Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

[leon1789]

Alors, nous ne nous comprendrons jamais, pour moi les maths sont formelles et non concrètes et encore moins pratiques.

Nous n'avons pas la même expérience des maths, c'était clair depuis le début, mais cela empêche-t-il de nous comprendre ?... (je ne dis pas d'être d'accord)

Parce que avec un raisonnement direct on est sur de ne pas se tromper ?

Le problème n'est pas de ne jamais se tromper : personne n'est infaillible. De manière analogue, quand on programme, il y a un risque d'erreur (surtout si le programme est long). Le problème n'est pas de se dire << je suis certain que je vais y arriver du premier coup !>> mais de chercher des moyens pour détecter les erreurs (car on en fait, c'est sûr !).

L'argument que je vous donnais était celui-ci : un raisonnement par l'absurde fait sauter le garde-fou de la non-contradiction. C'est malheureusement une (bonne) sécurité de moins ! Mais peut-être que le fait que les maths soient a priori non contradictoire est sans intérêt pour vous...

Cherchez encore, avec un peu de bonne foi, vous trouverez.

...

Si vous voulez faire des mathématiques intuitionniste dîtes-le franchement, ce n'est pas déshonorant, et nous comprendrons pourquoi le raisonnement par l'absurde ne vous convient pas.

Je ne suis pas logicien, vous l'avez bien compris. Mes propos ne reposent pas sur l'axiomatique, mais sur la pratique des raisonnements et leur impacts pédagogiques et scientifiques.
Vous avez le droit de dire que les maths (dont les raisonnements) sont formelles, non concrètes et pas pratique. Pour moi, c'est quelque chose que je pratique tous les jours, ce qui m'a forgé une expérience propre (une expérience modeste... je ne suis pas un génie), une manière d'agir pour réaliser des preuves.

J'ai vraiment l'impression que l'on ne parle pas de maths ici.

--> Cherchez encore, avec un peu de bonne foi, vous trouverez.
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[God's Breath]

Et comment se traduit ""assez naturellement" équivalentes" en langage formel ?

Il me semble que la traduction est « j'utilise le tiers exclu sans le dire »...

[Médiat]

Il me semble que la traduction est « j'utilise le tiers exclu sans le dire »...

C'est ce que j'aurais voulu que leon1789 découvre tout seul ...

[Médiat]

L'argument que je vous donnais était celui-ci : un raisonnement par l'absurde fait sauter le garde-fou de la non-contradiction.

Uniquement parce que vous ne voulez pas comprendre qu'écrire (2=1) et (si 1=2 alors ...), ce n'est pas la même chose du tout.

Cherchez encore, avec un peu de bonne foi, vous trouverez.

Il va donc me falloir assumer ma mauvaise foi, mais je ne vois aucune trace de mathématique dans la notion de "théorème irréel" (d'ailleurs je n'en vois pas plus dans la notion de théorème réel).

[leon1789]

Et comment se traduit ""assez naturellement" équivalentes" en langage formel ?

Vous ne comprenez pas autre chose que votre langage formel ? Je suis désolé, je suis dans l'incapacité de vous traduire le français dans votre langage favori... Mais je vous suggère d'expérimenter un peu les maths, ie. de descendre dans la rue et de demander à n'importe qui s'il voit une différence entre << tout rationnel est différent de >> et << n'est pas rationnel >>...

En revanche, je veux bien que vous m'expliquiez pourquoi ce n'est pas pareil pour vous

[leon1789]

Il me semble que la traduction est « j'utilise le tiers exclu sans le dire »...

C'est ce que j'aurais voulu que leon1789 découvre tout seul ...

Mais mon problème n'est pas le tiers exclus. Mon problème, c'est les situations contradictoires développées par exemple dans les raisonnements par l'absurde.

[God's Breath]

leon1789 aurait eu beaucoup de peine à trouver tout seul la traduction, parce qu'il accepte d'un côté comme « assez naturel », ce qu'il refuse de l'autre au nom du garde-fou de la non-contradiction, qui est censé assurer la sécurité.

Cherchez la contradiction !!

