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Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe



  1. #271
    dionisos

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe


    ------

    Désolé de remonté un topic un peut vieu, mais le sujet m'interresse.

    J'précise que j'ai lut tout les posts, mais que quelque concept et subtilité m'on échapé.

    Donc voila j'aurai plusieur questions:
    1) Peut t'on transformer toutes démonstrations de la forme:
    (A=>B=>...=>faux) => non(A)
    en une démonstration de la forme:
    vrai=>...=>non(A)

    2) Mon raisonnement est t'il valide (bien que pas tres formel):
    Admettre la validité de toutes les démonstrations par l'absurde de la forme:
    (non(A)=>faux)=>A
    est équivalent a admettre la validité du tiers exclu.

    Admettre que toute les démonstrations utilisant le tiers exclu peuvent etre mit sous la forme:
    vrai=>...=>A
    de tel manière qu'aucune fois le tiers exclut n'est néccessaire pour passer d'une proposition a l'autre, revient a admettre que le tiers exclu est déductible des autres axiomes de la logique intuitionniste.

    Comme le tier exclu n'est pas déductible de la logique intuitionniste, alors la réponse a la question de dépare est non.

    3) Est s'que j'ai bien compris:
    Dire que A est indéductible, veut dire qu'il n'existe pas de "chemins" fini, qui permettent en "commençant" par vrai, de "rejoindre" A (a l'aide d'une succession d'implications).
    Ni de chemin qui permettent en commençant par A, de rejoindre faux.

    non(A) signifie qu'il existe un chemin, permettant d'aller de A à faux.
    Donc si A est indéductible, non(A) est faux (car un tel chemin n'existe pas).

    -----

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  3. #272
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    Donc voila j'aurai plusieur questions:
    1) Peut t'on transformer toutes démonstrations de la forme:
    (A=>B=>...=>faux) => non(A)
    en une démonstration de la forme:
    vrai=>...=>non(A)
    Il y a un problème de notation. Le signe "=>" est, usuellement, un signe apparaissant dans les expressions logiques, ce n'est pas un signe décrivant une étape de démonstration. Dans cette discussion la différence est essentielle, du coup ta question est difficile à comprendre.

    Admettre la validité de toutes les démonstrations par l'absurde de la forme:
    (non(A)=>faux)=>A
    est équivalent a admettre la validité du tiers exclu.
    Oui, avec la même remarque sur le vocabulaire. En pratique, à partir de

    non(A)=>faux

    on peut déduire par application de la contraposition

    non(faux) => non(non(A))

    d'où

    non(non(A))

    et on peut passer de là à A uniquement avec le tiers exclus.

    3) Est s'que j'ai bien compris:
    Dire que A est indéductible, veut dire qu'il n'existe pas de "chemins" fini, qui permettent en "commençant" par vrai, de "rejoindre" A (a l'aide d'une succession d'implications).
    A l'aide d'une succession d'étapes de démonstration, chaque passage devant être conforme à une règle de démonstration parmi celles valides dans la théorie de la démonstration considérée.

    Il me semble que cette définition revient à indéductible = non démontrable.

    non(A) signifie qu'il existe un chemin, permettant d'aller de A à faux.
    oui

    Donc si A est indéductible, non(A) est faux (car un tel chemin n'existe pas).
    Non, on peut avoir à la fois A non démontrable et non(A) non démontrable.

    Cordialement,

  4. #273
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    Désolé de remonté un topic un peut vieu, mais le sujet m'interresse.
    y a pas lieu d'être désolé de s'intéresser

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    J'précise que j'ai lut tout les posts, mais que quelque concept et subtilité m'on échapé.
    courageux !

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    3) Est s'que j'ai bien compris:
    Dire que A est indéductible, veut dire qu'il n'existe pas de "chemins" fini, qui permettent en "commençant" par vrai, de "rejoindre" A (a l'aide d'une succession d'implications).
    Ni de chemin qui permettent en commençant par A, de rejoindre faux.

    non(A) signifie qu'il existe un chemin, permettant d'aller de A à faux.

