Prix d'équilibre...

[invite3b09ac13]

prix d'équilibre:
les fabricants d'ordinateurs portables vendent leurs machines à un prix P, l'année n. Les quantités offertes On sont fonction du prix Pn-1 (à l'année n-1), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées Dn sur le marché sont, elles, fonction du prix Pn au cours de l'année n. les fabricants recherchent l'équilibre du marché, c'est-à-dire qu'à chaque année n on ait On=Dn pour qu'il n'y ait pas de stock.

On a le système: On= 2Pn-1 -10 avec n stricement supérieur ou égal à 1
Dn= -3Pn +140 avec n supérieur ou égal a 0.
Pn est exprimé en centaines d'euros, On et Dn en ceinteines d'unités.



1 a/ sur un document joint il y a représenté les droites d'équations y=2x-10 et y=-3x+140.
dféterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.


b/On a Po=15, déterminer la valeur O1 O1 est représenté sur le graphique (O1=20)
Les quantités offertes doivent chaque année être égales aux quantités demandées, donc en particulier O1=D1. En utilisant D1, on a repréenté P1 sur le graphique (P1=40)
Ce prix P1 détermine une offre O2 qui doit etre égale à D2. Cette valeur déclenche alors un prix P2 le représenter sur le graphique ainsi que P3 et P4 (c'est fait)
Peut-on émettre une conjecture quant à la limite de la suite (Pn)?

2 a/ dans l'hipothèse d'équilibre soit On=Dn démontrer sur Pn= (-2/3)Pn-1 +50 avec n supérieur ou égale à 1.

b/ (Un) est la suite définie pour n supérieur ou égale à 0 par Un=Pn -30 Démontrer que (Un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

c/exprimer Un en fonction de n et montrer que Pn=30 - 15 (-2/3)^n pour n supérieur ou égale à 0

d/déterminer la limite P de la suite (Pn) pour ce prix d'équilibre P quelles sont alors les quantités offertes et demandées?



Réponses:
1. a/ j'ai résouds le système: y=2x-10
y=-3x+140

donc y=2x-10
2x-10=-3x+140 soit 5x=150 donc x=30

et ensuite on remplace dans la première équation pour trouver y:
y=(2*30)-10
y=50

Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites est A(30;50)

b/ d'après l'énoncé P0=15 et On= 2Pn-1 -10
donc O1= (2*15)-10 = 20
O1= 20
le conjecture je n'ai pas trouvé...

2a/ On= Dn
je fais 2Pn-1 - 10 = -3Pn +140 mais je n'aboutis à rien...


b/ (Un) est la suite par Un=Pn-30

Nous devons démontrer que (Un) est une suite géométrique donc que Un+1=Un*q

donc Un+1=Pn+1 -30 mais on ne conait que Pn donc je ne vois pas comment.

c/exprimons Un en fonction de n: soit que Un= Uo*q^n il me faut la raison et le premier terme...

d/ la limite P de la suite (Pn) est
lim (-2/3)^n= 0
quand x tend vers +oo
donc lim P=30 -15*0=30
quuand x tend vers +00
les quantités offertes et demandés sont de 30?


Merci de vérifier et de m'aider.
-----

[invite52c52005]

Bonsoir,

1a/ OK
1b/ La conjecture, c'est une supposition, parce que même si tu vois quelque chose , tu ne peux encore le démontrer ici, donc ça ne restera que pure conjecture. Ainsi, comme tu as représenté P0, P1,
P2, P3 et P4, tu n'as pas l'impression que les Pn tendent vers une valeur particulière ?

2a/ Tu as posé la bonne relation de départ. Arrange un peu tout ça et tu dois tomber sur la relation, qu'on te demande, qui lie Pn et Pn-1.

2b/ Dans la 2a/, on t'a donné une relation entre Pn et Pn-1. Même si tu n'arrives pas à la démontrer (objet de la question 2a), tu peux t'en servir pour faire cette question

2c/ il faut faire la 2b avant

2d/ C'est OK pour la limite de Pn.
Pour offre et demande, c'est pas ça mais c'est pas loin. Qu'est ce qui exprime l'offre et comment est ce relié à la demande au point d'équilibre ?

[invite3b09ac13]

Merci!
Pour la conjecture j'ai trouvé que les Pn se rapprocher justementau point d'intersection des deux droites c'est-à-dire A(30;50)

2a/ 2pn-1 -10= -3Pn +140
soit: 3Pn= -2Pn-1 +150
donc Pn= -(2/3)Pn-1 +50

Un=Pn-30
b/par contre je bloque ici car Un= (-2/3 Pn-1 + 50) -30
Un=20 Pn-1 - 1500

[invite52c52005]

Bonjour,

OK pour la conjecture.

Ok pour le 2a.

Pour la 2b/ :
tu veux montrer que (U_n) est une suite géométrique i.e telle que U_n = q*U_n-1, q étant la raison

Donc ce qui t'arrangerait c'est de trouver une relation entre U_n et U_n-1. Or tu as une relation P_n et P_n-1, et il y a une relation entre U_n et P_n. Un indice : exprime U_n-1 en fonction de P_n-1 et avec ce qui précède, tu n'as plus qu'à finir.

[A voir en vidéo sur Futura]