Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

[leon1789]

Pourquoi uniquement que faux ?

Je place la question avec A faux, parce qu'un raisonnement par l'absurde débute par la supposition d'une assertion qui est en réalité fausse (puisqu'elle conduit à une contradiction).
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[invite6754323456711]

Je place la question avec A faux, parce qu'un raisonnement par l'absurde débute par la supposition d'une assertion qui est en réalité fausse (puisqu'elle conduit à une contradiction).

Pourquoi la négation (non A) signifierait faux ?

Patrick

[leon1789]

Pourquoi la négation (non A) signifierait faux ?

Patrick

Je ne comprends pas votre question malheureusement. Il faudrait résumer le fil.

[invite6754323456711]

Je ne comprends pas votre question malheureusement. Il faudrait résumer le fil.

jolie pirouette. je pense que tu as parfaitement bien compris la question qui traite de la confusion que tu fais depuis le début de ce fil entre vérité et prouvabilité.

Patrick

[leon1789]

jolie pirouette. je pense que tu as parfaitement bien compris la question qui traite de la confusion que tu fais depuis le début de ce fil entre vérité et prouvabilité.

Patrick

Amusant cette remarque ! Tu en as d'autres dans le genre ??
Tache de poser une question claire, et je tâcherai d'y répondre clairement, promis !

En ce qui me concerne, mes propos sur les deux types de raisonnement par l'absurde n'ont absolument rien à voir avec la prouvabilité... Pourquoi parles-tu de ça ?

[leon1789]

[« La tour Eiffel fait moins de 850 mètres de haut » implique « La tour Eiffel fais moins de 800 mètres de haut »] est vraie).

Si la tour Eiffel fait 900 mètres cette démonstration reste valide. Ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe mais bien A ==> B

Tiens une question à laquelle tu n'as pas répondue :
comment prouves-tu que A ==> B reste valide si la tour fait 900 mètres ?

Tu vas le faire en disant
<< si la tour fait 900 mètres alors A est faux et donc [A => B] est vraie >>
ou autrement ?
N'oublie pas ce que tu as compris : ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe ...


Par ailleurs, regarde juste ceci

[« La tour Eiffel fait moins de 850 mètres de haut » implique « La tour Eiffel fais moins de 800 mètres de haut »] est vraie).

Pourquoi l'implication A => B est vraie ? Parce que A est vraie et B aussi ! Donc, ici, les valeurs des propositions A et B sont essentielles pour prouver A => B.

Mais je peux me tromper... comme tout le monde.

[leon1789]

Finalement, c'est surtout "B vrai" qui est important

Mais bon, c'est toujours la valeur d'une assertion qui est essentiel dans cet exemple



D'ailleurs, tout comme pour [FAUX => B],
on peut aussi se demander quel intérêt peut avoir une implication [A => VRAI]...

[invite7863222222222]

C'est un point de vue. Personnellement, quand on parle d'une propriété de Q, je préfère, quand elles existent, les démonstrations qui ne font pas appel à un ensemble "plus grand"

Oui ca se tient, mais l'intérêt était à replacer par rapport au sujet de la discussion. Peut-être, cela serait-il plus simple de chercher une démonstration dans IR, car j'ai du mal à voir pourquoi c'est si évident que ca n'a aucun rapport avec le sujet (raisonnement par l'absurde).

[invite7863222222222]

Qu'appelez-vous "preuve directe" ?


est-ce directe pour vous ?


est-ce directe pour vous ?

Oui, ca a l'air direct mais dommage, ca n'utilise pas les quantificateurs "officiels" de la logique classique.

[invite7863222222222]

correction : je voulais parler de symbôle au lieu de quantificateur.

[leon1789]

Ah mais j'oubliais ça !

pour moi, la définition de (non A), c'est (A ==>faux)

Je vois une belle preuve de .

Comment utilise-t-on de cette preuve pour démontrer la proposition ?

J'ai posé cette question à une tiers personne : sa réponse a été de gros yeux effectivement, les assertions << tout rationnel est différent de >> et << n'est pas rationnel >> sont "assez naturellement" équivalentes.

Il me semble que la traduction est « j'utilise le tiers exclu sans le dire »...

C'est ce que j'aurais voulu que leon1789 découvre tout seul ...

Bon allez, je vous montre ma solution (je me sens obligé, c'est mon coté pseudo-scientifique et arnaqueur comme vous aimez à dire !) :


(*) entraîne sans tiers exclu, et de manière assez évidente
En effet, =(*)=> => faux


Réciproquement
(**) entraîne sans tiers exclu, et c'est à peine plus difficile !
En effet, ( => =(**)=> faux )


Sans tiers exclu, c'est étonnant, non ? Qui se trompe en fait ?

