Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

[invite2c3ff3cc]

Sacré Léon, le moins qu'on puisse dire c'est qu'il a de la constance (on a une discussion similaire (fort intéressante et moins inutilement agressive à son endroit) sur un autre forum) !
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[leon1789]

Sacré Léon, le moins qu'on puisse dire c'est qu'il a de la constance (on a une discussion similaire (fort intéressante et moins inutilement agressive à son endroit) sur un autre forum) !

Purée, tu en as mis du temps pour faire un petit coucou !!

[God's Breath]

(*) parce oui, 99% des matheux admettent sans aucun problème que "tout rationnel est différent de " équivaut à " est non rationnel"...

Non, aucun VRAI matheux ne l'admet, il le démontre, ce que tu te révèles incapable de faire...

J'en déduis, par contraposition, que tu es un FAUX matheux, quoi que tu en dises.

Et pourquoi le refusez-vous depuis le début ? ...sous le (faux) prétexte que je refuse le tiers exclus. Vous ai-je dis que je refuse le tiers exclus ? Non, mais vous l'avez pensez formellement par habitude dès qu'on vous parle d'éviter un raisonnement par l'absurde... Je vous demande donc de sortir un moment de votre casque de logicien pour essayer de comprendre ce que je voulais signifier (je ne me serais pas permis de poster si cela était aussi ridicule que vous l'avez considéré péremptoirement depuis le début)

Et, nous te demander de sortir de ta tour d'ivoire, de venir faire un tour dans les mathématiques usuelles, et de comprendre (pas d'admettre !!!) que, dès que tu acceptes le tiers exclu ou le raisonnement par contraposition, tu es devant l'alternative suivante :
– soit tu acceptes le raisonnement par l'absurde ;
– soit tu te plonges dans une auto-contradiction.

[invite2c3ff3cc]

Léon, je te soutiens moralement même si, tu le sais, je ne partage pas tous tes points de vue.

D'un autre côté l'idée qu'il n'y ait qu'une seule Mathématique purement axiomatique et formelle me parait relever de la religion plus que de la science.
Et réduire les Mathématiques à une immense tautologie sans âme ... sauve qui peut !

[Médiat]

je suis capable d'écrire des ersatz et de les faire passer pour corrects au yeux de beaucoup de personnes (99% des matheux).

Pour vous, écrire des preuves comprises et acceptées par 99% des matheux (*), c'est se croire plus intelligents qu'eux ?!

"Faire passer des ersatz et les faire passer pour corrects" est contradictoire avec "écrire des preuves comprises et acceptées par 99% des matheux"

C'est la logique formelle qui vous inspire ce genre de réflexion ?

Oui, cela me sert à détecter des contradictions.

[leon1789]

Non, aucun VRAI matheux ne l'admet, il le démontre, ce que tu te révèles incapable de faire...

Vous connaissez la VERITE ! bigre, ça fait peur. Les matheux que je côtoie démontrent des choses un peu plus compliquées en général. Mais visiblement, on ne lit pas les mêmes articles comme on s'en doutais depuis le début.

J'en déduis, par contraposition, que tu es un FAUX matheux, quoi que tu en dises.

Comme quoi, tout le monde peut faire des erreurs... Faut-il encore être dans un cadre où on ne prive pas de tout moyen de vérification (cf ce que je disais au-dessus)

Et, nous te demander de sortir de ta tour d'ivoire, de venir faire un tour dans les mathématiques usuelles, et de comprendre (pas d'admettre !!!) que, dès que tu acceptes le tiers exclu ou le raisonnement par contraposition, tu es devant l'alternative suivante :
– soit tu acceptes le raisonnement par l'absurde ;
– soit tu te plonges dans une auto-contradiction.

Mathématiques "usuelles" vous dites ! Mais je croyais quelles étaient uniquement formelles d'après vous...
Bon, maintenant que vous parlez des maths usuelles, i.e. celles que l'on utilisent, est-ce que cela vous dérange que quelqu'un évite d'écrire des raisonnements par l'absurde pour des raisons non axiomatiques ?

[leon1789]

"Faire passer des ersatz et les faire passer pour corrects" est contradictoire avec "écrire des preuves comprises et acceptées par 99% des matheux"

Effectivement ! la première phrase est celle que vous pensez, la seconde est celle que je crois pouvoir certifier...

Oui, cela me sert à détecter des contradictions.

Et au nom de la logique formelle, vous vous permettez bien des dires...

