Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

[leon1789]

si Q est prouvé alors non(Q) => faux
si Q => faux alors non(Q) est prouvé
si Q est indécidable et non(Q) décidable alors non(Q) =>faux

Tu es d'accord ?
-----

[invite6754323456711]

C'est comme cela que je le comprends. Ou comme une règle de démonstration. Quelque chose qui permet de passer d'un énoncé à un autre dans la séquence d'une démonstration.

J'ai trouvé sur le NET une démonstration (logique classique) en déduction naturelle de :

Reductio Ad Absurdum entraine Tertium Non Datur
Tertium Non Datur entraine Loi de Pierce
Loi de Pierce entraine Reductio Ad Absurdum

Cela permet de bien comprendre le tiers exclu comme une règle de démonstration : tnt/(A ou non A)


Patrick
http://www.labri.fr/perso/retore/LL/pierce-tnd-raa.pdf

[invité576543]

(...)

Je viens de proposer indépendamment la loi de Pierce sur l'autre fil...

Cordialement,

[invite6754323456711]

si Q est prouvé alors non(Q) => faux
si Q => faux alors non(Q) est prouvé
si Q est indécidable et non(Q) décidable alors non(Q) =>faux

Tu es d'accord ?

Une approche philosophique : http://www.jutier.net/contenu/kgodel.htm


Gödel a démontré en 1931 deux résultats mathématiques :
=> Il se peut que dans certains cas, on puisse démontrer une chose et son contraire (inconsistance).
=> Il existe des vérités mathématiques qu'il est impossible de démontrer (incomplétude).

Les conséquences du théorème

Les deux théorèmes de 1931 de Gödel sur l'inconsistance et l'incomplétude de l'arihtmétique du premier ordre ont eu des répercussions importantes sur la pensée philiosophique moderne.

La première conséquence de ces théorèmes est que la Vérité ne peut pas être exprimée en terme de démonstrabilité. Une chose prouvable n'est pas nécéssairement vraie et une chose vraie n'est pas toujours prouvable. Beaucoup de philisophes ont pensé le contraire et ont essayé de définir la vérité comme étant égale aux choses démontrables. De manière générale, dans quasiment toutes les entreprises intellectuelles conséquentes, on peut exprimer des arguments mathématiques simples et on risque donc de rentrer dans le cadre du théorème de Gödel. Je peux ainsi prétendre des choses fausses sans qu'on ne puisse démontrer le contraire.

De la même manière, je peux prétendre des choses vraies sans pouvoir me justifier par une démonstration De la même manière que l'ensemble des vérités est plus important que l'ensemble de ce qui est démontrable, la réalité est plus importante que l'ensemble des connaissances possibles. Contrairement aux enseignements de nombreux philosophes, être raisonné n'est pas simplement une question de règles. La raison est créative et originale. Pour trouver des vérités dans un système donné, il faut pouvoir s'en extraire et pour cela il faut une raison qui soit capable non pas de simplement rajouter des axiomes à un système mais d'en créer un nouveau dans lequel l'ancienne vérité indémontrable deviendra au contraire tout à fait démontrable.

Patrick

[leon1789]

Une approche philosophique : http://www.jutier.net/contenu/kgodel.htm

merci bien

[invité576543]

Pour revenir sur le diverticule "esthétique du raisonnement par l'absurde" (en mathématiques classique) que pense Léon de la réponse donnée dans

http://www.irem.uhp-nancy.fr/Lomb/absurde.pdf


Cordialement,

[leon1789]

Pour revenir sur le diverticule "esthétique du raisonnement par l'absurde" (en mathématiques classique) que pense Léon de la réponse donnée dans

http://www.irem.uhp-nancy.fr/Lomb/absurde.pdf


Cordialement,

oui, je connais ce document : j'aime bien ses distinctions
[A => B]
[non B => non A]
[A => non C] + [non B => C]
[A et non B] => [C et non C]

Mais je trouve qu'il minimalise l'intérêt de minorer le nombres de négations (dans les énoncés et dans les preuves), surtout pour ceux qui rédigent les énoncés... Un intérêt majeur est peut-être de faire apparaitre certains points clés plus "universels".

