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Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe



  1. #121
    ericcc

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe


    ------

    Si on parle de la preuve classique d'Euclide, elle ne construit pas explicitement le nombre premier en question, elle démontre son existence. Et dans ce cas le raisonnement se comprend, car on a besoin de l'hypothèse d'un nombre fini de premiers pour en prendre le produit...

    -----

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  3. #122
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Si on parle de la preuve classique d'Euclide, elle ne construit pas explicitement le nombre premier en question, elle démontre son existence. Et dans ce cas le raisonnement se comprend, car on a besoin de l'hypothèse d'un nombre fini de premiers pour en prendre le produit...
    Prenez le plus petit diviseur >1 de : c'est un nombre premier > n. N'est-ce pas suffisamment explicite ?

  4. #123
    ericcc

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Ce n'est pas la preuve classique d'Euclide :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...mbres_premiers

  5. #124
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Ce n'est pas la preuve classique d'Euclide :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...mbres_premiers
    ah ok, merci.

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Si on parle de la preuve classique d'Euclide, elle ne construit pas explicitement le nombre premier en question, elle démontre son existence. Et dans ce cas le raisonnement se comprend, car on a besoin de l'hypothèse d'un nombre fini de premiers pour en prendre le produit...
    Je ne vois pas de preuve "communément dite" par l'absurde : on connait des nombres premiers p_1 , ...., p_n .
    Alors le plus petit diviseur >1 de est un nombre premier non listé parmi les p_i
    Le principe de récurrence permet de conclure.

    On peut expliciter la suite ainsi créée en partant de la connaissance d'aucun premier : 2,3,7,43,...

  6. #125
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Prenez le plus petit diviseur >1 de : c'est un nombre premier > n. N'est-ce pas suffisamment explicite ?
    C'est faux. Il n'est pas nécessairement premier, exemple 25.

    Cordialement,

  7. #126
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    A part cela, mon propos n'était pas de proposer un cas qu'on ne peut pas remplacer par une "démonstration directe", mais juste, pour commencer, un cas où tout le monde pourrait s'accorder que le terme "raisonnement par l'absurde" y est applicable. Ceci pour pallier au fait que l'exemple d'origine n'a pas été consensuellement reconnu comme un raisonnement par l'absurde.

    Cordialement,

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  9. #127
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Le principe de récurrence permet de conclure.
    Pas clair comment le principe permet de conclure.

    La preuve est la construction d'une suite infinie pi construite comme p0=2, et pour i>0, pi est le plus petit diviseur premier de . (La "preuve" de l'existence de la suite demande peut-être l'application de la récurrence?)

    Ensuite, par construction , donc l'ensemble des {pi} pour i de 0 à n+1 ne peut pas être inclus dans {0..n}.

    Mais le point clé est "Par construction ". Comment le démontrer? Par l'absurde , par récurrence? Autrement?

    Cordialement,

  10. #128
    Médiat

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    ah ah ah !....
    J'ai du mal à comprendre votre message, pouvez-vous être plus explicite ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #129
    Médiat

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    A l'intérieur de la preuve, on donne le moyen de construire un nombre premier satisfaisant au problème posé.
    Comme j' l'ai déjà dit au début de ce fil, faire des mathématiques intuitionnistes n'a rien de déshonorant, or après avoir contesté le tiers exclu, vous voulez des preuves constructives : assumer votre intuitionisme et n'en parlons plus, ou plutôt, parlons dans un vrai débat, pas avec des arguments du genre "on écrit quelque chose de faux" quand ce n'est d'ailleurs pas le cas..
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #130
    Médiat

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    oui bien sûr toute assertion peut être transformée en sa négation et montrer P ou non(non(P)) c'est pareil.
    leon1789 se révélant être un intuitioniste qui n'a pas fait son coming out (), ce n'est effectivement pas pareil

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    Mais dans les trois exemples en question, il y a quelque-chose de plus profond: non-dénombrable non-fini ou non-rationnel, ce sont des propriétés négatives.
    Personnellement je ne placerais pas la question sous l'axe "proposition négative ou non", par exemple je ne vois pas la différence conceptuelle du point de vue de la logique entre (x < y) et (y >= x) ; par contre là où l'on peut classifier les propositions c'est en fonction du nombre d'alternances des quantificateurs (les hiérarchies et dont j'ai déjà parlé, et comme la négation d'une proposition est justement une proposition (et vice-versa), il y a malgré tout un lien avec la négation (pour info certains théorèmes ne concernent que les propositions et d'autres que les ).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #131
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    C'est faux. Il n'est pas nécessairement premier, exemple 25.

    Cordialement,
    ??? n=25 donne p=401

  14. #132
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    ??? n=25 donne p=401
    4! + 1 = 25

    Cordialement,

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  16. #133
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Pas clair comment le principe permet de conclure.