[invite6754323456711]

Bonjour,

Ce fil ressemble à un débat entre partisans logique classique et partisans logique intuitionniste. En fait quel est le fond d'une telle divergence ?


Le point de vue intuitionniste semble être

Si la logique est une discipline dont le rôle est d’atteindre avec rigueur un résultat par le raisonnement, alors peut-on se contenter de bâtir une hypothèse sans avoir au préalable réuni toutes les conditions de sa vérité.

Il arrive pourtant qu’on ne puisse pas le faire et dans ce cas la proposition étudiée devient donc indécidable.

Les intuitionnistes réfutent donc le principe de non-contradiction et son corollaire la preuve par l’absurde.

Pourquoi refuser le raisonnement suivant : De deux propositions contradictoires, si l'une est vraie l'autre est fausse et vice versa

Les vues intuitionnistes apparaissent donc comme une restriction du raisonnement.

Pourquoi ? j'ai du mal à comprendre le motif. Sinon peut être philosophique car cela ressemble fortement au débat : les mathématiques sont elles inventés ou découvertes.

Pour les intuitionnistes les mathématiques sont construites par l’homme. Elles ne sont pas déjà là, attendant en quelque sorte que nous les découvrions ?


Patrick

[God's Breath]

Monsieur leon1789,

Vous côtoyez des mathématiciens qui démontrent des choses compliquées, et vous lisez des articles très pointus, mais vous n'êtes même pas capable de démontrer que une irrationalité connue depuis l'Antiquité, c'est à en mourir de rire.

Vous n'êtes qu'un arnaqueur, qui fait passer des ersatz de preuves pour des démonstrations correctes en prenant les gens pour des gogos, et vous voudriez que l'on vous prenne au sérieux ?

Mathématiques "usuelles" vous dites ! Mais je croyais quelles étaient uniquement formelles d'après vous...

Si vous lisiez vraiment les réponses qui vous sont faites en essayant de faire travailler vos neurones, vous sauriez que les mathématiques, pour moi, ne sont pas formelles...

Bon, maintenant que vous parlez des maths usuelles, i.e. celles que l'on utilisent, est-ce que cela vous dérange que quelqu'un évite d'écrire des raisonnements par l'absurde pour des raisons non axiomatiques ?

Je respecte ceux qui évitent d'écrire des raisonnements par l'absurde.
Apprenez, pour votre gouverne, que je refuse, à titre personnel, le tiers exclu, et par là-même la réduction à l'absurde, mais que je suis par contre obligé de former mes étudiants à ces techniques de démonstration.
Par contre je me gausse ouvertement de ceux qui prétendent haut et fort éviter ces techniques, et qui les camouflent hypocritement sous le terme d'évidence naturelle.

Si vous êtes aussi sérieux et mathématicien que vous le prétendez, J'attends de vous préciser votre position quant à l'acceptation ou au refus :
– du tiers exclu ;
– de la contraposition ;
– de la réduction à l'absurde.

Sans cette base de discussion, je considère que vous admettez votre mauvaise foi.

[leon1789]

Léon, je te soutiens moralement même si, tu le sais, je ne partage pas tous tes points de vue.

D'un autre côté l'idée qu'il n'y ait qu'une seule Mathématique purement axiomatique et formelle me parait relever de la religion plus que de la science.
Et réduire les Mathématiques à une immense tautologie sans âme ... sauve qui peut !

Morale, points de vue, religion, âme... autant de mots qui n'ont aucune définitions formelles !



Bon, j'arrête là. Merci pour cet "échange" duquel je retiendrai quand même quelques petites choses intéressantes.

[Médiat]

Ce fil ressemble à un débat entre partisans logique classique et partisans logique intuitionniste.

Pas du tout, cet hypothèse a été proposée au message #17 et rejetée par leon1789 qui utilise le tiers exclu.

D'ailleurs je ne connais pas de "partisans" de la logique classique ou de la logique intuitionniste, qui ont, heureusement, des débats plus constructifs (aucun logicien classique n'a jamais nié les apports de la logique intuitionniste dans la théorie de la preuve par exemple).

[Médiat]

Effectivement ! la première phrase est celle que vous pensez, la seconde est celle que je crois pouvoir certifier...

Non seulement vous prétendez savoir ce que je pense, mais en plus vous utilisez le pronom "je" pour exprimer une idée qui n'est pas la votre : no comment

[leon1789]

Petit PS ...