[invité576543]

Perso, j'aime bien le "vrai absurde", "(non B => B) => B"...

@leon1789

Mais en posant la question je pensais surtout au passage où il est dit qu'il y a déjà suffisant de difficulté à faire rédiger par les élèves des preuves quelles qu'elles soient pour éviter de rajouter des critères "esthétiques" privilégiant tel ou tel type de démonstration! Cela me semble aller à l'inverse de tes thèses, non?

Cordialement,

[leon1789]

Perso, j'aime bien le "vrai absurde", "(non B => B) => B"...

Et dans le (non B => B), on ne peut pas extraire du texte une preuve de B ?

(je ne cherche pas à dire (B => B) et (non B => B) => (vrai => B) )

Mais en posant la question je pensais surtout au passage où il est dit qu'il y a déjà suffisant de difficulté à faire rédiger par les élèves des preuves quelles qu'elles soient pour éviter de rajouter des critères "esthétiques" privilégiant tel ou tel type de démonstration! Cela me semble aller à l'inverse de tes thèses, non?

Tout à fait. Je suis d'accord. Triturer une preuve par l'absurde pour la présenter comme-ci comme-ça demande effectivement un effort...
Mais très souvent, une preuve (A et non B) => faux se scinde assez clairement en A => X et non B => Y où X et Y sont incompatibles.
C'est un premier effort de "synthèse" dans lequel, normalement, n'apparaissent que des choses expérimentables concrètement.

Je crois assez fort en la vertu de l'expérimentation, de l'illustration sur des exemples.

[leon1789]

Non rationnel est intrinsèquement négatif, puisqu'on peut travailler dans Q sans s'occuper de R. On dit simplement que x²-2 n'a pas de racine, ou n'est pas réductible, etc. Et je ne vois pas comment on peut écrire cela positivement.

A mon avis, il y a ici une erreur de jugement (ou bien j'ai mal compris)

On parle de " non rationnel" et de "x²-2 irréductible dans Q[X]"

La seconde est une phrase positive qui vit sur Q (dans Q[X]) : comment montrer que x²-2 est irréductible ? en posant x²-2 = FG et en prouvant qu'il y a une constante parmi F ou G !

La première proposition (négative effectivement) ne se passe pas dans Q ! Pour considérer l'élément , il faut obligatoirement quitter Q pour un sur-corps...
De plus, on peut décaler le problème pour le rendre positif ! En effet, démontrer que, pour tout p/q rationnel, on a est quelque chose de positif et d'évidemment plus fort que le pauvre .

Enfin démontrer non() en utilisant : ça se fait de manière "assez naturelle" ! ...et sans tiers exclus !!
Faisons un tout petit peu de logique puisqu 'il le faut : => il existe p/q tel que => => faux.

Et je ne vois pas comment on peut écrire cela positivement.

Est-ce que vous voyez ce que je veux dire maintenant ?

[invité576543]

(...)

J'aurais dû être plus clair.

1) En jouant sur le langage naturel, comme entre réductible et irréductible, on peut toujours ou presque remplacer une phrase négative par une phrase positive. Cela n'a pas grand intérêt mathématique.

2) Mathématiquement, il faut, j'imagine, passer par les hiérarchies citées par Médiat pour obtenir une définition rigoureuse d'un classement entre "positif" et "négatif".

3) Sans aller jusqu'aux hiérarchies, on peut voir qu'il y une différence entre les énoncés existentiels, qui parle de l'existence de quelque chose (), et les énoncés niant l'existence de quelque chose ().

Si on prend rac(2) sous cet angle, c'est bien de la non existence d'un élément dont on parle. On peut tourner cela dans le langage naturel en disant que c'est l'existence d'une absence, mais est-ce autre chose que jouer sur les mots?

