Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

[invite4a107ba0]

Bonjour à tous,
Je me demandais s'il existe un théorème ou un axiome qui dit que tous ce qu'on peut démontrer par l'absurde est démontrable par voie directe?
Merci
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[invite31d58af5]

C'est absurde.... Et en plus je doute que ce soit vrai...

[invite0fb72cf8]

Bonjour à tous,
Je me demandais s'il existe un théorème ou un axiome qui dit que tous ce qu'on peut démontrer par l'absurde est démontrable par voie directe?
Merci

C'est quoi, 'démontrer par voie directe' ?

Si tu réussis à montrer par voie directe que le raisonnement par l'absurde est un raisonnement valable, il me semble qu'en ajoutant à toute preuve par l'absurde une preuve que le raisonnement par l'absurde est valable te donnera 'une preuve par voie directe', non .

[invité576543]

Si tu réussis à montrer par voie directe que le raisonnement par l'absurde est un raisonnement valable, il me semble qu'en ajoutant à toute preuve par l'absurde une preuve que le raisonnement par l'absurde est valable te donnera 'une preuve par voie directe', non .

Le logique intuitionniste rejette le raisonnement par l'absurde. Autrement dit, c'est un choix.

Cela a donc un sens de rechercher en priorité les démonstrations "directes", qui ont plus de chance d'être communes aux différents choix de logique.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fb72cf8]

Le logique intuitionniste rejette le raisonnement par l'absurde. Autrement dit, c'est un choix.

Cela a donc un sens de rechercher en priorité les démonstrations "directes", qui ont plus de chance d'être communes aux différents choix de logique.

Cordialement,

Mais alors cela prouve en l'occurrence que si on se restreint aux axiomes de la logique intuitionniste, il est impossible d'avoir un théorème prouvant que tout raisonnement par l'absurde peut se réécrire sous la forme forme d'un raisonnement direct...

Amicalement,

I.

[invité576543]

Mais alors cela prouve en l'occurrence que si on se restreint aux axiomes de la logique intuitionniste, il est impossible d'avoir un théorème prouvant que tout raisonnement par l'absurde peut se réécrire sous la forme forme d'un raisonnement direct...

Oui.

Maintenant, si on comprends par "raisonnement direct" la restriction de la logique à ce qui n'utilise pas un axiome correspondant au raisonnement par l'absurde, on obtient la même impossibilité.

La réponse à la question initiale dépend de ce qui est entendu par "raisonnement direct", comme tu l'as fait déjà remarquer. L'interpréter comme un refus du tiers exclus ou tout autre équivalent qui interdise le raisonnement par l'absurde semble une bonne piste, et la réponse à la question est alors "non".

Cordialement,

[invite4a107ba0]

Pour tous ceux qui ont demande qu'est ce qu'une demonstration par voie directe ou par absurde , je propose d'utiliser le definition simpliste qui suit :
Si je veux demontrer A=>B
Je peux sois commencer par supposer que A est vrai, et par une suite de deductions arriver a B ( voie directe)
A l'oppose, on peut considerer que B est fausse, et demontrer que A est fausse ( demonstration par l'absurde)
Je sais que ce ne sont pas des definitions exactes....mais je crois que l'idee est la tout de meme.
Merci

[invite62ffc9d0]

bonjour,
puisque A=>B <=>nonB=>nonA
les démonstrations "directe" et "absurde" sont équivalentes.
Rappelons que A=>B <=>nonA ou B
nonB=>nonA <=> B ou nonA
L'opération "ou" ou "union" étant commutative CQFD.

[invité576543]

Pour tous ceux qui ont demande qu'est ce qu'une demonstration par voie directe ou par absurde , je propose d'utiliser le definition simpliste qui suit :
Si je veux demontrer A=>B
Je peux sois commencer par supposer que A est vrai, et par une suite de deductions arriver a B ( voie directe)
A l'oppose, on peut considerer que B est fausse, et demontrer que A est fausse ( demonstration par l'absurde)
Je sais que ce ne sont pas des definitions exactes....mais je crois que l'idee est la tout de meme.
Merci

Oui, c'est l'idée. C'est la formalisation du mot "déduction" la difficulté (et c'est le sujet de la logique!).

Cordialement,

[invité576543]

bonjour,
puisque A=>B <=>nonB=>nonA
les démonstrations "directe" et "absurde" sont équivalentes.
Rappelons que A=>B <=>nonA ou B
nonB=>nonA <=> B ou nonA
L'opération "ou" ou "union" étant commutative CQFD.