    Donc si A est indéductible, non(A) est faux (car un tel chemin n'existe pas).
    Comme le dit Michel, non(A) n'est pas forcément faux, mais peut être aussi indécidable.

    En tout cas, si A est indécidable alors non(A) ne peut pas être démontré vrai (simplement par définition).

    A mon avis, je crois que, des exemples (en logique ad hoc, pas ZFC ) peuvent être :
    A = l'axiome du choix --> non(A) indécidable
    A = [P ou non(P)] --> non(A) faux

  5. #274
    sadben2004

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Je vois pas de différence entre le raisonnement par absurde et la contraposé :

    On veut montrer que A est vrai (sous aucune hypothèse, ou par exemple sous l'hypothèse que 1#0 ou une autre assertion V VRAIE)
    On montre alors que nonA => non V

    une dem par contraposé est tjs <=> à un raisonnement directe. mais un mode est souvent plus intuitif que l'autre.
    (non a=>non b=>non c=>non d) <=> ( d=>c=>b=>a)

    sqrt(2) IN Q => .... => (Il existe p q paires et premiers entre eux )
    (Il n'existe pas p et q paires et premiers entre eux) => .... => sqrt(2) est irrationnelle

    Je me trompe ?
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  6. #275
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par sadben2004 Voir le message
    Je vois pas de différence entre le raisonnement par absurde et la contraposé :
    Il y a deux "raisonnements par contraposée"

    Passer de A => B à non(A) => non(B), qui n'est pas comparable à un raisonnement par l'absurde,

    et

    passer de non(A) => B à non(B) => A, que l'on peut comparer à un raisonnement par l'absurde (en mettant "faux" à la place de B par exemple).

    Cordialement,

  7. #276
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Il y a deux "raisonnements par contraposée"

    Passer de A => B à non(B) => non(A), qui n'est pas comparable à un raisonnement par l'absurde,

    et

    passer de non(A) => B à non(B) => A, que l'on peut comparer à un raisonnement par l'absurde (en mettant "faux" à la place de B par exemple).

    Cordialement,
    Il y a aussi deux raisonnements par l'absurde : la réduction et le détour.

    Je pense que passer de A => B à non B => non A, c'est comparable à une réduction à l'absurde : sachant (A => B)
    non B => (B => faux) => (A = > B => faux) => non A

    Passer de non(A) => non(B) à B => A, c'est effectivement comparable à un détour par l'absurde.

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  9. #277
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Il y a aussi deux raisonnements par l'absurde : la réduction et le détour.

    Je pense que passer de A => B à non B => non A, c'est comparable à une réduction à l'absurde : sachant (A => B)
    non B => (B => faux) => (A = > B => faux) => non A

    Passer de non(A) => non(B) à B => A, c'est effectivement comparable à un détour par l'absurde.
    D'accord.

    J'ai juste pris le pli de réserver "raisonnement par l'absurde" au détour (le seul cas qui commence par "je suppose le contraire de ce que je veux démontrer, alors ...").

    Cordialement,

  10. #278
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    D'accord.

    J'ai juste pris le pli de réserver "raisonnement par l'absurde" au détour (le seul cas qui commence par "je suppose le contraire de ce que je veux démontrer, alors ...").

    Cordialement,
    Quelle différence faite vous (mmy et leon) en logique classique entre réduction à l’absurde et détour par l’absurde ?



    Patrick

  11. #279
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Quelle différence faite vous (mmy et leon) en logique classique entre réduction à l’absurde et détour par l’absurde ?
    Si tu regardes en détail, tu détecteras des remplacement de non(non(P)) par P dans un cas et pas dans l'autre.

    Cordialement,

  12. #280
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Si tu regardes en détail, tu détecteras des remplacement de non(non(P)) par P dans un cas et pas dans l'autre.

    Cordialement,
    Oui mais n'est-il pas non(non(P)) <--> P en logique classique. Qu'est que cela apporterait de faire la distinction ?

    Patrick

  13. #281
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Oui mais n'est-il pas non(non(P)) <--> P en logique classique. Qu'est que cela apporterait de faire la distinction ?
    La distinction se fait justement en logique intuitionniste, où non(non(P)) <-- P, mais pas l'autre sens.