Cordialement,

[invite6754323456711]

3) ... et les énoncés niant l'existence de quelque chose ().

Peut on dire ce qui n'est pas ?


Patrick

[leon1789]

(...)
Si on prend rac(2) sous cet angle, c'est bien de la non existence d'un élément dont on parle. On peut tourner cela dans le langage naturel en disant que c'est l'existence d'une absence, mais est-ce autre chose que jouer sur les mots?

Non existence de quel élément ?! Si on part de l'hypothèse "rac(2) est rationnel" pour réaliser un raisonnement par l'absurde, alors rac(2) existe et "être rationnel" est défini.

Si c'est "Non appartenance" ok, on est d'accord.

Admettre (sachant que cette situation ne pourra jamais être satisfaisante dans la réalité) pour démontrer une contradiction, et étudier la différence pour un rationnel p/q quelconque, est-ce jouer sur les mots ? Je ne pense pas car cela n'induit pas le même genre de preuve et de résultat. Je me trompe ?



En ce qui concerne x²-2, les deux styles de preuve suivants sont assez différents pour moi (peut-être en avez-vous une autre à proposer) :
-1- Montrer que x²-2 n'a pas de racine dans Q : (p/q)²-2 = 0 => C => D => faux
-2- Montrer que x²-2 est irréductible : x²-2 = fg => A => B => f ou g inversible

Ces deux preuves sont logiquement correctes (ne revenons plus là-dessus).

Seulement, dans -1-, on voit clairement que toutes les propositions x²-2 = fg, A, B sont fausses puisqu'elles impliquent le faux. Elles ne peuvent donc jamais arriver et on vient de travailler sur des propositions irréalisables. Est-ce que cela peut-être satisfaisant ?
(De loin, c'est un peu comme considérer des éléments du vide...)

Dans le -2-, toutes les propositions sont justes dès lors qu'on est en situation x²-2 = fg (et ça peut arriver de temps à autres). Où est l'absence de quoi ?

Formellement, on pourrait dire que le vrai et le faux sont de même nature, donc il n'y a pas lieu de faire une différence. Mais le formel n'est pas la réalité ! En maths, je crois, on aime bien formuler des choses vraies, et un peu le faux. Mais bon, on pourrait dire qu'on passe de l'un à l'autre sans problème (par le tiers exclus si on veut).

Seulement la réalité est plus nuancée et nous le savons tous (sans aller faire du formalisme à outrance) ! Je m'explique : un raisonnement (direct ou par l'absurde) est
-a- rarement linéaire A => B => C => D,
-b- mais bcp plus souvent ramifié A => B , puis A => C et enfin B+C => D

Dans ces raisonnements, si A est réalisé alors B, C et D le sont aussi.

En revanche, dans un raisonnement par l'absurde suivant le schéma -b- , on a D = faux , et donc A faux aussi ok. Mais que peut-on dire de B et C ? Rien ! Ainsi, non seulement on a travaillé en partant d'une hypothèse qui ne sera jamais réalisée, mais en plus on ne connait même la valeur des propositions qui nous sont passées entre les mains. C'est quand même dommage, non ? Est-ce jouer sur les mots ?

[invité576543]

Non existence de quel élément ?!

Dans l'approche "limitée" (celle qui semble normale!), à savoir travailler dans Q et pas dans R. C'est alors

Si on part de l'hypothèse "rac(2) est rationnel" pour réaliser un raisonnement par l'absurde, alors rac(2) existe et "être rationnel" est défini.

