Si on parle de la preuve classique d'Euclide, elle ne construit pas explicitement le nombre premier en question, elle démontre son existence. Et dans ce cas le raisonnement se comprend, car on a besoin de l'hypothèse d'un nombre fini de premiers pour en prendre le produit...
Prenez le plus petit diviseur >1 deEnvoyé par ericcc
: c'est un nombre premier > n. N'est-ce pas suffisamment explicite ?
Ce n'est pas la preuve classique d'Euclide :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...mbres_premiers
ah ok, merci.
Je ne vois pas de preuve "communément dite" par l'absurde : on connait des nombres premiers p_1 , ...., p_n .
Alors le plus petit diviseur >1 de
Le principe de récurrence permet de conclure.
On peut expliciter la suite ainsi créée en partant de la connaissance d'aucun premier : 2,3,7,43,...
C'est faux. Il n'est pas nécessairement premier, exemple 25.Prenez le plus petit diviseur >1 de
Cordialement,
A part cela, mon propos n'était pas de proposer un cas qu'on ne peut pas remplacer par une "démonstration directe", mais juste, pour commencer, un cas où tout le monde pourrait s'accorder que le terme "raisonnement par l'absurde" y est applicable. Ceci pour pallier au fait que l'exemple d'origine n'a pas été consensuellement reconnu comme un raisonnement par l'absurde.
Cordialement,
Pas clair comment le principe permet de conclure.
La preuve est la construction d'une suite infinie pi construite comme p0=2, et pour i>0, pi est le plus petit diviseur premier de
Ensuite, par construction
Mais le point clé est "Par construction, par récurrence? Autrement?
Cordialement,
J'ai du mal à comprendre votre message, pouvez-vous être plus explicite ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Comme j' l'ai déjà dit au début de ce fil, faire des mathématiques intuitionnistes n'a rien de déshonorant, or après avoir contesté le tiers exclu, vous voulez des preuves constructives : assumer votre intuitionisme et n'en parlons plus, ou plutôt, parlons dans un vrai débat, pas avec des arguments du genre "on écrit quelque chose de faux" quand ce n'est d'ailleurs pas le cas..
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
leon1789 se révélant être un intuitioniste qui n'a pas fait son coming out (), ce n'est effectivement pas pareil
Personnellement je ne placerais pas la question sous l'axe "proposition négative ou non", par exemple je ne vois pas la différence conceptuelle du point de vue de la logique entre (x < y) et (y >= x) ; par contre là où l'on peut classifier les propositions c'est en fonction du nombre d'alternances des quantificateurs (les hiérarchies
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
??? n=25 donne p=401
4! + 1 = 25
Cordialement,
Hypothèse de récurrence :
La preuve est la construction d'une suite infinie pi construite comme p0=2, et pour i>0, pi est le plus petit diviseur premier de
Ensuite, par construction
Mais le point clé est "Par construction
Cordialement,
H_n = << on connait n nombres premiers différents
H_0 : vrai, je ne connais pas de nombre premier !
H_n supposée : on connait n nombres premiers différents
- Alors d est premier : en effet, si e>1 divise d alors
- Et d est différent de
(ok, ça ne conviendra peut-être pas en logique formelle, mais encore une fois, je ne me place pas trop à ce niveau)
- H_(n+1) prouvée
heu
Démonstration fautive !H_0 : vrai, je ne connais pas de nombre premier !
H_n supposée : on connait n nombres premiers différents
Si n = 0 la proposition devient :
On connait 0 nombres premiers différents ; Soit d le plus petit diviseur > 1 de 1
Pas de chance d n'existe pas, et cette démonstration ne permet pas de passer de H0 à H1, fin de la récurrence.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Faudrait peut-être lire les réponses dans leur contexte... Ma réponse répondait au message de 17h43, rien d'autre.heu
Cordialement,
Pas de problème
Une petite précision : un produit indexé sur l'ensemble vide vaut 1 ! C'est classique.
Si bien que
ok, mais vous vouliez dire quoi en fait? Tout est ok ou pas ?