  14. #282
    dionisos

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    OK, donc j'ai compris de travers.
    on a donc enfaite si j'ai bien compris se coup si:
    avec A -> B qui signifie, qu'il est possible de passer de A a B a l'aide d'une succession d'etape de démonstrations.

    A, signifie:
    1 -> A

    non(A) signifie:
    A -> 0
    (et non pas:
    non(1 -> A)
    mais:
    (A -> 0) => non(1 -> A) si jamais la théorie est cohérente
    ou de maniere plus condenser:
    non(1->0)

    Il est important de noté que la réciproque est fausse:
    non(1 -> A) => (A -> 0)
    c'est d'ailleur se fait qui permet d'avoir des énoncés indémontrables.)

    A indemontrable signifie:
    non(1 -> A) et non(A->0)

    donc on a, a partir de ces définitions:

    non(non(A)) signifie:
    non(A) -> 0

    Si jamais la transformation suivante est possible:
    non(A) -> 0 remplacer par:
    (A->0) -> 0

    Ceci signifie que la théorie peut "parler" d'elle même, qui l'y a un mélange entre le signifiant et le signifié, ceci néccessite aussi une sorte de processus recursif entre ces deux notions.


    La règle du tier exclu dit alors (si l'on l'ajoute):
    (A->0)->0 => A->1
    Si jamais l'on s'interresse a la sémantique, ceci veut dire que quand la théorie utilisé nous dit: il est impossible de trouver 0 a partir de A,
    alors il est obligatoirement possible de trouver 1, a partir de A dans cette théorie.

    Ici il faut faire attention, cela ne signifie pas, comme l'on pourrai le croire a premiere vu, que tout est démontrable dans cette théorie, car la théorie n'est pas obligé de nous dire: "il est impossible de trouver 0 a partir de A".

    maintenant si A est indémontrable, qu'en est t'il de non(A):
    non(1 -> A) et non(A->0) et A->0 = faux
    donc non(A) est faux

    Et la mon erreur a été de confondre la théorie et la "meta-théorie"
    non(A) faux, ne signifie pas:
    non(non(A))

    Par contre l'on peut remarquer que, si l'on considere que la signification de la théorie sur laquel on se penche est valide, on a:
    non(non(A)) => non(A) faux

    Mais pas l'inverse !

    Voila, j'espere que cette fois j'ai bien compris!

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  16. #283
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    J'ai juste pris le pli de réserver "raisonnement par l'absurde" au détour (le seul cas qui commence par "je suppose le contraire de ce que je veux démontrer, alors ...").
    Une réduction à l'absurde peut aussi commencer par l'écriture "je suppose le contraire de ce que je veux démontrer, alors ..."

    Formellement, imaginons une suite d'implications : non B => ... => faux.
    C'est une réduction à l'absurde de non non B (dont non B est la négation, car non non non B = non B)
    C'est aussi un détour par l'absurde pour démontrer B (car non non B = B via tiers exclu)

    Je me trompe ? C'est un peu tiré par les cheveux : démontre-t-on souvent non non B ?

    Mais quand même ! pour démontrer , on commence bien par écrire pour faire une réduction à l'absurde...
    Dernière modification par leon1789 ; 15/02/2009 à 19h40.

  17. #284
    dionisos

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    J'vien de me rendre compte que mon message est difficilement comprehensible, parce que j'n'est pas bien fait la distinction entre le non de la "théorie analyser", et le non de la théorie qu'on analyse.

    Mais je retrouve plus comment éditer.

  18. #285
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    Mais je retrouve plus comment éditer.
    Passer 5 minutes, je crois qu'on ne peut plus modifier ses messages.

  19. #286
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Une réduction à l'absurde peut aussi commencer par l'écriture "je suppose le contraire de ce que je veux démontrer, alors ..."


    Pourrais-tu reprendre ton exemple en écrivant A pour ce que l'on veut démontrer?