Cela s'écrit encore en existentiel, à savoir

Cordialement,

[leon1789]

Ce n'est pas la vérité de A ou B qui importe mais bien A ==> B

Question :
à quoi sert le théorème [ A ==> B ] lorsqu'on sait qu'on ne pourra jamais être dans une situation pour l'appliquer ? (si A est faux)

[invité576543]

Question :
à quoi sert le théorème [ A ==> B ] lorsqu'on sait qu'on ne pourra jamais être dans une situation pour l'appliquer ? (si A est faux)

Quel rapport avec les maths? Depuis quand se soucie-t-on en mathématiques de savoir si un théorème va servir ou non?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Question :
à quoi sert le théorème [ A ==> B ] lorsqu'on sait qu'on ne pourra jamais être dans une situation pour l'appliquer ? (si A est faux)

Au travers de ce fil j'ai compris la nuance entre vérité et prouvabilité :

rien ne nous dit que vérité et prouvabilité coïncident, et alors « Je ne suis pas prouvable » ne veut plus dire « Je ne suis pas vrai ».

On peut prendre pour proposition vraie, mais non prouvable. Arithmétique de Peano AP : «Si AP est cohérente, elle ne prouve pas sa propre cohérence » extrait de "http://www.canal-u.tv/canalu/content/view/full/103373#_ftnref1"

Il faut approfondir les théorèmes d'incomplétude de Gödel

Patrick

[invite7863222222222]

Dans l'approche "limitée" (celle qui semble normale!)

Travailler dans IR peut aussi sembler normal d'un certain point de vue aussi (puisque rac(2) appartient à IR et pas à Q et aussi peut-être qu'il vaut mieux se placer dans le plus grand ensemble).

Je suis curieux de savoir s'il existe une preuve directe de l'irrationnalité de 2 en utilisant des résultats sur IR.

[invite6754323456711]

Il faut approfondir les théorèmes d'incomplétude de Gödel

C'est bien sur Les théorèmes de Gödel : http://www.canalu.tv/themes__1/scien...in_d_un_espoir

Patrick

[leon1789]

à quoi sert le théorème [ A ==> B ] lorsqu'on sait qu'on ne pourra jamais être dans une situation pour l'appliquer ? (si A est faux)

Quel rapport avec les maths? Depuis quand se soucie-t-on en mathématiques de savoir si un théorème va servir ou non?

Dans aucun de mes livres je n'ai jamais vu un théorème disant [A ==> B] lorsque A est connu pour être faux ! Vous si ? Quel théorème connaissez-vous de ce genre ? (...un théorème de logique formelle peut-être...)

[invité576543]

Travailler dans IR peut aussi sembler normal

C'est un point de vue. Personnellement, quand on parle d'une propriété de Q, je préfère, quand elles existent, les démonstrations qui ne font pas appel à un ensemble "plus grand" : le risque est alors grand d'utiliser des propriétés plus fortes que ce que l'on veut démontrer. Au mieux, un marteau-pilon pour écraser une mouche, au pire un contre-sens (pour ne pas dire une escroquerie) du genre utiliser comme acquis un résultat dont la démonstration est une "sur-démonstration" de ce que l'on cherche à démontrer.

Dans le cas présent, c'est encore pire, parce que l'équation diophantienne p²-2q²=0 peut être traitée en finitiste, sans même l'axiome de l'infini.

Cordialement,

[leon1789]

Au travers de ce fil j'ai compris la nuance entre vérité et prouvabilité :

rien ne nous dit que vérité et prouvabilité coïncident, et alors « Je ne suis pas prouvable » ne veut plus dire « Je ne suis pas vrai ».

On peut prendre pour proposition vraie, mais non prouvable. Arithmétique de Peano AP : «Si AP est cohérente, elle ne prouve pas sa propre cohérence » extrait de "http://www.canal-u.tv/canalu/content/view/full/103373#_ftnref1"

Il faut approfondir les théorèmes d'incomplétude de Gödel

Patrick

Je suis d'accord avec vous, mais je ne vois pas le rapport avec ma question qui était : à quoi sert le théorème [A ==> B] si on sait que A est faux ?

[leon1789]

Je suis curieux de savoir s'il existe une preuve directe de l'irrationnalité de 2 en utilisant des résultats sur IR.

Qu'appelez-vous "preuve directe" ?