    La preuve est la construction d'une suite infinie pi construite comme p0=2, et pour i>0, pi est le plus petit diviseur premier de . (La "preuve" de l'existence de la suite demande peut-être l'application de la récurrence?)

    Ensuite, par construction , donc l'ensemble des {pi} pour i de 0 à n+1 ne peut pas être inclus dans {0..n}.

    Mais le point clé est "Par construction ". Comment le démontrer? Par l'absurde , par récurrence? Autrement?

    Cordialement,
    Hypothèse de récurrence :
    H_n = << on connait n nombres premiers différents >>

    H_0 : vrai, je ne connais pas de nombre premier !

    H_n supposée : on connait n nombres premiers différents Soit d le plus petit diviseur > 1 de .

    - Alors d est premier : en effet, si e>1 divise d alors et de plus e divise , donc par définition de d. Donc e=d , ce qui montre d premier.

    - Et d est différent de : en effet, d est inversible modulo donc
    (ok, ça ne conviendra peut-être pas en logique formelle, mais encore une fois, je ne me place pas trop à ce niveau)

    - H_(n+1) prouvée

  17. #134
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    4! + 1 = 25

    Cordialement,
    heu on prend le plus petit diviseur >1 de 25 qui est 5

  18. #135
    Médiat

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    H_0 : vrai, je ne connais pas de nombre premier !

    H_n supposée : on connait n nombres premiers différents Soit d le plus petit diviseur > 1 de .
    Démonstration fautive !
    Si n = 0 la proposition devient :
    On connait 0 nombres premiers différents ; Soit d le plus petit diviseur > 1 de 1
    Pas de chance d n'existe pas, et cette démonstration ne permet pas de passer de H0 à H1, fin de la récurrence.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #136
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    heu on prend le plus petit diviseur >1 de 25 qui est 5
    Faudrait peut-être lire les réponses dans leur contexte... Ma réponse répondait au message de 17h43, rien d'autre.

    Cordialement,

  20. #137
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Faudrait peut-être lire les réponses dans leur contexte... Ma réponse répondait au message de 17h43, rien d'autre.

    Cordialement,
    Pas de problème

  21. #138
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Une petite précision : un produit indexé sur l'ensemble vide vaut 1 ! C'est classique.
    Si bien que

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  23. #139
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Faudrait peut-être lire les réponses dans leur contexte... Ma réponse répondait au message de 17h43, rien d'autre.

    Cordialement,
    ok, mais vous vouliez dire quoi en fait ? Tout est ok ou pas ?

  24. #140
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Pour reprendre correctement le fil, je répète que l'exemple des nombres premiers n'était pas censé être un exemple de démontration par l'absurde non remplaçable par une démonstration directe, mais juste de candidat à un bona fide raisonnement par l'absurde.

    Donc montrer une démo alternative est à la fois hors sujet et un enfoncement de porte ouverte.

    La question reste, la démo d'Euclide est-elle acceptable comme raisonnement par l'absurde?

    Cordialement,

  25. #141
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Pour reprendre correctement le fil, je répète que l'exemple des nombres premiers n'était pas censé être un exemple de démontration par l'absurde non remplaçable par une démonstration directe, mais juste de candidat à un bona fide raisonnement par l'absurde.

    Donc montrer une démo alternative est à la fois hors sujet et un enfoncement de porte ouverte.
    Un raisonnement par l'absurde contenant une preuve directe, est-il intéressant ? est-il un bon exemple ? ... enfin, c'est au moins un exemple théorique.

    Hors sujet ? Hors de votre sujet, pas du sujet général "Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe"

    Porte ouverte ? quand on voit certaines réactions, je trouve plutôt que les portes sont très "refermées" ...

  26. #142
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Le sujet est défini par le message numéro 1, et ce n'est pas "le mien".

    Je répète que mon intention avec cet exemple n'était pas de proposer un exemple de raisonnement par l'absurde qui ne puisse pas être remplacé par un raisonnement direct.

    Mais, pour pouvoir proposer un tel exemple, il faut, manifestement, clarifier ce qu'on entend par "raisonnement par l'absurde". C'est à cette étape préalable au sujet à laquelle j'essayais d'apporter une pierre constructive.

    Si ce préalable est clair, l'étape suivante, du moins pour ceux qui cherchent à intervenir constructivement, est soit de présenter un exemple de bona fide raisonnement par l'absurde et non remplaçable par un raisonnement direct; soit d'expliquer pourquoi on ne peut pas trouver de tel exemple.

    Cordialement,

  27. #143
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    J'ai du mal à comprendre votre message, pouvez-vous être plus explicite ?
    Cher Médiat

    Je tiens à vous (re)dire que je ne suis pas intuitionniste (étant donné que j'accepte le tiers exclus sans problème, comme je l'ai déjà dis). Mais cela n'a aucune importance : libre à vous de croire le contraire si cela vous rassure.