CQFD si on accepte la prémisse. Mais justement, A=>B <=>nonB=>nonA n'est pas nécessairement accepté, plus exactement le sens inverse, (nonB=>nonA) => (A=>B) n'est pas nécessairement acceptable.

(A vérifier mais il me semble que c'est ça...)

Cordialement,

[Médiat]

Attention à ne pas confondre un raisonnement par contraposée et le raisonnement par l'absurde.
La contraposée c'est utiliser (A==>B) <==> (nonB ==>nonA).

Le raisonnement par l'absurde, c'est montrer que (nonA ==> Faux), par exemple en montrant (par exemple, car il y a d'autres modalités) que (nonA ==> A).

[invite4a107ba0]

Attention à ne pas confondre un raisonnement par contraposée et le raisonnement par l'absurde.
La contraposée c'est utiliser (A==>B) <==> (nonB ==>nonA).

Le raisonnement par l'absurde, c'est montrer que (nonA ==> Faux), par exemple en montrant (par exemple, car il y a d'autres modalités) que (nonA ==> A).

Tu as tout a fait raison, c'est bien la définition du raisonnement par l'absurde.

Merci

[leon1789]

Attention à ne pas confondre un raisonnement par contraposée et le raisonnement par l'absurde.
La contraposée c'est utiliser (A==>B) <==> (nonB ==>nonA).

Le raisonnement par l'absurde, c'est montrer que (nonA ==> Faux), par exemple en montrant (par exemple, car il y a d'autres modalités) que (nonA ==> A).

Je suis tout a fait d'accord sur le principe de bien distinguer ces trois raisonnements :
le direct : A => B
par contraposition : non B => non A
par l'absurde : A et non B => faux

Trop souvent il y a des mélanges, surtout entre contraposée et absurde.

Non seulement il y a des différences logiques en fonction de la validation du tiers exclus (et axiome du choix, il me semble), mais il y a une autre différence quand au contenu des preuves. A mes yeux, cette différence est de psychologiquement de taille ! Je m'explique :
- dans un raisonnement direct, toutes les phrases sont vraies sous l'hypothèse A ;
- dans un raisonnement par contraposition, toutes les phrases sont vraies sous l'hypothèse non B ;
- dans un raisonnement par l'absurde, on est dans un système contradictoire...

En math, il est d'usage d'écrire des trucs justes (en espérant que les maths ne soient pas contradictoires). Ce qui m'étonne, c'est la pratique abusive du raisonnement par l'absurde : pour un oui, pour un non, on n'hésite pas à en faire un, et par la même occasion transgresser les principes du bon usage, ie. écrire des choses vraies.

[Médiat]

Non seulement il y a des différences logiques en fonction de la validation du tiers exclus (et axiome du choix, il me semble)

Aucun rapport avec l'axiome du choix, qui est un axiome comme les autres de la théorie des ensembles et non une règle d'inférence logique.

Ce qui m'étonne, c'est la pratique abusive du raisonnement par l'absurde : pour un oui, pour un non, on n'hésite pas à en faire un, et par la même occasion transgresser les principes du bon usage, ie. écrire des choses vraies.

Mais on écrit des choses vraies ! Par exemple, quand on démontre : (), on ne prétend pas que est vraie, mais que () est vraie.

[leon1789]

Aucun rapport avec l'axiome du choix, qui est un axiome comme les autres de la théorie des ensembles et non une règle d'inférence logique.

Merci de me faire réviser : il me semble que l'axiome du choix (la forme la plus forte, celle que 99% des matheux utilisent) implique le tiers exclu --> Théorème de Diaconescu (1975) http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_Diaconescu

Mais on écrit des choses vraies ! Par exemple, quand on démontre : (), on ne prétend pas que est vraie, mais que () est vraie.

Pardon, mais je ne vois pas très souvent des rédactions du type : (A => B) est vrai.
Comme bcp, j'en suis resté au stade d'écrire plus "standard" du genre : si A alors B.

Par exemple, dans cette preuve de l'irrationalité de racine(2) http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/...5/anecdote.htm
après la phrase "Supposant que racine(2) est rationnel", on rentre dans un système contradictoire, dont les assertions (celles qu'on lit, comme "il existe un entier q tel que..." ) ne peuvent pas être retenue comme vraies.