    Cordialement,

  20. #287
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Pourrais-tu reprendre ton exemple en écrivant A pour ce que l'on veut démontrer?
    On veut démontrer A où (penser à et )

    Plusieurs stratégies :

    -1- par un détour par l'absurde, on écrit [non A], et on trouve une contradiction... Ainsi [non non A] est vrai donc [A] est vrai (par tiers exclu)

    -2- par une réduction par l'absurde, on écrit [ B], et on trouve une contradiction. Ainsi [non B] est prouvé.

    Cela étant, en écrivant [ B], on a aussi [non A] car [non A] = [non non B]. Ici la réduction à l'absurde commence donc par une supposition plus forte que la négation [non A] que l'on fait par un détour.

    -3- par une réduction par l'absurde différente : on écrit [non non B], et on trouve une contradiction. Ainsi on prouve [non non non B], et donc A=[non B] est vrai (car triple négation <=> négation)


    Ce qui est amusant, c'est que les stratégies -1- et -3- ne différente finalement en rien puisque [non A] = [non non B] !
    Cela dit, en réalité, on utilise plutôt la stratégie 2.

    Je me trompe ? J'espère que je suis clair.

  21. #288
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    On veut démontrer A où (...)

    -2- par une réduction par l'absurde, on écrit [ B], et on trouve une contradiction. Ainsi [non B] est prouvé.
    Ce n'est donc pas "je suppose la négation de ce que je veux prouver, alors...". C'est "je suppose B tel que ce que je veux prouver est la négation de B, alors...".

    Cordialement,

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  23. #289
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Ce n'est donc pas "je suppose le contraire de ce que je veux prouver, alors...". C'est "je suppose B tel que ce que je veux prouver est non(B), alors...".

    Cordialement,
    Oui, dans le cas -2-, tu as raison.

    Mais dans le cas -3- qui est aussi une réduction à l'absurde, on écrit bien la négation de ce qu'on veut démontrer.

    Es-tu d'accord ?
    Si oui, peut-on conclure que pour démontrer une négation [non B], un détour par l'absurde est un cas particulier d'une réduction par l'absurde à cause du cas -3- ?

  24. #290
    dionisos

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Oui, dans le cas -2-, tu as raison.

    Mais dans le cas -3- qui est aussi une réduction à l'absurde, on écrit bien la négation de ce qu'on veut démontrer.

    Es-tu d'accord ?
    Si oui, peut-on conclure que pour démontrer une négation [non B], un détour par l'absurde est un cas particulier d'une réduction par l'absurde à cause du cas -3- ?
    Effectivement, j'avait pas remarquer sa.

    Donc la demonstration par l'absurde n'implique pas dutout d'utiliser le tiers exclu, le detour par l'absurde etant juste une demonstration par l'absurde ou l'on utilise le tiers exclu a la fin.

    Mais donc j'définirai la question du premier post ainci:
    si:
    A->0
    est ce que:
    1->(A->0)

    En gardan la notation que j'ai utiliser dans mon dernier post.
    Et donc, il me semble asser clair que sa a pas de raison d'etre le cas pour une théorie quelconque.

  25. #291
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Mais dans le cas -3- qui est aussi une réduction à l'absurde, on écrit bien la négation de ce qu'on veut démontrer.
    J'y réfléchis!

    Cdlt,

  26. #292
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    -3- par une réduction par l'absurde différente : on écrit [non non B], et on trouve une contradiction. Ainsi on prouve [non non non B], et donc A=[non B] est vrai (car triple négation <=> négation)
    Comme A=non(B), je peux réécrire (en rouge les différences)

    -3- par une réduction par l'absurde différente : on écrit [non A], et on trouve une contradiction. Ainsi on prouve [non non A], et comme A = non(B), on a prouvé [non non non B], donc [non B] (car triple négation <=> négation), donc A.

    En d'autres termes, tu dis qu'une démonstration par détour par l'absurde de A est acceptable en intuitionniste à la condition que A soit de la forme non(B), la raison en serait que (triple négation <=> négation) est une régle de démonstration acceptable en intuitionniste, c'est cela?