C'est bien pourquoi je définis les mathématiques comme « formalisables » : le garde-fou est assuré par la formalisation, le stade formel n'étant plus des mathématiques.

[God's Breath]

Mais mon problème n'est pas le tiers exclus. Mon problème, c'est les situations contradictoires développées par exemple dans les raisonnements par l'absurde.

Il y a une différence entre le tiers exclu et les raisonnements par l'absurde ? Première nouvelle !

[Médiat]

En revanche, je veux bien que vous m'expliquiez pourquoi ce n'est pas pareil pour vous

A cause du tiers exclu que vous contestez en contestant le raisonnement par l'absurde !

Je suis désolé, je suis dans l'incapacité de vous traduire le français dans votre langage favori

Que ce soit mon langage favori ou non ne vous regarde pas, mais si vous voulez faire des maths, il vous faut le traduire en langage mathématique

Mais je vous suggère d'expérimenter un peu les maths, >>...

Que savez-vous de mon expérience des maths ?

[QUOTE=leon1789;2148165]de descendre dans la rue et de demander à n'importe qui s'il voit une différence entre << tout rationnel est différent de >> et << n'est pas rationnel Et au besoin on fait voter une loi pour que pi = 3 afin de simplifier les calculs ? Désolé, mais les mathématiques n'ont rien à voir avec la démocratie. Je vous suggère de descendre la rue et de demander à n'importe qui ce qu'il pense du paradoxe de Banach-Tarski ou du paradoxe de Skolem.

Vous ne comprenez pas autre chose que votre langage formel ?

Si vous continuez sur ce ton, je vous abandonne à vos erreurs.

[Médiat]

leon1789 aurait eu beaucoup de peine à trouver tout seul la traduction

Mon indécrottable optimisme sans doute

[leon1789]

Uniquement parce que vous ne voulez pas comprendre qu'écrire (2=1) et (si 1=2 alors ...), ce n'est pas la même chose du tout.

si si je vois (avec un seul oeil peut-être) une différence entre les deux

Il va donc me falloir assumer ma mauvaise foi, mais je ne vois aucune trace de mathématique dans la notion de "théorème irréel" (d'ailleurs je n'en vois pas plus dans la notion de théorème réel).

Peut-être de mauvaise foi , et peut-être aveugle aussi.

Exemple
théorème 1 : si f est dérivable alors f est continue
théorème 2 : si 1=2 dans N alors 0=1

Je vois à quoi peut servir le théorème 1 (disons que le théorème 1 possède un certain aspect pratique, concret, etc) car on a déjà démontré un certain nombre de choses avec lui.
Quant au théorème 2, je ne vois pas à quoi il peut servir... Vous l'avez utilisé pour prouver quoi en math ?

[leon1789]

leon1789 aurait eu beaucoup de peine à trouver tout seul la traduction, parce qu'il accepte d'un côté comme « assez naturel », ce qu'il refuse de l'autre au nom du garde-fou de la non-contradiction, qui est censé assurer la sécurité.

décidément, le dialogue est difficile : je n'ai pas dit que la non-contradiction assure la sécurité ! Pourquoi extrapolez-vous comme ça ??
Simplement qu'une contradiction dans un raisonnement partant d'une hypothèse réalisable ("considérer un rationnel", "considérer une fonction dérivable par exemple") est la preuve d'une erreur.
Cette possibilité (une simple possibilité !) de détection d'erreur n'existe pas dans un raisonnement par l'absurde.
Pourquoi ne voulez-vous pas admettre cette évidence ?

[leon1789]

Il y a une différence entre le tiers exclu et les raisonnements par l'absurde ? Première nouvelle !

En logique formelle : non, on est d'accord.
Mais avez-vous déjà enseigné à des petits ? Je vous assure qu'il y a des différences entre
- un tiers exclus du genre : un réel est rationnel ou irrationnel (il y a des rires dans la classe)
- une contraposition immédiate (les gens comprennent à peu près)
- un raisonnement par l'absurde bien consistant (où les 3/4 ne suivent plus !)
Encore une question d'expérience des maths.