[invite57a1e779]

Par exemple, dans cette preuve de l'irrationalité de racine(2) http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/...5/anecdote.htm
après la phrase "Supposant que racine(2) est rationnel", on rentre dans un système contradictoire, dont les assertions (celles qu'on lit, comme "il existe un entier q tel que..." ) ne peuvent pas être retenue comme vraies.

La preuve de l'irrationnalité de ne nécessite pas de raisonnement par l'absurde. On établit que , ce qui est la définition de .

[Médiat]

Merci de me faire réviser : il me semble que l'axiome du choix (la forme la plus forte, celle que 99% des matheux utilisent) implique le tiers exclu --> Théorème de Diaconescu (1975) http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_Diaconescu

1) La logique intuitionniste a été rejetée de ce fil depuis le message 4, donc on parle bien de logique classique du premier ordre, donc avec tiers exclu, pas besoin de ZFC pour cela.
2) A quoi me servirait l'axiome du choix si je ne place pas mon raisonnement dans le cadre de ZF (comme 99,99% des matheux).

Pardon, mais je ne vois pas très souvent des rédactions du type : (A => B) est vrai.
Comme bcp, j'en suis resté au stade d'écrire plus "standard" du genre : si A alors B.

C'est bien dommage de ne pas adopter une écriture formelle pour les démonstrations, par exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_s%C3%A9quents.

Enfantillage mis à part, et en tout état de cause, quand on démontre (si A alors B), on ne prétend pas démontrer A mais (si A alors B), c'est donc exactement pareil ; il suffit de bien identifier la proposition à démontrer.

[leon1789]

La preuve de l'irrationnalité de ne nécessite pas de raisonnement par l'absurde. On établit que , ce qui est la définition de .

D'accord, mais il faudrait le dire à 99% des profs : combien de fois voit-on l'expression "indication : raisonner par l'absurde" juste après la question "montrer que racine(2) est irrationnel" .

Cela étant, cette preuve présente le genre de rédaction que je n'aime pas, ie. contenant des phrases dont on ne peut pas être certain, mêlant les phrases vraies (sans qu'on le sache) et les phrases fausses (qu'on ne connaît pas non plus).

[leon1789]

C'est bien dommage de ne pas adopter une écriture formelle pour les démonstrations, par exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_s%C3%A9quents.

J'admire les logiciens pour ce genre d'écriture absolument abscons pour les non-spécialistes.

Enfantillage mis à part, et en tout état de cause, quand on démontre (si A alors B), on ne prétend pas démontrer A

je m'en doutais aussi

mais (si A alors B), c'est donc exactement pareil ; il suffit de bien identifier la proposition à démontrer.

Qu'est-ce qui est pareil ? "Raisonner dans un cadre non contradictoire" et "Raisonner dans un cadre contradictoire", c'est pareil ? Je ne pense pas.

Par exemple : combien de fois avez-vous détecter une erreur de raisonnement, de calcul, etc. parce que vous arriviez à 0=1 ?!
Ce garde-fou saute totalement dans un raisonnement par l'absurde.

[Médiat]

Qu'est-ce qui est pareil ? "Raisonner dans un cadre non contradictoire" et "Raisonner dans un cadre contradictoire", c'est pareil ? Je ne pense pas.

Il ne s'agit de raisonner dans un cadre contradictoire, mais dans un cadre formel !

Par exemple : combien de fois avez-vous détecter une erreur de raisonnement, de calcul, etc. parce que vous arriviez à 0=1 ?!
Ce garde-fou saute totalement dans un raisonnement par l'absurde.

Pourquoi y aurait-il erreur de raisonnement quand on arrive à écrire 0 = 1 ? Par exemple où est l'erreur de raisonnement dans les 3 lignes ci-dessous (s est la fonction successeur):
(2 = 1) ==> (s(1) = s(0)) (Définition de 1 et de 2)
(s(1) = s(0)) ==> (1 = 0) (Injectivité de s)
D'où je déduis que ((2 = 1) ==> (1 = 0)) est vraie

Je vous ai évité l'écriture avec des séquents, et je vous laisse deviner dans quelle théorie les calculs sont faits

PS : j'apprécie votre admiration, cela me touche beaucoup.

[invite6754323456711]

Le logique intuitionniste rejette le raisonnement par l'absurde. Autrement dit, c'est un choix.

En logique intuitionniste Il existe pourtant une règle dite d’absurdité intuitionniste.

Maintenant logique intuitionniste + tiers exclu ou Logique intuitionniste + loi de Peirce ne donne t'il pas la logique classique ?