Monsieur leon1789,

Ha, le tutoiement n'est plus de rigueur

Vous côtoyez des mathématiciens qui démontrent des choses compliquées, et vous lisez des articles très pointus, mais vous n'êtes même pas capable de démontrer que une irrationalité connue depuis l'Antiquité, c'est à en mourir de rire.

Vous n'êtes qu'un arnaqueur, qui fait passer des ersatz de preuves pour des démonstrations correctes en prenant les gens pour des gogos, et vous voudriez que l'on vous prenne au sérieux ?

Quelle facilité avez-vous pour dire des énormités injurieuses !

Si vous lisiez vraiment les réponses qui vous sont faites en essayant de faire travailler vos neurones, vous sauriez que les mathématiques, pour moi, ne sont pas formelles...

Ha, j'ai lu (et cru) le contraire.

Je respecte ceux qui évitent d'écrire des raisonnements par l'absurde.
Apprenez, pour votre gouverne, que je refuse, à titre personnel, le tiers exclu, et par là-même la réduction à l'absurde, mais que je suis par contre obligé de former mes étudiants à ces techniques de démonstration.

Dommage que vous disiez cela maintenant seulement : je vous aurais poser des questions sur l'impact de votre choix personnel sur le contenu de vos enseignements par rapport à ceux des collègues qui ne font pas les mêmes choix...

Par contre je me gausse ouvertement de ceux qui prétendent haut et fort éviter ces techniques, et qui les camouflent hypocritement sous le terme d'évidence naturelle.

Qua faites-vous de toutes les maths qui ont été développées avant Péano ? Pour moi, les maths ne commencent pas à partir du moment que l'axiomatique est définie.

Si vous êtes aussi sérieux et mathématicien que vous le prétendez, J'attends de vous préciser votre position quant à l'acceptation ou au refus :
– du tiers exclu ;
– de la contraposition ;
– de la réduction à l'absurde.

J'ai essaie tant bien que mal d'expliquer ma position "non-axiomatique" pendant plusieurs pages...

Sans cette base de discussion, je considère que vous admettez votre mauvaise foi.

Admettons ma mauvaise foi au point où on en est.

Merci d'avoir passer votre temps à me faire comprendre que certaines choses ne sont pas évidentes.

[Médiat]

D'un autre côté l'idée qu'il n'y ait qu'une seule Mathématique purement axiomatique et formelle me parait relever de la religion plus que de la science.

Il ne s'agit pas de religion (terme insultant ici) mais de position épistémologique, d'ailleurs God's Breath et moi sommes aussi éloigné que possible sur ce terrain, cela ne m'empêche aucunement de considérer que les mathématiques faites par God's Breath sont "pur beurre".

Et réduire les Mathématiques à une immense tautologie sans âme ... sauve qui peut !

Je ne répondrait pas au nom des platoniciens qui, sans doute, ne se sentent même pas concernés, mais en tant que formaliste : penser que ZFC est une immense tautologie sans âme est une méconnaissance complète de ce qu'est la recherche en logique, même pour un affreux formaliste.

[invite2c3ff3cc]

Il ne s'agit pas de religion (terme insultant ici) mais de position épistémologique, d'ailleurs God's Breath et moi sommes aussi éloigné que possible sur ce terrain, cela ne m'empêche aucunement de considérer que les mathématiques faites par God's Breath sont "pur beurre".

Ca n'était pas destiné qu'à toi et à celui_dont_dieu_parle_par_la_b ouche ... Des convictions aussi fortes (équitablement réparties entre tous les intervenants) relèvent de la croyance ...

Je ne répondrait pas au nom des platoniciens qui, sans doute, ne se sentent même pas concernés, mais en tant que formaliste : penser que ZFC est une immense tautologie sans âme est une méconnaissance complète de ce qu'est la recherche en logique, même pour un affreux formaliste.

On est d'accord donc. Il n'était pas indispensable de sous-entendre que ceux qui ne sont pas d'accord sont forcément ignorants.

[Médiat]

Ca n'était pas destiné qu'à toi et à celui_dont_dieu_parle_par_la_b ouche ... Des convictions aussi fortes (équitablement réparties entre tous les intervenants) relèvent de la croyance ...

Si ce n'était pas destiné "qu'à moi" c'est que cela m'était destiné, et j'aimerais bien que tu exhibes une "croyance" dans ce que j'ai pu écrire, il n'y a que des mathématiques et l'expression d'une position épistémologique (ce qui n'a rien d'une croyance au sens religieux, le mot n'est pas de moi), qui, d'ailleurs, n'a aucune influence sur le fond de mes interventions.