[Médiat]

Peut-être de mauvaise foi , et peut-être aveugle aussi.

Exemple
théorème 1 : si f est dérivable alors f est continue
théorème 2 : si 1=2 dans N alors 0=1

Je vois à quoi peut servir le théorème 1 (disons que le théorème 1 possède un certain aspect pratique, concret, etc) car on a déjà démontré un certain nombre de choses avec lui.
Quant au théorème 2, je ne vois pas à quoi il peut servir... Vous l'avez utilisé pour prouver quoi en math ?

Finalement la mauvaise foi n'est peut-être pas de mon côté :
théorème 1 : si 1=1 alors 2=2
théorème 2 :

Je vous laisse descendre dans la rue et de demander à n'importe qui comment justifier l'implication du théorème 2, et je vous fais remarquer qu'il n'est absolument pas nécessaire de savoir si est vrai ou non pour conclure par le théorème .

[leon1789]

Que savez-vous de mon expérience des maths ?

Uniquement qu'elle n'est pas la même que la mienne.

de descendre dans la rue et de demander à n'importe qui s'il voit une différence entre << tout rationnel est différent de >> et << n'est pas rationnel

Et au besoin on fait voter une loi pour que pi = 3 afin de simplifier les calculs ? Désolé, mais les mathématiques n'ont rien à voir avec la démocratie. Je vous suggère de descendre la rue et de demander à n'importe qui ce qu'il pense du paradoxe de Banach-Tarski ou du paradoxe de Skolem.

Encore une fois, vous extrapolez a outrance.

Mais bon, je voudrais bien voir les réactions des gens quand on leur dira qu'on a le moyen de démultiplier les petits pains. Je pense que cela les intéresserait, mais on n'est pas arriver au bout

Si vous continuez sur ce ton, je vous abandonne à vos erreurs.

Désolé d'avoir des idées qui ne se formalisent pas assez bien pour vous.

[God's Breath]

Pourquoi ne voulez-vous pas admettre cette évidence ?

Parce qu'en mathématiques, il n'y a pas « d'évidences ». On démontre tout, jusqu'au plus petit détail, et ce en n'utilisant que les axiomes et les règles d'inférence licites, ce que tu ne sembles pas prêt à faire pour nous prouver que est irrationnel.

J'attends donc toujours la preuve de cette « évidence naturelle», et j'en reste à la preuve de , qui n'est pas celle de l'irrationalité de .

Il n'y a que les pseudo-scientifiques qui cachent sous des « évidences » leur incapacité à démontrer correctement les résultats annoncés.

[leon1789]

Finalement la mauvaise foi n'est peut-être pas de mon côté :
théorème 1 : si 1=1 alors 2=2

par ma mauvaise foi, quel est l'intérêt de ce théorème ?

théorème 2 :

(...)je vous fais remarquer qu'il n'est absolument pas nécessaire de savoir si est vrai ou non pour conclure par le théorème .

Ok, mais quel est l'intérêt de l'hypothèse dans ce théorème ?

De bons exemples passeraient sûrement par des vrais théorèmes... (pas trop difficiles pour que je suive, svp) J'entends par "vrais théorèmes", ceux qu'on demande d'apprendre aux élèves de collège, lycée...

[leon1789]

Parce qu'en mathématiques, il n'y a pas « d'évidences ». On démontre tout, jusqu'au plus petit détail, et ce en n'utilisant que les axiomes et les règles d'inférence licites
(...)
Il n'y a que les pseudo-scientifiques qui cachent sous des « évidences » leur incapacité à démontrer correctement les résultats annoncés.

Vous allez donc jusqu'à dire qu'avant l'axiomatisation pure et dure des mathématiques (il y a grosso modo un bon siècle), les "quelques" chercheurs que nous connaissons tous (leurs noms sont dans nos cours) étaient des pseudo-scientifiques ?...

Par ailleurs, il me semble avoir déjà vu les mots "trivial", "évident" dans pas mal de preuves. Mais encore une fois, ce ne sont pas des preuves de logique formelle.