" => ... => p²=2q²... => faux"

est-ce directe pour vous ?

si , alors

Comme , on a impair ( est la valuation en 2) et par ailleurs pair. Un nombre impair n'est pas égal à un nombre pair, donc , donc , donc , donc (et ), donc (et ).

est-ce directe pour vous ?

[invité576543]

Dans aucun de mes livres je n'ai jamais vu un théorème disant [A ==> B] lorsque A est connu pour être faux !

C'est une propriété élémentaire de l'implication, mentionnée, ne serait-ce que par la table de vérité, dans toute présentation de l'implication.

Cordialement,

[leon1789]

Dans le cas présent, c'est encore pire, parce que l'équation diophantienne p²-2q²=0 peut être traitée en finitiste, sans même l'axiome de l'infini.

oui.

Et par exemple, pourquoi ne pas énoncer le théorème [p²-2q²=0 => p=q=0] qui est caché quand la preuve par l'absurde classique [(p/q)² = 2 => p²-2q²=0 ...etc... ] ?

[leon1789]

C'est une propriété élémentaire de l'implication, mentionnée, ne serait-ce que par la table de vérité, dans toute présentation de l'implication.

Cordialement,

Faux ==> Faux
Faux ==> Vrai

Deux grands théorèmes qui démontrent qu'il est inutile d'écrire d'autres théorèmes [A ==> B] où A est faux car ces éventuels théorèmes sont triviaux !

Alors pour répondre à votre question "depuis quand se soucie-t-on ....? " : oui, quand on fait des maths, on essaie de dire des choses non triviales (sinon, les bouquins seraient remplis de théorème du type [faux => ...]), et on s'en soucie.

[invité576543]

(sinon, les bouquins seraient remplis de théorème du type [faux => ...]), et on s'en soucie.

Cela fait pas mal dériver le sujet, mais des articles qui exposent des trivialités, cela se trouve.

Cela dérive du sujet, parce que tu cherches à discuter "utilité", "servir à quelque chose", ou même critères sociaux pour écrire ou non des bouquins.

Cela a sa place dans le forum "Epistémologie" ou "Débat" scientifiques", mais pas dans un fil dans "mathématiques du supérieur" censé parler de démonstration par l'absurde.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Je suis d'accord avec vous, mais je ne vois pas le rapport avec ma question qui était : à quoi sert le théorème [A ==> B] si on sait que A est faux ?

Pourquoi uniquement que faux ? il peut être vrai ou indécidable. Le raisonnement quant-a lui reste cohérent non ?


Patrick

[invité576543]

Et par exemple, pourquoi ne pas énoncer le théorème [p²-2q²=0 => p=q=0] qui est caché quand la preuve par l'absurde classique [(p/q)² = 2 => p²-2q²=0 ...etc... ] ?

Je pense que nous sommes d'accord sur ce point.

La réponse au "pourquoi" me semble venir de l'histoire, le problème étant usuellement tracé à la géométrie, à la taille du côté d'un carré de surface double d'un autre, ce qui met le contexte dans les réels.

Ma seule conclusion est que cet exemple n'est pas très bon pour discuter de la démonstration par l'absurde. En particulier parce qu'il fait dériver du sujet un peu trop facilement.

Cordialement,

[leon1789]

Cela fait pas mal dériver le sujet, mais des articles qui exposent des trivialités, cela se trouve.

Nous sommes d'accord sur ça, mais c'est une autre histoire effectivement.

Cela dérive du sujet, parce que tu cherches à discuter "utilité", "servir à quelque chose", ou même critères sociaux pour écrire ou non des bouquins.

Je pourrais aller plus loin en disant que le type de raisonnement auquel on s'adonne développe indirectement les outils mathématiques qui lui sont adaptés. D'où une importance mathématique du choix de faire tel ou tel genre de raisonnement.
(Ce que je dis est très clair quand on compare les maths classiques et les maths constructives)

Mais bon, ça dérive trop, soit !