    Par ailleurs, j'espère que vous avez apprécié le petit rappel du message #138 vous disant pourquoi (en produisant d'ailleurs le premier nombre premier 2). Mathématiquement, il n'y a aucun problème !...


    Enfin, et c'est le plus important à mes yeux (je crois que tout le monde l'aura compris sauf vous et God's Breath peut-être), je CROIS par expérience qu'une preuve ne doit pas restée uniquement formelle, elle ne doit pas être considérée comme uniquement une suite de "donc" (justifiés bien sûr !) intercalés entre quelques assertions quelconques auxquelles on n'accorde aucune "valeur".

    Grosso-modo, une preuve communément rédigée est constituée de "donc", mais aussi de "petites assertions" entre les "donc" !!! Si vous, vous n'accordez uniquement de l'importance aux "donc" dans votre logique formelle, personnellement je regarde une preuve avec mes deux yeux et j'accorde de l'importance aux "donc" et aux "petites phrases". Dans (2=1) => (1=0) , je vois à la fois le => , mais aussi (2=1) et (1=0). Autant le => justifié ne me pose pas de problème, autant (1=0) et par suite le (2=1) me paraissent fausses, et donc inappropriés à une bonne compréhension du problème.

    Ainsi (encore une fois !), je suis contre les raisonnements communément appelé "par l'absurde" non pas à cause du refus du tiers exclus, mais à cause des "petites phrases" qui sont intercalées. J'ai essayé de vous expliquer sans succès pourquoi, en parlant de pédagogie, de vérification, d'illustration, d'expérimentation, de pratiquer les maths à bas et haut niveau... Résultat : une tonne d'insultes ! Et après vous vous permettez d'écrire ceci :

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si la discussion avait porté sur "Le raisonnement par l'absurde est plus compliqué à comprendre, à enseigner et moins intuitif" je ne serais pas intervenu, puisqu'il s'agirait d'une opinion que l'on peut partager ou non, mais qui est tout à fait légitime.
    Comme dit God's Breath :
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    c'est à en mourir de rire.

    Maintenant, je crois qu'il faudrait quand même répondre à la question de Michel

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je répète que mon intention avec cet exemple n'était pas de proposer un exemple de raisonnement par l'absurde qui ne puisse pas être remplacé par un raisonnement direct.

    Mais, pour pouvoir proposer un tel exemple, il faut, manifestement, clarifier ce qu'on entend par "raisonnement par l'absurde". C'est à cette étape préalable au sujet à laquelle j'essayais d'apporter une pierre constructive.

    Si ce préalable est clair, l'étape suivante, du moins pour ceux qui cherchent à intervenir constructivement, est soit de présenter un exemple de bona fide raisonnement par l'absurde et non remplaçable par un raisonnement direct; soit d'expliquer pourquoi on ne peut pas trouver de tel exemple.

    Cordialement,
    Dernière modification par leon1789 ; 29/01/2009 à 08h24.

  28. #144
    Médiat

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    je crois que tout le monde l'aura compris sauf vous
    Etant visiblement trop con pour vous et cette conversation, je vous abandonne à vos fariboles.

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Et après vous vous permettez d'écrire ceci
    Mais cette fois c'est vous qui n'avez rien compris

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    J'ai essayé de vous expliquer sans succès pourquoi, en parlant de pédagogie, de vérification, d'illustration, d'expérimentation, de pratiquer les maths à bas et haut niveau...
    Mais aussi en disant que l'on écrit des choses fausses, ce qui est .... faux

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Résultat : une tonne d'insultes
    Ah bon
    Dernière modification par Médiat ; 29/01/2009 à 09h01.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. Publicité
  30. #145
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message

    Dans (2=1) => (1=0)
    il y a pourtant une cohérence logique dans l'enchaînement des formules en preuves de cette implication.

    Maintenant n'existe t'il pas des situations dans laquelle l'implication en logique classique peut entrainer du sophisme ?

    par exemple Plus il y a d'emmental, plus il y a de trous.

    Plus il y a de trous, moins il y a d'emmental.
    Donc plus il y a d'emmental, moins il y a d'emmental.


    A est vrai, B est vrai mais totalement indépendant.

    Pourtant l'implication A ==> B est vrai (bien qu'il n'y ai aucun lien qui les unit).


    Patrick

  31. #146
    skydancer

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Bonjour à tous,

    Je me permet de m'immisser dans la conversation que je trouve(ais) assez intéressante. Je vous propose de discuter ensemble de ce cours texte que met à plat rapidement les bases du raisonnement par l'absurde :

    http://people.math.jussieu.fr/~alp/philomatique.pdf

    cela permetrra de relancer la discussion sur une base commune, dans l'hypothèse ou ce texte est de qualité...

