    Merci d'avance.
    Bonjour,

    Rien de bien méchant... juste un problème de définitions.

    Le plus simple pour trouver le noyau est effectivement de construite la forme polaire par la formule classique:

    qui est bilinéaire, après ça dépend du rang de la forme quadratique.

    Le cône isotrope est simplement l'ensemble des vecteurs isotropes (c'est malin) , c'est-à-dire tels que q(x)=0. Ce n'est pas (en général) un sous-espace vectoriel.

    Ca devrait suffire pour attaquer...

    -- françois

  3. #3
    GuYem

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Salut, determiner le noyau n'est pas chose facile si la forme est trop générale.

    Par contre montrer qu'il est inclu dans le cone isotrope est simple, vu la définition du cone donné par françois
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #4
    invitecd57206b

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    J'ai un peu de mal à résoudre pratiquement.
    On m'a donné une forme quadratique sur R^3
    q(X)=x²+xy+xz avec X=(x,y,z)

    J'ai déterminé la forme polaire associé
    f(X,Y)= x1y1 + (1/2)*( x1y2 + y1x2 + x1y3 + y1x3 )
    avec X=(x1, x2, x3)
    et Y=(y1, y2, y3)

    mais je ne sais pas comment déterminer le noyau de f.
    Si j'ai bien compris, c'est l'ensemble des vecteurs x tel que
    f(x, y)=f(y,x)=0
    quel que soit y appartenant a R^3.
    Mais a partir de cette définition je ne sais pas comment faire.

    Faut il utiliser le théorème qui dit qu'un vecteur est orthogonale à un ensemble si et seulement si il est orthogonale a tous ses vecteurs de base ?

    en pratique est ce que ca revient a resoudre AX=O
    Avec A la matrice de f dans la base canonique et X le vecteur (x,y,z) ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite6b1e2c2e

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Citation Envoyé par Manolack
    en pratique est ce que ca revient a resoudre AX=O
    Avec A la matrice de f dans la base canonique et X le vecteur (x,y,z) ?
    Oui, tout à fait. Matriciellement, f s'écrit en effet

    Donc, si X est dans le noyau de Q, alors, pour tout Y,
    . Donc AX = 0. La réciproque étant évidente.
    Et le cône isotrope c'est l'ensemble des X tels que X.AX = 0

    __
    rvz

  7. #6
    invite6de5f0ac

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Citation Envoyé par GuYem
    Salut, determiner le noyau n'est pas chose facile si la forme est trop générale.
    Pas si méchant que ça, si on raisonne matriciellement comme tu le suggères. En dimension n, on aboutit à un système de n équations à n inconnues, mais ces équations ne sont pas a priori indépendantes. L'ensemble des solutions de AX = 0 (avec tes notations) est un sous-espace vectoriel, de dimsneion n - rang(A).

    Après, en pratique, c'est souvent plus enquiquinant... Mais on peut peut-être se contenter de donner les équations du noyau, sans forcement en exhiber une base?

    -- françois

  8. #7
    invitecd57206b

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    q(X)=x²+xy+xz avec X=(x,y,z)
    f(X,Y)= x1y1 + (1/2)*( x1y2 + y1x2 + x1y3 + y1x3 )

    Pour trouver le noyau j'ai fait:
    A.X=0

    ou A est la matrice de f et j'ai trouvé:
    x=0
    y=-z

    j'en ai donc déduit que le noyau de f est vect{(0,1,-1)}

    Et si j'ai bien compris, chercher le noyau de la forme polaire associée à une forme quadratique sur E, c'est chercher l'orthogonale de E?

  9. #8
    GuYem

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Tu as bien compris, on note souvent Ker q = E°
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  10. #9
    invitecd57206b

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Pour ce qui est du cone isotrope de q, j'ai donc résolu q(x)=0 ce qui m'a donné x²+xy+xz=0

    Est ce que l'ensemble des vecteurs isotropes de q est un espace vectoriel?

    J'ai trouvé plusieurs vecteurs qui vérifient cette équation. Est ce que je peux dire que le cone isotrope est l'espace généré par les vecteurs que j'ai trouvé ?

  11. #10
    invite6de5f0ac

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Citation Envoyé par Manolack
    Pour ce qui est du cone isotrope de q, j'ai donc résolu q(x)=0 ce qui m'a donné x²+xy+xz=0

    Est ce que l'ensemble des vecteurs isotropes de q est un espace vectoriel?

    J'ai trouvé plusieurs vecteurs qui vérifient cette équation. Est ce que je peux dire que le cone isotrope est l'espace généré par les vecteurs que j'ai trouvé ?

    SURTOUT PAS!!!

    Le cône isotrope n'est pas (en général) un espace vectoriel: la somme de deux vecteurs isotropes n'est r isotrope que si ces deux vecteurs sont orthogonaux...
    (à cause que:

    )

    Mais le cône isotrope (notons-le K) est stable par homothétie: si alors quel que soit . C'est pour ça qu'on l'appelle un cône.

    -- françois

  12. #11
    martini_bird

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Salut,

    paraphrasé en termes généraux: un cône est rarement un espace vectoriel...

    Cordialement.

  13. #12
    invitecd57206b

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Je comprend mais alors quand on me demande l'ensemble des vecteurs isotropes, je ne peux que donner la forme générale de l'équation ?
    Ici ce serait:
    q(X)=0 soit x²+xy+xz=0
    avec X=(x,y,z)

    D'autre part, comment peut on montrer que le noyau d'une forme quadratique q est inclus dans le cone isotrope de q ? Je ne sais pas trop comment raisonner pour ce problème.

    En tout cas merci bcp pour toute votre aide :d

  14. #13
    GuYem

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Prends un vecteur dans le noyau et montre qu'il est dans le cone.

    C'est pas trés dur, c'est presque immédiat.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #14
    invite6b1e2c2e

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Citation Envoyé par Manolack
    Je comprend mais alors quand on me demande l'ensemble des vecteurs isotropes, je ne peux que donner la forme générale de l'équation ?
    Ici ce serait:
    q(X)=0 soit x²+xy+xz=0
    avec X=(x,y,z)

    q(X) = 0 s'écrit

    qui a quand même une plus jolie forme.

    __
    rvz

  16. #15
    invite6de5f0ac

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    Citation Envoyé par Manolack
    D'autre part, comment peut on montrer que le noyau d'une forme quadratique q est inclus dans le cone isotrope de q ? Je ne sais pas trop comment raisonner pour ce problème.
    Les vecteurs du noyau sont orthogonaux à tous les vecteurs de l'espace. Donc, en particulier, à eux-mêmes.
    L'inverse nest pas vrai (en général).

    -- françois

  17. #16
    invitecd57206b

    Re : [Algèbre]noyau et cone

    ah bah oui en fait c'était facile !

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