Démonstration par l'absurde?

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,


j'ai appris que certains mathématiciens considéraient que les raisonnements par l'absurde n'étaient pas rigoureux, parce que l'on a montré que la proposition n'était pas fausse, mais cela impliquerait qu'elle puise être soit vraie, soit indécidable ou quelque chose comme ca...

Ma question est la suivante:

comment montre-t-on alors certaines propriétés sans faire un raisonnement par l'absurde?

Par exemple, pour montrer que est un irrationnel...? et plein d'autres démonstrations pour lesquelles on est passé par l'absurde...

Merci d'avance,

Mystérieux1
-----

[ansset]

Bonsoir,


j'ai appris que certains mathématiciens considéraient que les raisonnements par l'absurde n'étaient pas rigoureux, parce que l'on a montré que la proposition n'était pas fausse, mais cela impliquerait qu'elle puise être soit vraie, soit indécidable ou quelque chose comme ca...

Ma question est la suivante:

comment montre-t-on alors certaines propriétés sans faire un raisonnement par l'absurde?

Par exemple, pour montrer que est un irrationnel...? et plein d'autres démonstrations pour lesquelles on est passé par l'absurde...

Merci d'avance,

Mystérieux1

je laisse repondre Mediat, qui m'a dejà bien expliqué pourquoi une racine était soit entière soit irrationnelle, mais jamais rationnelle ( si elle n'est pas entière ).

[Thorin]

Salut,
plutôt que de traire Médiat jusqu'à la moelle, je te propose dans un premier temps d'aller lire ce récent sujet :
http://forums.futura-sciences.com/ma...-labsurde.html

[invite2bc7eda7]

Merci Thorin et merci ansset pour vos réponses, je vois pourquoi les raisonnements par l'absurde peuvent ne pas convenir à certaines personnes mais je ne vois toujours pas comment montrer des propositions (qui paraissent simplicimes à démontrer par l'absurde, et compréhensibles) par une autre méthode que par l'absurde...

toujours le même exemple est irrationnel ou la démonstration de l'irrationalité de ...

Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

La démonstration du « classique exemple » de l'irrationnalité de (ou de , ou de ...) ne contient aucun raisonnement par l'absurde.

Je n'ai d'ailleurs que très rarement rencontré de raisonnements par l'absurde ; beaucoup d'entre eux pouvaient être évités, mais au prix de quelques contorsions douloureuses.

[invite2bc7eda7]

Je n'ai d'ailleurs que très rarement rencontré de raisonnements par l'absurde ; beaucoup d'entre eux pouvaient être évités, mais au prix de quelques contorsions douloureuses.

est ce que tu pourrais alors m'en montrer la démarche générale s'il te plait? pour je l'ai démontre en Ts et en sup par l'absurde (je suis en sup) et je ne vois pas comment le faire autrement...

bonne soirée,

a demain,

Mystérieux1

[ansset]

j'ai appris que certains mathématiciens considéraient que les raisonnements par l'absurde n'étaient pas rigoureux, parce que l'on a montré que la proposition n'était pas fausse, mais cela impliquerait qu'elle puise être soit vraie, soit indécidable ou quelque chose comme ca...

je trouve ta définition d'un raisonnement par l'absurde un peu tordue.
on ne demontre pas que A n'est pas faux.
on demontre que NonA est faux, dans un contexte: A ou(exclusif) NonA.
si NonA est faux, alors A est vrai.

personnellement, je trouve au contraire que celà permet de gagner souvent du temps.

[Médiat]

je l'ai démontre en Ts et en sup par l'absurde

Ce n'est pas certain, car il ne faut pas confondre
1) démontrer NonP en démontrant que P entraîne une contradiction.
2) démontrer P en démontrant que NonP entraîne une contradiction.

La méthode 1 est constructive et n'utilise pas le tiers exclu, la deuxième l'utilise ; c'est la deuxième méthode qui mérite le nom de "raisonnement pas l'absurde" ; pour distinguer les deux, on les appelle parfois "réduction à l'absurde" pour la 1) et "détour par l'absurde" pour la 2).