J'attends donc toujours la preuve de cette « évidence naturelle», et j'en reste à la preuve de , qui n'est pas celle de l'irrationalité de .

Je dirais que cette « évidence naturelle» est axiomatique (c'est une plaisanterie, quoique...)

[Médiat]

Ok, mais quel est l'intérêt de l'hypothèse dans ce théorème ?

Il semblerait donc que les "évidences" ne suffisent pas, étudiez ce que j'ai écrit d'un point de vue mathématique, je veux dire formel, et vous trouverez cet intérêt, je n'en doute pas.

[Médiat]

C'est bien pourquoi je définis les mathématiques comme « formalisables » : le garde-fou est assuré par la formalisation, le stade formel n'étant plus des mathématiques.

Ah la la, sale platonicien .

[God's Breath]

Par ailleurs, il me semble avoir déjà vu les mots "trivial", "évident" dans pas mal de preuves. Mais encore une fois, ce ne sont pas des preuves de logique formelle.

Effectivement, ce qui veut dire qu'on laisse le soin au lecteur de mettre au point les détails de la preuve, qui sont faciles, pour focaliser l'attention sur l'articulation générale et les points difficiles de la démonstration. Mais on doit pouvoir éclairer ces points faciles en cas de besoin, afin de rendre la démonstration parfaitement rigoureuse

Je dirais que cette « évidence naturelle» est axiomatique (c'est une plaisanterie, quoique...)

Jolie pirouette qui fait que je n'ai toujours pas de réponse quant au statut de .

Il est certain qu'il n'est pas facile de reconnaître que l'on utilise la méthode dont on veut montrer à face du monde qu'elle est haïssable.

[God's Breath]

Ah la la, sale platonicien .

Ciel, je suis démasqué !

[leon1789]

Il semblerait donc que les "évidences" ne suffisent pas, étudiez ce que j'ai écrit d'un point de vue mathématique, je veux dire formel, et vous trouverez cet intérêt, je n'en doute pas.

Je voudrais bien étudier ce que vous dites, mais voilà, tous les exemples de théorèmes que vous donnez sont quand même assez spéciaux :
soit l'hypothèse est contradictoire (1=2) ,
soit l'hypothèse est vrai par évidence (1=1) ,
soit l'hypothèse ne sert pas pour démontrer le résultat !

Et vous trouvez que vos exemples sont suffisamment représentatifs pour convaincre... Désolé, mais les théorèmes (et leurs preuves) auxquels j'ai affaire ne sont pas du tout de genre.


Finalement, a-t-on le droit de refuser le raisonnement par l'absurde pour d'autres raisons qu'une raison axiomatique ?! Je crois qu'on aurait dû commencer par là.

[God's Breath]

Finalement, a-t-on le droit de refuser le raisonnement par l'absurde pour d'autres raisons qu'une raison axiomatique ?! Je crois qu'on aurait dû commencer par là.

Peu importe pour quelle raison on le refuse, il faut seulement être conscient que l'on refuse du même coup le tiers exclu et le raisonnement par contraposition...

[leon1789]

Jolie pirouette qui fait que je n'ai toujours pas de réponse quant au statut de .

Il est certain qu'il n'est pas facile de reconnaître que l'on utilise la méthode dont on veut montrer à face du monde qu'elle est haïssable.

Tout ce que je peux vous dire, n'est égal à aucun rationnel (je crois qu'on est d'accord avec cela). Après, on comprendra ce à quoi on est sensible, dans sa propre axiomatique formelle ou informelle


Non, le raisonnement par l'absurde n'est pas haïssable : vous extrapolez encore... Des raisonnements par l'absurde, j'en fais aussi ! ...au brouillon.

Pour moi, le raisonnement par l'absurde est insuffisant et plus risqué qu'un raisonnement sans contradiction. Partant de là, il faut essayer de démontrer des résultats "consistantes", ie. avec des hypothèses (réalisables, et pas inutiles) et des conclusions en dépendant.

[leon1789]

Peu importe pour quelle raison on le refuse, il faut seulement être conscient que l'on refuse du même coup le tiers exclu et le raisonnement par contraposition...