[invite6754323456711]

(*) entraîne sans tiers exclu, et de manière assez évidente
En effet, =(*)=> => faux

Sans tiers exclu, c'est étonnant, non ? Qui se trompe en fait ?

Sacré Léon je croyais que tu le faisais exprès mais en fait non.

Relis et relis encore ce que t'ont ecrit Médiat, God's Breath et mmy

Dont la citation de God's Breath que tu reprends

Désolé mais on ne peut plus rien faire.

Patrick

[leon1789]

Sacré Léon je croyais que tu le faisais exprès mais en fait non.
Relis et relis encore ce que t'ont ecrit Médiat, God's Breath et mmy
Dont la citation de God's Breath que tu reprends
Désolé mais on ne peut plus rien faire.
Patrick

Et c'est toi qui me dis ça On aura tout vu. Mais soit ! S'il y a des trucs qui m'ont échappés (il y en a, c'est certain), merci de me les rappeler rapidement mais précisément (citation, référence, ...) ! Le refrain "relis tout le fil" je connais...

D'une, laisse de coté Michel (mmy), car il n'avait rien à voir avec cette partie de discussion : l'as-tu vu ?

D'autre part, tu n'as toujours pas répondu à ma question message #246 .

A lire ce que les deux autres ont écrit, ils pensent (*) que j'utilise le tiers exclu sans le dire. Ca aussi je l'invente ?

Voire pire : pour faire plaisir à ces messieurs (*), il aurait fallu que je découvre tout seul que je devais l'utiliser ! Ca aussi je l'invente ?

Or, il n'est rien, absolument rien de tout ça ! C'est de la logique de base pourtant...


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(*) A moins qu'ils écrivent des choses qu'ils ne pensent pas, et là...

[invited78e0bbb]

Quel est ton niveau en maths ? Non car là la discussion ne menera à rien...
Apprends les bases et pius après on en reparle.
Amicalement.

[invité576543]

Réciproquement
(**) entraîne sans tiers exclu, et c'est à peine plus difficile !
En effet, ( => =(**)=> faux )

Désolé, mais il me semble que c'est plutôt

implique que

=>

Et si j'ai raison, il y a des excuses de dues. Parce que tu aurais pû, plus humblement, demander qu'on te montre si le raisonnement utilisait le tiers exclus.

Cordialement,

[invite7863222222222]

Le "truc" avec cet exemple, apparemment, c'est qu'un nombre irrationnel, c'est un nombre qui n'est pas rationnel (à moins qu'on connaisse une définition constructive d'un irrationnel ?).

A partir de cette définition, on peut donc dire qu'il ne peut pas y avoir de démonstration "directe" de l'irrationalité de 2.

Mais les interrogations sur l'existence de raisonnements "directs" ne se résument-elles pas à ces définitions "non constructives" ?

[invité576543]

Mais les interrogations sur l'existence de raisonnements "directs" ne se résument-elles pas à ces définitions "non constructives" ?

Il y a certainement une relation avec la non-constructivité, mais peut-être pas seulement les définitions non constructives.

Le tiers exclu est un cas particulier de l'exigence qu'une preuve de A ou B soit soit une preuve de A, soit une preuve de B. Ici, effectivement, "être irrationnel" ne semble pas prouvable directement, par absence d'une définition autre que négative.

Mais un autre cas qui a été cité est de prouver directement "pour toute application s(n) de N vers N, soit l'un des s(n) est nul, soit ils sont tous non nuls". Dans ce cas-là, je ne vois pas de définition non constructive.

Cordialement,

[leon1789]

implique que

=>

Pour que je puisse bien suivre, il faudrait parenthéser un peu plus :
est-ce que tu veux dire cela ?
=>

Si oui, alors on peut continuer ta chaine d'implications par
=> faux
Ce n'est pas le principe du tiers exclu [P ou non P], mais le principe de non-contradiction [non (P et non P)]

Ainsi on obtient
=>

Ce qui se résume par



Je me trompe ?

Et si j'ai raison, il y a des excuses de dues. Parce que tu aurais pû, plus humblement, demander qu'on te montre si le raisonnement utilisait le tiers exclus.

Cordialement,

Promis !

[invité576543]

Je me trompe ?

Vu comme cela, non.

Cordialement,

[invite7863222222222]

"pour toute application s(n) de N vers N, soit l'un des s(n) est nul, soit ils sont tous non nuls". Dans ce cas-là, je ne vois pas de définition non constructive.

Pour moi une définition ou un propriété constructive ne s'exprime pas par "ce que n'est pas tel x" mais par ce qu'il est. Or "non nul" est justement défini par une négation, car cela veut dire qu'un tel x sera alors différent de 0.

[invite6754323456711]

D'autre part, tu n'as toujours pas répondu à ma question message #246 .

