Convexité

[Thoy]

Bonsoir à vous

J'ai un problème avec un petit exercice : Soit f de I dans R convexe, I borné. Montrer que f est minorée.

Je n'arrive pas à commencer, ça me paraît évident par définition de la convexité mais j'ai du mal à mettre ça en place rigoureusement dans la rédaction !

Je vous remercie par avance de votre aide !
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[inviteeef69825]

il suffit qu'elle soit continue non ?

[Thoy]

Oui sûrement, mais je dois démontrer cette propriété de l'énoncé

[KerLannais]

Salut,

D'abord une remarque, si n'est pas fermé la continuité ne suffit pas. Il suffit de prendre par exemple
sur
il faut bien utiliser la convexité.

En supposant que est un intervalle borné qui contient au moins deux points distincts et avec (peut-être même qu'on a pas besoin que soit un intervalle, mais bon en général on travaille sur un intervalle).

On peut montrer effectivement qu'une fonction convexe est continue sur tout segment contenu dans et en particulier est minorée sur (mais ça je te laisse chercher)

Je vais juste te donner une indication sur le morceau de l'exo qui consiste à dire ce qui se passe pour (pour c'est symétrique)

Peut-être cela te donnera-t-il une idée des méthodes qu'on peut utiliser qui te débloquera.

L'inégalité des pentes (qui se démontre directement à partir de la définition de convexité) dit que les pentes sont croissantes et en particulier

de sorte que

avec la fonction affine définie par

Il est clair que toute fonction affine est minorée sur un intervalle (et même ensemble) borné mais je te laisse le soin de le montrer. Voila, comme ça je t'ai pas oté l'immense bonheur de pouvoir chercher ton exo parce qu'il reste du boulot pour montrer la continuité

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thoy]

Merci tu m'as bien aidé !

Pour la continuité je l'ai déjà faite, j'ai montré que le taux d'accroissement en a (a de [b,c]) était toujours majoré, et donc que f était continue en tout point intérieur à I.

Merci beaucoup !

Et pour la fonction affine j'ai un théorème qui me dit toute fonction continue définie sur un segment est bornée et atteint ses bornes, donc pas besoin de démontrer qu'une fonction affine est bornée ? La démonstration du cours correspond ?

[KerLannais]

Oui c'est exact, tu peut minorer la fonction affine sur l'adhérence de qui est un segment ou sur tout segment qui contient , mais histoire de dire qu'on est pas obligé d'utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche morte (même si montrer qu'une fonction continue sur un segment n'est pas si difficile que ça), on peut démontrer de façon élémentaire qu'une fonction affine est bornée sur un ensemble borné
on prend

et E tel que pour tout y appartenant à E on ait
alors par une simple inégalité triangulaire.

Maintenant c'est sûr que c'est quand même plus rapide de citer le résultat du cours et quand on passe des concours il faut faire le choix de la rapidité