    On doit pouvoir reformuler comme suit:

    Si A est de la forme non(B), alors non(non(A)) => A, en utilisant ta règle sur la triple négation. Or il clair que si non(non(A)) => A , alors une démonstration par l'absurde de A est acceptable.

    Tout tourne autour de ta règle sur la triple négation, je ne me rappelle plus (et ai la flemme de chercher) si tu as fourni une référence indépendante sur cette règle...

    Cordialement,

  27. #293
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    En d'autres termes, tu dis qu'une démonstration par détour par l'absurde de A est acceptable en intuitionniste à la condition que A soit de la forme non(B), la raison en serait que (triple négation <=> négation) est une régle de démonstration acceptable en intuitionniste, c'est cela?
    oui.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Tout tourne autour de ta règle sur la triple négation, je ne me rappelle plus (et ai la flemme de chercher) si tu as fourni une référence indépendante sur cette règle...
    exactement.

    On a clairement [non non (non E) <= (non E)] (triple négation <= négation)

    Si on faire agir la version faible du principe de contraposition [C => D] => [non D => non C]
    sur l'implication [E => non non E] ,
    on obtient [non non non E => non E] (triple négation => négation)

  28. #294
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par dionisos Voir le message
    Mais donc j'définirai la question du premier post ainci:
    si:
    A->0
    est ce que:
    1->(A->0)

    En gardan la notation que j'ai utiliser dans mon dernier post.
    Et donc, il me semble asser clair que sa a pas de raison d'etre le cas pour une théorie quelconque.
    Sans tiers exclu, ça parait effectivement difficile.

  29. Publicité
  30. #295
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    hello hello,
    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Non rationnel est intrinsèquement négatif, puisqu'on peut travailler dans Q sans s'occuper de R. On dit simplement que x²-2 n'a pas de racine, ou n'est pas réductible, etc. Et je ne vois pas comment on peut écrire cela positivement.
    -- Une preuve par l'absurde commence par , etc.


    -- Mais une preuve "directe" peut être comme cela ? Soit , alors
    Comme , on a impair ( est la valuation en 2) et par ailleurs pair. Ainsi , donc
    Donc le polynôme X²-2 n'a pas de racine dans Q.

    Est-ce une preuve "positive" ?


    -- Pour moi, cette preuve "directe" est nettement plus intéressante que toute preuve par l'absurde (et cela montre qu'elles ne sont absolument pas de même nature !) car toutes les assertions de cette preuve sont vraies, y compris , plus fort que le résultat que l'on en retient.
    Cela arrive de temps en temps qu'une preuve "directe" démontre davantage que ce que l'on en retient (on le voit bien quand, ultérieurement, on a besoin d'une assertion "juste survolée" dans la preuve directe). Et ceci ne peut évidemment pas faire une preuve par l'absurde...

  31. #296
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Comme , on a impair ( est la valuation en 2) et par ailleurs pair. Ainsi
    Bonjour,

    Ce passage est sensé être évident ?

  32. #297
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Bonjour,

    Ce passage est sensé être évident ?
    Je n'ai rien dit, effectivement c'est bon.

  33. #298
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    on a impair ( est la valuation en 2) et par ailleurs pair. Ainsi
    Comment démontres-tu le "ainsi"?

    (Je ne cherche pas la petite bête, a priori c'est convaincant, je demande juste de développer le point le moins bien développé, le moins "évident" comme dit jreeman.)

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 28/03/2009 à 13h23.

  34. #299
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Bonjour,

    Ce passage est sensé être évident ?
    p² et 2q² n'ayant pas la même valuation, leur différence n'est pas nulle (de valuation égale au minimum de celle de p² ou de 2q²) donc elle vaut au moins 1.

    On pourrait dire que c'est un peu "tiré par les cheveux" car le fait que la différence n'est pas nulle suffit pour faire conclure... sans aller chercher une minoration par 1. ok

  35. #300
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je ne cherche pas la petite bête
    Pas de problème ! Effectivement, c'est peut-être un point sensible dans le raisonnement : j'aurais dû argumenter un peu.

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