Allez pour le fun avant d'aller . C'est toujours un plaisir d'échanger avec toi

Par A ==> B ce que je voulais dire : Il y a le raisonnement et il y a ce sur quoi on raisonne.

Si tu fais une recherche sur internet du devrait découvrir :

Approche formelle "syntaxique" : on s'intéresse à la forme des énoncés logique. On ne s'intéresse pas à l'objet du raisonnement. L'un des intérêts de la formalisation du raisonnement (théorie de la démonstration) découle du fait que la structure du raisonnement varie peu.
L'objectif est de formaliser précisément le raisonnement (ou une partie).

On parle de langage (des prédicats) , axiome, théorème et règle de déduction, preuve, démonstration ..

Démontrer un théorème consiste à utiliser une procédure de démonstration qui elle-même utilise des règles d'inférences. C'est une activité syntaxique indépendante du sens des expressions.


Approche "sémantique" : Maintenant les déductions faites de manière purement formelles auront une correspondance dans la réalité. Il est question ici de la sémantique (propagation de la vérité) et non plus de la syntaxe. La sémantique attribue une signification aux expressions.

Dans ce cas on parle d'interprétation (domaine, assignation,..), de modèle, de valeur de vérité (sens), de satisfaisable, conséquence logique ...

Le lien entre les deux approches : consistance, complétude


Patrick
http://www.dicosmo.org/CourseNotes/M.../Predicats.pdf

[leon1789]

Quel est ton niveau en maths ? Non car là la discussion ne menera à rien...
Apprends les bases et pius après on en reparle.
Amicalement.

J'ai juste quelques bases, mais je veux bien qu'on reparle... mais de quoi au juste ?

(...) il y a des excuses de dues. Parce que tu aurais pû, plus humblement (...)

Oui, il est vrai que j'ai été très "ironique". Mais ce qui m'étonne, c'est que d'autres se permettent de lancer des insultes, et cela ne choque pas grand monde...

Vu comme cela, non.

Cordialement,

Merci.

(Je remarque que tu as toujours eu le soucis de "justice" que d'autres n'ont pas vraiment, c'est le moindre que l'on puisse dire.)

[leon1789]

Par A ==> B ce que je voulais dire : Il y a le raisonnement et il y a ce sur quoi on raisonne.

Si tu fais une recherche sur internet du devrait découvrir : (...)

Je te remercie pour tes renseignements sur les approches, et je suis très content que tu penses cela !

A vrai dire, au début de ce fil, j'en ai touché deux mots à Média, mais ce dernier ne voulant quitter sa logique formelle (et l'histoire du tiers exclu dont on n'a finalement pas besoin...) a simplement conclut que je confondais l'implication A => B et les assertions A et B.

Pour moi, bien sûr une justification de l'implication est primordiale, mais je prête aussi de l'importance aux assertions elles-mêmes (d'où mon refus de commencer une preuve en disant "supposons ...").


Cela étant, revenons à ceci s'il te plait :

[« La tour Eiffel fait moins de 850 mètres de haut » implique « La tour Eiffel fais moins de 800 mètres de haut »] est vraie.

Si la tour Eiffel fait 900 mètres cette démonstration reste valide. Ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe mais bien A ==> B

Que veux-tu dire par "Ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe" ?
Car il me semble que, dans cet exemple (avec ou sans hypothèse "tour Eiffel = 900m"), il est essentiel que B soit connue... sinon l'implication A => B est fausse. Non ?


En revanche, il est vrai que pour le réciproque A <= B , on n'a pas besoin de connaitre les valeurs de A et B, car la transitivité de l'inégalité permet de justifier cela.

[invite6754323456711]

Que veux-tu dire par "Ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe" ?
Car il me semble que, dans cet exemple (avec ou sans hypothèse "tour Eiffel = 900m"), il est essentiel que B soit connue... sinon l'implication A => B est fausse. Non ?

Si on se place dans la théorie de la démonstration.

Par exemple si lors d'une déduction on a introduit l'implication on décharge l'hypothèse pour n'utiliser dans les démonstrations/preuves qui suivent que l'implication.

Maintenant c'est ce que je comprend.

Patrick

[leon1789]

[« La tour Eiffel fait moins de 850 mètres de haut » implique « La tour Eiffel fait moins de 800 mètres de haut »] est vraie.

Par exemple si lors d'une déduction on a introduit l'implication on décharge l'hypothèse pour n'utiliser dans les démonstrations/preuves qui suivent que l'implication.

oui, mais dans l'exemple,
ce n'est pas dont il s'agit,
mais (inégalités inversées).
Autant la première implication est valable dans toutes circonstances ( x quelconque),
autant la seconde valable parce que "x < 800m" est vrai (car en réalité, Tour Eiffel < 800m)
Non ?