Patrick

[leon1789]

Il ne s'agit de raisonner dans un cadre contradictoire, mais dans un cadre formel !

Effectivement, mais dès mon premier message j'ai dévié du fil de la discussion : je ne fais pas dans le formel, mais la "pratique", le "concret" (si cela peut signifier quelque chose car c'est assez mal dit)

Pourquoi y aurait-il erreur de raisonnement quand on arrive à écrire 0 = 1 ?

Imaginons que l'on veuille démontrer que toute fonction dérivable est continue. Si en partant de l'hypothèse "f fonction dérivable" (+ZF) , alors on arrive à 1=0 , alors oui, il y a erreur quelque part.

Au contraire, dans un raisonnement par l'absurde partant de "f dérivable et non continue" , si on arrive à 1=0, on est content, la preuve est terminée ! Mais en fait, 1=0 prouve-t-il quelque chose ? Est-on certain de ne pas s'être trompé quelque part, dans un calcul ? (c'est une question de "pratique", pas de logique formelle)

Par exemple où est l'erreur de raisonnement dans les 3 lignes ci-dessous (s est la fonction successeur):
(2 = 1) ==> (s(1) = s(0)) (Définition de 1 et de 2)
(s(1) = s(0)) ==> (1 = 0) (Injectivité de s)
D'où je déduis que ((2 = 1) ==> (1 = 0)) est vraie

Permettez moi de réécrire cela d'une autre manière , un peu plus courante :
hypothèse 2=1
alors s(1) = s(0) par définition,
donc 1=0 par injectivité.

Ok, bien sûr le raisonnement est juste. Mais c'est justement ce genre de raisonnement que je condamne (et en particulier le raisonnement par l'absurde). Dans quelle situation réelle serez-vous dans la situation 2=1 ? Il existe des situations réelles dans lesquelles on a affaire à une fonction dérivable (dont on connait quelques propriétés), mais je n'ai jamais vu une situation concrète où 2=1 "par hypothèse".

De manière générale,
-- utiliser A => C => D => B me parait utile car dans une situation concrète où on a A, alors on a aussi B (et C et D au passage). De cette preuve, on peut donc tirer quelque chose de concret.
-- utiliser non B => non D => non C => non A me paraît acceptable car dans une situation concrète où on a non B, alors on a aussi non A (et non C et non D au passage). De cette preuve de non B => non A , on peut donc tirer quelque chose de concret.
-- utiliser A et non B => faux me paraît très insuffisant car aucune situation concrète ne présentera à la fois A et non B. En fait, après cette preuve par l'absurde, on sait uniquement que A et non B ne peuvent pas se produire simultanément. Mais ça, les deux autres types de raisonnements le montrent également !


Par ailleurs, dans la pratique, la plupart des raisonnements dits par l'absurde pour montrer A => B , sont en réalité de cette forme A => C et non B => non C . Là encore, je trouve que c'est très réducteur de mettre tout ça dans un même pot << A et non B => C et non C => faux >> car on oublie tout simplement deux théorèmes ayant un contenu "concret" qui sont << A => C >> et << non B => non C >>, pour privilégier un seul théorème irréel << A et non B => faux >>.

J'espère être à peu près clair

[invite57a1e779]

utiliser A et non B => faux me paraît très insuffisant car aucune situation concrète ne présentera à la fois A et non B. En fait, après cette preuve par l'absurde, on sait uniquement que A et non B ne peuvent pas se produire simultanément. Mais ça, les deux autres types de raisonnements le montrent également !

Mais comme (pour moi...) la définition de (non A), c'est (A ==>faux), comment puis-je établir (non A), lorsque j'en ai besoin ?

Je reviens sur l'irrationnalité de : on veut établir (non a est rationnel), c'est-à-dire (a est rationnel==>faux), et l'on est bien obligé d'avoir un raisonnement qui se terminera par (faux), par exemple sous la forme (1=0).

[leon1789]

Mais comme (pour moi...) la définition de (non A), c'est (A ==>faux), comment puis-je établir (non A), lorsque j'en ai besoin ?

Je reviens sur l'irrationnalité de : on veut établir (non a est rationnel), c'est-à-dire (a est rationnel==>faux), et l'on est bien obligé d'avoir un raisonnement qui se terminera par (faux), par exemple sous la forme (1=0).

Je comprends votre définition de (non A).