Pour reprendre correctement le fil, je répète que l'exemple des nombres premiers n'était pas censé être un exemple de démontration par l'absurde non remplaçable par une démonstration directe, mais juste de candidat à un bona fide raisonnement par l'absurde.
Donc montrer une démo alternative est à la fois hors sujet et un enfoncement de porte ouverte.
La question reste, la démo d'Euclide est-elle acceptable comme raisonnement par l'absurde?
Cordialement,
Un raisonnement par l'absurde contenant une preuve directe, est-il intéressant ? est-il un bon exemple ? ... enfin, c'est au moins un exemple théorique.
Hors sujet ? Hors de votre sujet, pas du sujet général "Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe"
Porte ouverte ? quand on voit certaines réactions, je trouve plutôt que les portes sont très "refermées" ...
Le sujet est défini par le message numéro 1, et ce n'est pas "le mien".
Je répète que mon intention avec cet exemple n'était pas de proposer un exemple de raisonnement par l'absurde qui ne puisse pas être remplacé par un raisonnement direct.
Mais, pour pouvoir proposer un tel exemple, il faut, manifestement, clarifier ce qu'on entend par "raisonnement par l'absurde". C'est à cette étape préalable au sujet à laquelle j'essayais d'apporter une pierre constructive.
Si ce préalable est clair, l'étape suivante, du moins pour ceux qui cherchent à intervenir constructivement, est soit de présenter un exemple de bona fide raisonnement par l'absurde et non remplaçable par un raisonnement direct; soit d'expliquer pourquoi on ne peut pas trouver de tel exemple.
Cordialement,
Cher Médiat
Je tiens à vous (re)dire que je ne suis pas intuitionniste (étant donné que j'accepte le tiers exclus sans problème, comme je l'ai déjà dis). Mais cela n'a aucune importance : libre à vous de croire le contraire si cela vous rassure.
Par ailleurs, j'espère que vous avez apprécié le petit rappel du message #138 vous disant pourquoi
Enfin, et c'est le plus important à mes yeux (je crois que tout le monde l'aura compris sauf vous et God's Breath peut-être), je CROIS par expérience qu'une preuve ne doit pas restée uniquement formelle, elle ne doit pas être considérée comme uniquement une suite de "donc" (justifiés bien sûr !) intercalés entre quelques assertions quelconques auxquelles on n'accorde aucune "valeur".
Grosso-modo, une preuve communément rédigée est constituée de "donc", mais aussi de "petites assertions" entre les "donc" !!! Si vous, vous n'accordez uniquement de l'importance aux "donc" dans votre logique formelle, personnellement je regarde une preuve avec mes deux yeux et j'accorde de l'importance aux "donc" et aux "petites phrases". Dans (2=1) => (1=0) , je vois à la fois le => , mais aussi (2=1) et (1=0). Autant le => justifié ne me pose pas de problème, autant (1=0) et par suite le (2=1) me paraissent fausses, et donc inappropriés à une bonne compréhension du problème.
Ainsi (encore une fois !), je suis contre les raisonnements communément appelé "par l'absurde" non pas à cause du refus du tiers exclus, mais à cause des "petites phrases" qui sont intercalées. J'ai essayé de vous expliquer sans succès pourquoi, en parlant de pédagogie, de vérification, d'illustration, d'expérimentation, de pratiquer les maths à bas et haut niveau... Résultat : une tonne d'insultes ! Et après vous vous permettez d'écrire ceci :
Comme dit God's Breath :
Maintenant, je crois qu'il faudrait quand même répondre à la question de Michel
Dernière modification par leon1789 ; 29/01/2009 à 08h24.
Etant visiblement trop con pour vous et cette conversation, je vous abandonne à vos fariboles.
Mais cette fois c'est vous qui n'avez rien compris
Mais aussi en disant que l'on écrit des choses fausses, ce qui est .... faux
Ah bon
Dernière modification par Médiat ; 29/01/2009 à 09h01.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
il y a pourtant une cohérence logique dans l'enchaînement des formules en preuves de cette implication.
Maintenant n'existe t'il pas des situations dans laquelle l'implication en logique classique peut entrainer du sophisme ?
par exemple Plus il y a d'emmental, plus il y a de trous.