Je pense que ce n'est pas aussi clair.

Du point de vue d'une "logique formelle et axiomatique", vous avez raison, pas de problème.

Mais d'un autre point de vue, plus "expérimental", on peut refuser de rédiger un raisonnement partant d'un système connu pour être contradictoire par l'auteur. Vous voyez ici une raison méta-mathématique puisque je fais référence à l'auteur du théorème et de sa preuve.

[Médiat]

Je voudrais bien étudier ce que vous dites, mais voilà, tous les exemples de théorèmes que vous donnez sont quand même assez spéciaux :
soit l'hypothèse est contradictoire (1=2) ,
soit l'hypothèse est vrai par évidence (1=1) ,
soit l'hypothèse ne sert pas pour démontrer le résultat !

Et vous trouvez que vos exemples sont suffisamment représentatifs pour convaincre... Désolé, mais les théorèmes (et leurs preuves) auxquels j'ai affaire ne sont pas du tout de genre.

soit l'hypothèse est contradictoire (1=2) : c'est le principe du raisonnement par l'absurde que vous combattez pour des raisons qui n'ont encore convaincu ni God's Breath, ni moi, ni, jespère, qui que ce soit d'autre.
soit l'hypothèse est vrai par évidence (1=1) : c'est le principe du raisonnement direct qui a vos faveur, il faudrait savoir.
soit l'hypothèse ne sert pas pour démontrer le résultat ! : je crains d'avoir à vous révéler que vous n'avez pas compris la démonstration, cette prémisse est essentielle à la démonstration.


God's Breath a répondu sur le reste.

[leon1789]

soit l'hypothèse est contradictoire (1=2) : c'est le principe du raisonnement par l'absurde que vous combattez pour des raisons qui n'ont encore convaincu ni God's Breath, ni moi, ni, j'espère, qui que ce soit d'autre.

Ne cherchez pas... il y a des déjà des effets positifs de ce que je (et d'autres) pratique depuis bien des années !

soit l'hypothèse est vrai par évidence (1=1) : c'est le principe du raisonnement direct qui a vos faveur, il faudrait savoir.

oui, il est clair que toutes les preuves directes commencent par dire 1=1 ... Et 2=2 aussi ?

soit l'hypothèse ne sert pas pour démontrer le résultat ! : je crains d'avoir à vous révéler que vous n'avez pas compris la démonstration, cette prémisse est essentielle à la démonstration.

Contrairement à vous, sans avoir compris ce qu'est une preuve (ok, je veux bien), je suis capable d'écrire des ersatz et de les faire passer pour corrects au yeux de beaucoup de personnes (99% des matheux). Comment expliquez-vous cela dans votre logique formelle ?

[Médiat]

Contrairement à vous, sans avoir compris ce qu'est une preuve (ok, je veux bien), je suis capable d'écrire des ersatz et de les faire passer pour corrects au yeux de beaucoup de personnes (99% des matheux).

C'est assez prétentieux (vous vous considérez comme plus intelligent de 99% des mathématiciens), mais au moins honnête sur vos intentions (tromper vos lecteurs avec des ersatz).

[leon1789]

C'est assez prétentieux (vous vous considérez comme plus intelligent de 99% des mathématiciens)

Vous délirez totalement... Pour vous, écrire des preuves comprises et acceptées par 99% des matheux (*), c'est se croire plus intelligents qu'eux ?! C'est la logique formelle qui vous inspire ce genre de réflexion ?



(*) parce oui, 99% des matheux admettent sans aucun problème que "tout rationnel est différent de " équivaut à " est non rationnel"...
Et pourquoi le refusez-vous depuis le début ? ...sous le (faux) prétexte que je refuse le tiers exclus. Vous ai-je dis que je refuse le tiers exclus ? Non, mais vous l'avez pensez formellement par habitude dès qu'on vous parle d'éviter un raisonnement par l'absurde... Je vous demande donc de sortir un moment de votre casque de logicien pour essayer de comprendre ce que je voulais signifier (je ne me serais pas permis de poster si cela était aussi ridicule que vous l'avez considéré péremptoirement depuis le début)