[invite6754323456711]

oui, mais dans l'exemple,
ce n'est pas dont il s'agit,
mais (inégalités inversées).
Autant la première implication est valable dans toutes circonstances ( x quelconque),
autant la seconde valable parce que "x < 800m" est vrai (car en réalité, Tour Eiffel < 800m)
Non ?

C'est parque alors on est dans de l'interprétation. Si le domaine est tour Eiffel alors l'implication est vrai. Si on choisi un autre domaine x = 820m l'implication est fausse. Maintenant L'implication en tant que tel fait sens. Elle (la formule A ==> B) est satisfiable (vrai dans un modèle) mais pas valide (vrai dans tout domaine)

Voir l'exemple que j'ai donné extrait de http://www.i3s.unice.fr/~fedou/OFI20...OFI-Cours5.pdf

Page 29.

Patrick

[invite6754323456711]

C'est parque alors on est dans de l'interprétation. Si le domaine est tour Eiffel alors l'implication est vrai. Si on choisi un autre domaine x = 820m l'implication est fausse. Maintenant L'implication en tant que tel fait sens. Elle (la formule A ==> B) est satisfiable (vrai dans un modèle) mais pas valide (vrai dans tout domaine)

Voir l'exemple que j'ai donné extrait de http://www.i3s.unice.fr/~fedou/OFI20...OFI-Cours5.pdf

Page 29.

Patrick

Une autre précision d'importance (si j'ai bien compris). Les théorèmes de Godel sur la complétude établissent le rapport entre les deux notions (système formel/modèle)

Les énoncés qui sont dérivables (déductibles) dans une théorie du premier ordre sont exactement ceux (images traduit dans un modèle) qui sont satisfait.


Patrick

[leon1789]

C'est parque alors on est dans de l'interprétation. Si le domaine est tour Eiffel alors l'implication est vrai. Si on choisi un autre domaine x = 820m l'implication est fausse. Maintenant L'implication en tant que tel fait sens. Elle (la formule A ==> B) est satisfiable (vrai dans un modèle) mais pas valide (vrai dans tout domaine)

Ok, on est d'accord.


En résumé (très condensé), dans cet exemple, pour connaitre la valeur de vérité de l'implication A => B (cette valeur existe toujours), il est important de connaitre celles de A et B.

Ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe mais bien A ==> B

[invite6754323456711]

Ok, on est d'accord.


En résumé (très condensé), dans cet exemple, pour connaitre la valeur de vérité de l'implication A => B (cette valeur existe toujours), il est important de connaitre celles de A et B.

Je crois que l'incompréhension provient du fait que l'un et l'autre on ne se place pas dans la même théorie.

Je m'intéresse à la théorie de la démonstration (syntaxe) et tu sembles plus sensibilisé à la théorie des modèles (sémantique, propagation de la vérité).

Pour moi (ce que je comprend) dans le domaine de la démonstration A, B, A==>B sont aussi important les uns que les autres.

Par exemple à partir de A => B et de B => C on peut déduire A => C si on fait l'hypothèse de A. une fois démontrer on peut levée l'hypothèse A et utilisé A => C

Si de A on déduit C alors A => C est un théorème.

Je ne m'intéresse pas à donner un sens de vérité aux formules. Peut importe la vérité de A ou de B dans A => B c'est la syntaxe qui importe.

A quoi cela peut servir ? A faire par exemple des démonstrations de théorèmes par ordinateur.

Maintenant pour le calcul des proposition toute expression "sémantiquement vraie" (au sens des interprétations) est "syntaxiquement correcte" (c'est à dire démontrable) et réciproquement.


Pour le calcul des prédicats il peut y avoir une infinité d'interprétation.


Je débute dans ce domaine donc ce n'est que ma vision des choses en un instant t d'apprentissage.

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Peut être une autre façon de voir les choses. Maintenant je ne sais pas si elle est juste car on mélange les deux notions (syntaxe et sémantique). je dirais que c'est une approche intuitive/informelle.

Dans la déduction naturelle on utilise la notion d'hypothèse (supposition d'une chose possible ou non de laquelle on tire une conséquence).

Supposons que nous voulions démonter la formule suivante :

(A et B) => (B et A)

Supposons que l'antécédent est "vrai". On a donc
(1) (A et B)

donc en particulier
(2) B

mais par (1) on a aussi
(3) B

si bien que par (2) et (3) on a
(4) (B et A)

On peut alors décharger l'hypothèse formulée (1) et considéré que la formule (4) est démontrée, puisque montrer que le conséquent s'ensuit de l'antécédent, revient à montrer que l'implication est valide.

On part bien d'une hypothèse, sous laquelle on dérive une autre formule par des procédés de déduction (inférence). Le résultat est alors rendu indépendant de l'hypothèse (supposition d'une chose possible ou non), qui est dite déchargée.

C'est de la syntaxe et non de la sémantique.

Patrick