Plus il y a de trous, moins il y a d'emmental.
Donc plus il y a d'emmental, moins il y a d'emmental.
A est vrai, B est vrai mais totalement indépendant.
Pourtant l'implication A ==> B est vrai (bien qu'il n'y ai aucun lien qui les unit).
Patrick
Bonjour à tous,
Je me permet de m'immisser dans la conversation que je trouve(ais) assez intéressante. Je vous propose de discuter ensemble de ce cours texte que met à plat rapidement les bases du raisonnement par l'absurde :
http://people.math.jussieu.fr/~alp/philomatique.pdf
cela permetrra de relancer la discussion sur une base commune, dans l'hypothèse ou ce texte est de qualité...
Merci pour ce lien.
De ce document, je me permets de copier quelques lignes qui ont été abordées ici même.
Le problème qui était soulevé "Mais est-ce un raisonnement par l'absurde ou pas ? Je croyais que oui, mais vous dîtes que non !" vient de cet état de fait :
Mais l'auteur précise :• D´emontrer ¬E en supposant E puis en d´emontrant le faux,
• D´emontrer E en supposant ¬E puis en d´emontrant le faux.
(...)
Il s’agit donc de deux choses diff´erentes, qu’on appelle pourtant le plus souvent toutes deux “raisonnement par l’absurde”.
La première correspond à la "définition" de (non E), la seconde est bien le "principe" ( non E => faux) => E• R´eduction `a l’absurde (constructif) : D´emontrer ¬E en supposant E puis en d´emontrant le faux,
• D´etour par l’absurde (non constructif) : D´emontrer E en supposant ¬E puis en d´emontrant le faux.
Autre passage auquel je suis sensible, bien que je n'aime pas trop le mot "algorithme" :
Et c'est là où je pose la question pour laquelle je suis intervenu :La preuve d’une n´egation [de E] est donc un algorithme inex´ecutable. L’int´erˆet d’´ecrire un tel algorithme est seulement de s’assurer qu’aucune donn´ee de type E ne sera jamais exhib´ee.
est-ce qu'avoir uniquement la preuve l'assurance qu’aucune donn´ee de type E ne sera jamais exhib´ee est suffisant ?
Ou plus brutalement, est-ce que retenir pour "résultat définitif" une preuve supposant E (ou non E, a fortiori) est démontrant le faux est satisfaisant ?
A priori, la "réduction à l'absurde" est parfaitement valide, et ceci pour tout les mathématiciens, intuitioniste ou non ; puisqu'elle ne nécessite pas d'utiliser le principe du tiers exclu.
Le problème se situe bien dans l'utilisation du "détour par l'absurde". Certain mathématiciens refuse cette façon de faire puisque cette méthode nécessite d'utiliser le principe du tiers exclu comme un axiome supplémentaire. A noter que ce principe pose problème uniquement pour les raisonnements concernant les ensembles infinis.
comme le dit l'auteur :
"Dés lors, on a le choix entre :
• abandonner le tiers exclu, et faire des matématiques constructives,
• abandonner les ensembles infinis, et faire des matématiques finitistes,
• abandonner les exigences constructivistes, et faire des mathématiques classiques."
Oui, ceci est très clair. C'est une discussion au niveau axiomatique.
Oui, voilà encore un exemple où (non non P) => P est prouvé sans utiliser l'axiome du tiers exclus (lorsque P porte sur des ensembles finis... "énumérables" précisément je crois, mais là je m'avance un peu trop peut-être).
Mais cela ne répond pas vraiment à la question que je pose. Je vais la tourner autrement. Pourquoi certaines (bcp ?) personnes, comme ericcc, essaient toujours de trouver des démonstrations communément dites "directes", préférant celles-ci aux démonstrations communément dites "par l'absurde" (englobant les deux types bien définis au niveau logique, par réduction et détour par l'absurde) ?
Le lien donné par Skydancer est très clair, oui.
La réécriture que tu propose l'est beaucoup moins. Je ne vais pas entrer dans les détails, l'expérience montre que cela ne sert à rien.
Mais je pense qu'il vaut mieux lire le papier que ce que tu en dis.
Cordialement,