Pour la deuxième, sans tiers exclu, ce que l'on peut démontrer, c'est
1bis) démontrer NonNonP en démontrant que NonP entraîne une contradiction.
Qui n'est qu'une ré-écriture de 1).

si NonA est faux, alors A est vrai

Ceci n'est correct qu'en logique classique (avec tiers exclu donc), mais pas en logique intuitionniste où on peut dire :
si NonA est faux, alors NonNonA est vrai.

Mysterieux1 aurait dû préciser de quelle logique il parle dans sa première intervention.

[invite2bc7eda7]

Mysterieux1 aurait dû préciser de quelle logique il parle dans sa première intervention.

Mes pauvres connaissances en mathématiques et en logique ne me permettaient pas de faire la distinction des deux logiques... (je veux dire que je ne savais pas laquelle correspondait à quoi...)

Mais en logique intuitionniste certains raisonnements doivent être plus simples non? et je dis bien certains...

nouvelle question, peut-on "tout" démontrer ("tout" est bien sur très prétentieux, mais je veux plus dire tout ce qui est déjà démontré) sans passer par des "détours par l'absurde" ou par la réduction à l'absurde?

par exemple montrer ça:

montrer qu'il n'existe pas de fonction continues : envoyant sur et réciproquement...

par l'absurde, en étudiant la fonction g(x)=f(x)+x (excusez moi pour cette dernière notation mais j'ai la flemme de bien l'écrire...) on obtient facilement une contradiction!

Merci à vous tous pour vos réponses,

Mystérieux1

[Médiat]

Mais en logique intuitionniste certains raisonnements doivent être plus simples non? et je dis bien certains...

Au contraire, avec un outil de moins, certaines démonstrations sont forcément plus longue.

nouvelle question, peut-on "tout" démontrer ("tout" est bien sur très prétentieux, mais je veux plus dire tout ce qui est déjà démontré) sans passer par des "détours par l'absurde" ou par la réduction à l'absurde?

Par exemple il n'est pas possible de démontrer le tiers exclu en logique intuitionniste.

[invite2bc7eda7]

Au contraire, avec un outil de moins, certaines démonstrations sont forcément plus longue.

quel interet alors ? je suis bien d'accord qu'un démonstration par l'absurde ne démontre pas vraiment la propriété mais les techniques doivent etre plus élaborées alors pour démontrer non?

[invite4ef352d8]

Mysterieux :

dans la logique classique classique, c'est à dire celle qu'utilise tous le monde sauf quelques logiciens par endroit, et que franchement tu peux passer ta vie à faire des mathématiques sans jamais entendre d'une autre logique, tu peux de facon très automatique rempalcer n'importe qu'elle raisonement par l'absurde par un raisonement 'normale' de la facon suivante :
quand tu suppose (non P) et que tu arrive à une contradiction, tu montre que (non P) => Q ou Q est une proposition fausse.
mais tu pourrais tous aussi bien prouver la contraposé de cette implication qui (non Q) => P. non Q étant vrai P l'est.

concretement, regardons le cas de racine(2)

la preuve par l'absurde ressemble à ca :
on suppose qu'il existe p et q tel que (p/q)²=2
avec p et q premier entre eux.
j'ai alors p²=2q².
p est donc un nombre pair ie p=2k
on a donc 2k²=q², q est aussi pair, c'est contradictoire avec le fait que p et q sont premier entre eux. d'ou le résultat.

et bien je peut faire le raisonement dans l'autre sens :

Soit p et q deux nombres premier entre eux.
-si p est paire, alors q est donc impaire, p² est donc divisible par 4 et 2q² n'est pas divisible par 4 donc p² est différent de 2q².
-si p est impaire, p² est aussi impaire et donc différent de 2q² qui est paire.

dans les deux cas p² est différent de 2q², ie pour tous p,q premier entre eux (p/q)² est différent de 2, on viens de prouver que "racine de n'est pas rationel"

[invite2bc7eda7]

ah oui je vois, ca ne s'appelle pas pareil, mais c'est la même idée...

"mais tu pourrais tous aussi bien prouver la contraposé de cette implication qui (non Q) => P. non Q étant vrai P l'est."

la contraposée souvent très utile D