En logique formelle, vous avez raison, d'accord. Je comprends bien que, pour vous, une preuve " rationnel => ... => p²=2q²... => faux" donne une démonstration acceptable de " n'est pas rationnel".

Pour l'irrationnalité de , je préfère une preuve comme ceci : si , alors

Comme , on a impair ( est la valuation en 2) et par ailleurs pair. Un nombre impair n'est pas égal à un nombre pair, donc , donc , donc , donc (et ), donc (et ).

Vous me direz que je fais tout en négation, oui, mais ce que l'on veut démontrer est quelque chose de "négatif" : n'est pas rationnel...

La différence entre mon raisonnement et un raisonnement qui part de l'hypothèse , c'est que tout ce qui est écrit dans cette preuve est vrai pour tout rationnel p/q ! (et j'en connais des rationnels p/q... contrairement à des rationnels valant )

Non ?

[leon1789]

Vous me direz que je fais tout en négation, oui, mais ce que l'on veut démontrer est quelque chose de "négatif" : n'est pas rationnel...

et encore ! au lieu d'écrire, j'aurais pu dire "x-y inversible dans R ", cela aurait été plus "positif".

[invite57a1e779]

Non ?

Je vois une belle preuve de .

Comment utilise-t-on de cette preuve pour démontrer la proposition ?

[Médiat]

Effectivement, mais dès mon premier message j'ai dévié du fil de la discussion : je ne fais pas dans le formel, mais la "pratique", le "concret" (si cela peut signifier quelque chose car c'est assez mal dit)

Alors, nous ne nous comprendrons jamais, pour moi les maths sont formelles et non concrètes et encore moins pratiques.

Au contraire, dans un raisonnement par l'absurde partant de "f dérivable et non continue" , si on arrive à 1=0, on est content, la preuve est terminée ! Mais en fait, 1=0 prouve-t-il quelque chose ?

Oui

Est-on certain de ne pas s'être trompé quelque part, dans un calcul ? (c'est une question de "pratique", pas de logique formelle)

Parce que avec un raisonnement direct on est sur de ne pas se tromper ?

Ok, bien sûr le raisonnement est juste. Mais c'est justement ce genre de raisonnement que je condamne (et en particulier le raisonnement par l'absurde). Dans quelle situation réelle serez-vous dans la situation 2=1 ? Il existe des situations réelles dans lesquelles on a affaire à une fonction dérivable (dont on connait quelques propriétés), mais je n'ai jamais vu une situation concrète où 2=1 "par hypothèse".

Cherchez encore, avec un peu de bonne foi, vous trouverez.

-- utiliser A et non B => faux me paraît très insuffisant car aucune situation concrète ne présentera à la fois A et non B. En fait, après cette preuve par l'absurde, on sait uniquement que A et non B ne peuvent pas se produire simultanément. Mais ça, les deux autres types de raisonnements le montrent également !

Si vous voulez faire des mathématiques intuitionniste dîtes-le franchement, ce n'est pas déshonorant, et nous comprendrons pourquoi le raisonnement par l'absurde ne vous convient pas.

Par ailleurs, dans la pratique, la plupart des raisonnements dits par l'absurde pour montrer A => B , sont en réalité de cette forme A => C et non B => non C . Là encore, je trouve que c'est très réducteur de mettre tout ça dans un même pot << A et non B => C et non C => faux >> car on oublie tout simplement deux théorèmes ayant un contenu "concret" qui sont << A => C >> et << non B => non C >>, pour privilégier un seul théorème irréel << A et non B => faux >>.

J'ai vraiment l'impression que l'on ne parle pas de maths ici.

[invite57a1e779]

Alors, nous ne nous comprendrons jamais, pour moi les maths sont formelles et non concrètes et encore moins pratiques.

Je comprends soudain pourquoi je ne comprends rien : pour moi les mathématiques sont formalisables, non concrètes, non pratiques.

[leon1789]

Je vois une belle preuve de .

Comment utilise-t-on de cette preuve pour démontrer la proposition ?

J'ai posé cette question à une tiers personne : sa réponse a été de gros yeux effectivement, les assertions << tout rationnel est différent de >> et << n'est pas rationnel >> sont "assez naturellement" équivalentes.

[Médiat]

J'ai posé cette question à une tiers personne : sa réponse a été de gros yeux effectivement, les assertions << tout rationnel est différent de >> et << n'est pas rationnel >> sont "assez naturellement" équivalentes.

Et comment se traduit ""assez naturellement" équivalentes" en langage formel ?