Convexité et réciproque

[invite705d0470]

Bonjour !
Il m'a été demandé de démontrer de deux façons différentes que la réciproque d'une fonction convexe strictement croissante sur I intervalle de R est concave sur I.
On suppose bien sûr que f' ne s'annule pas.

Pour première méthode, c'est du cours, on dérive: car f' ne s'annule pas par hypothèse. Or f' est croissante car f est convexe et la réciproque de f est de même monotonie que f, donc ici croissante: est alors croissante, et son inverse décroissante.
D'ou le résultat.

Pour une seconde méthode, j'ai pensé utiliser l'équivalence: f est convexe sur I si et seulement si son épigraphe est un convexe de I.

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Sens direct:
On note l'épigraphe .
On considère .
Soit . On a en particulier (et )
On a donc .
On a donc que E est un convexe de

Dans l'autre sens: on choisit , et par convexité le segment (A,B) est dans E: on lui applique la caractérisation de E. f est donc en dessous de sa corde sur (a,b) et ce pour tout a, b: f est convexe.

J'aimerais utiliser la traduction de la réciproque géométrique: une symétrie du graphe de f par rapport à y=x (rendue possible car f est strictement croissante).
Je devrais donc montrer que si l'épigraphe de f est convexe, le complémentaire dans de l'épigraphe de est convexe ?

Je vais continuer d'y réfléchir, mais je voulais savoir si cette seconde piste est interessante selon vous (et si vous voulez me le montrer, je ne suis pas contre)

merci en tout cas d'avoir lu,

Snowey.
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[invite705d0470]

Personne n'est inspiré ?

[MMu]

Attention, rien n'indique que la fonction est dérivable, donc ta 1ère méthode ne marche pas toujours.
Comme méthode je te propose de partir de la convexité :
Tu remplaces , à la nouvelle inégalité tu appliques .. etc ..

[invite705d0470]

Ah !
Je me suis bien fait avoir, là !

En suivant tes conseils, Mmu,
ce qui donne la concavité de la réciproque
Merci beaucoup, simple et très efficace !

Et que penses tu de l'approche géométrique avec l'épigraphe ?

Bonne soirée, Snowey

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Bonjour !
Je fais juste remonter cette discussion, car j'aimerais savoir si cette idée d'utiliser l'épigraphe de la fonction pour montrer le résultat recherché (si f est une fonction convexe strictement croissante, alors sa réciproque est convexe) est sympa.
Je pense pourtant que ce n'est pas idiot, puisque la convexité est fortement liée à la géométrie.

Une fonction est convexe si et seulement son épigraphe l'est.
Une fonction est concave si est seulement si son opposé -f est convexe.
Or, géométriquement, considérer -f revient à considerer la symétrie de la courbe représentative de f par rapport à l'axe des abscisses.

Une fonction est concave si et seulement si le complémentaire de son épigraphe (plus la courbe elle même), que je vais noter H et appeller (logiquement j'espère) l'hypographe, est convexe. (implicitement, on a la correspondance de l'hypographe et de la symétrie de l'épigraphe par rapport à l'axe des abscisses)

En fait, toutes ces propriétés sont rendues possibles par la conservation des propriétés (convexité) des parties du plan par toute isométrie (ici, les symétries en fait !), n'est ce pas ?
Donc, si l'on montre
- 1) que les symétries conservent la convexité des épigraphes
- 2) qu'une symétrie d'axe y=x transforme l'épigraphe de la fonction f en l'hypographe de sa réciproque.
alors on aura le résultat voulu i.e qu'une fonction f strictement croissante est convexe sur I ssi sa récirpoque est concave sur I.

Or 2) donc le symétrique de E par rapport à y=x est . Et comme , on retrouve bien que .
Il nous suffit donc de montrer la propriété 1) ! (ouf)
Je me méfie un peu, parce que je ne suis pas certain de savoir le démontrer (qu'admet-on, que doit on prouver rigoureusement ?).
Auriez vous des idées, des conseils, des commentaires ?

Merci d'avance, (et déjà d'avoir lu !)
amicalement,

Snowey