  32. #147
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Merci pour ce lien.

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    Bonjour à tous,

    Je me permet de m'immisser dans la conversation que je trouve(ais) assez intéressante. Je vous propose de discuter ensemble de ce cours texte que met à plat rapidement les bases du raisonnement par l'absurde :

    http://people.math.jussieu.fr/~alp/philomatique.pdf

    cela permettra de relancer la discussion sur une base commune, dans l'hypothèse ou ce texte est de qualité...
    De ce document, je me permets de copier quelques lignes qui ont été abordées ici même.

    Le problème qui était soulevé "Mais est-ce un raisonnement par l'absurde ou pas ? Je croyais que oui, mais vous dîtes que non !" vient de cet état de fait :
    • D´emontrer ¬E en supposant E puis en d´emontrant le faux,
    • D´emontrer E en supposant ¬E puis en d´emontrant le faux.
    (...)
    Il s’agit donc de deux choses diff´erentes, qu’on appelle pourtant le plus souvent toutes deux “raisonnement par l’absurde”.
    Mais l'auteur précise :
    • R´eduction `a l’absurde (constructif) : D´emontrer ¬E en supposant E puis en d´emontrant le faux,
    • D´etour par l’absurde (non constructif) : D´emontrer E en supposant ¬E puis en d´emontrant le faux.
    La première correspond à la "définition" de (non E), la seconde est bien le "principe" ( non E => faux) => E


    Autre passage auquel je suis sensible, bien que je n'aime pas trop le mot "algorithme" :
    La preuve d’une n´egation [de E] est donc un algorithme inex´ecutable. L’int´erˆet d’´ecrire un tel algorithme est seulement de s’assurer qu’aucune donn´ee de type E ne sera jamais exhib´ee.
    Et c'est là où je pose la question pour laquelle je suis intervenu :
    est-ce qu'avoir uniquement la preuve l'assurance qu’aucune donn´ee de type E ne sera jamais exhib´ee est suffisant ?
    Ou plus brutalement, est-ce que retenir pour "résultat définitif" une preuve supposant E (ou non E, a fortiori) est démontrant le faux est satisfaisant ?

  33. #148
    skydancer

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    A priori, la "réduction à l'absurde" est parfaitement valide, et ceci pour tout les mathématiciens, intuitioniste ou non ; puisqu'elle ne nécessite pas d'utiliser le principe du tiers exclu.

    Le problème se situe bien dans l'utilisation du "détour par l'absurde". Certain mathématiciens refuse cette façon de faire puisque cette méthode nécessite d'utiliser le principe du tiers exclu comme un axiome supplémentaire. A noter que ce principe pose problème uniquement pour les raisonnements concernant les ensembles infinis.

    comme le dit l'auteur :

    "Dés lors, on a le choix entre :
    • abandonner le tiers exclu, et faire des matématiques constructives,
    • abandonner les ensembles infinis, et faire des matématiques finitistes,
    • abandonner les exigences constructivistes, et faire des mathématiques classiques."

  34. #149
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    A priori, la "réduction à l'absurde" est parfaitement valide, et ceci pour tout les mathématiciens, intuitioniste ou non ; puisqu'elle ne nécessite pas d'utiliser le principe du tiers exclu.

    Le problème se situe bien dans l'utilisation du "détour par l'absurde". Certain mathématiciens refuse cette façon de faire puisque cette méthode nécessite d'utiliser le principe du tiers exclu comme un axiome supplémentaire.
    Oui, ceci est très clair. C'est une discussion au niveau axiomatique.

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    A noter que ce principe pose problème uniquement pour les raisonnements concernant les ensembles infinis.
    Oui, voilà encore un exemple où (non non P) => P est prouvé sans utiliser l'axiome du tiers exclus (lorsque P porte sur des ensembles finis... "énumérables" précisément je crois, mais là je m'avance un peu trop peut-être).

    Mais cela ne répond pas vraiment à la question que je pose. Je vais la tourner autrement. Pourquoi certaines (bcp ?) personnes, comme ericcc, essaient toujours de trouver des démonstrations communément dites "directes", préférant celles-ci aux démonstrations communément dites "par l'absurde" (englobant les deux types bien définis au niveau logique, par réduction et détour par l'absurde) ?

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    En tous cas j'ai toujours essayé de trouver des démonstrations directes - quand je le pouvais...

  35. #150
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Oui, ceci est très clair. (...)
    Le lien donné par Skydancer est très clair, oui.

    La réécriture que tu propose l'est beaucoup moins. Je ne vais pas entrer dans les détails, l'expérience montre que cela ne sert à rien.

    Mais je pense qu'il vaut mieux lire le papier que ce que tu en dis.

    Cordialement,

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