Il n'était pas indispensable de sous-entendre que ceux qui ne sont pas d'accord sont forcément ignorants.

Ah, mais je n'ai rien sous-entendu !

[leon1789]

Les intuitionnistes réfutent donc le principe de non-contradiction et son corollaire la preuve par l’absurde.

Pourquoi refuser le raisonnement suivant : De deux propositions contradictoires, si l'une est vraie l'autre est fausse et vice versa

Les vues intuitionnistes apparaissent donc comme une restriction du raisonnement.

Pourquoi ? j'ai du mal à comprendre le motif.

Bonsoir,

Mon simple avis personnel est le suivant...

Je pense que le choix de travailler tel ou tel domaine est une question d'opportunité et bien sûr de sensibilité. Pourquoi faire de la géométrie et pas de l'analyse numérique ? Pourquoi des maths ceci et pas des maths cela ?

Ensuite, il est malheureusement très répandu la fausse idée que "sans tiers exclus (et sans axiome du choix), on ne peut rien faire en math". Par exemple, en algèbre, la première chose qu'on dit souvent, c'est : "Comment peut-on faire de l'algèbre sans idéaux maximaux !!!" (puisque leur existence classique repose sur l'axiome du choix). Oui, on peut très bien faire de l'algèbre (et de l'analyse, etc) dans ces conditions.

Autre idée répandue : on pense qu'il y a une grosse limitation dans les résultats de maths constructives par rapport aux maths classiques. En fait, ce n'est pas clair du tout ! Les maths classiques ont développé des notions très efficaces pour "déblayer" le terrain est assurer des résultats importants. Mais du coup, la "généralité", la "surpuissance" de certaines notions sont telles qu'il devient "impossible" (je veux dire par là, qu'il n'est pas d'usage...) en maths classiques de distinguer certaines choses, certaines subtilités. C'est un peu comme si vous passiez à fond de TGV à coté d'un graffiti dessiné sur un mur : difficile d'en apprécier les détails...

Les maths constructives abordent les mêmes théories que les maths classiques, mais sous un autre angle de tir, développant des stratégies, des résultats très intéressants, et valides en maths classiques en prime !


Vous demandez un motif... Depuis des années, je travaille conjointement (par un heureux hasard) avec des matheux constructifs et des matheux classiques. Personnellement, après avoir été formé aux maths classiques, effectives, j'ai été séduit par les maths constructives car certains résultats et surtout certaines méthodes prennent vraiment à contrepied les standards classiques ! Seulement, ne pouvant me résoudre à quitter la théorie classique, je me suis plutôt placé entre les deux, essayant d'utiliser le meilleur de chacune des deux écoles (car tout n'est pas rose, ni d'un coté, ni de l'autre...). D'après expérience (personnelle, mais pas seulement !), il est assez pertinent de vouloir mêler les deux (tant que faire se peut, il y a forcément des limites "logiques"...) tant d'un point scientifique que d'un point de vue pédagogique.

[invite2b662c2b]

La preuve de l'irrationnalité de ne nécessite pas de raisonnement par l'absurde. On établit que , ce qui est la définition de .

Bonjour,

Je fais parti des ces profs qui utilisent cette preuve comme exemple de raisonnement par l'absurde. Je suis surpris par votre remarque, et comme j'avoue mon incompétence en logique formelle je ne serais pas contre quelques éclaircissements ^^.

Ma surprise vient surtout du fait que j'interprête ce raisonnement comme un raisonnement par l'absurde que j'aurais donc utilisé de multiples fois sous un faux nom, et que mes propres anciens profs m'auraient aussi trompés. D'après vous, d'où vient mon erreur, pourquoi présente-t'on ça comme un raisonnement par l'absurde alors que ça n'en est pas un ? Avez vous un exemple de preuve par l'absurde où ce raisonnement est bien utilisé hors du contexte purement formel ?

Merci d'avance
Denoby

[invite2b662c2b]

Je précise ma question qui peut ne pas être claire.

Pour moi "raisonner par l'absurde" signifie "supposer vraie une propriété, en déduire une propriété fausse, en conclure que la premiere propriété est fausse".
Ce que je traduirais formellement par la propriété : " ( P ==> faux) ==> non P"
C'est donc bien ce que je vois dans la démonstration "

[invité576543]

En lisant la phrase de GB, j'avais reconstruit que le raisonnement par l'absurde est plutôt :

(non P ==> faux) ==> P

Quand on fait une démonstration par l'absurde on veut démontrer P, et on suppose non P, et pas le contraire.

Ou encore, "raisonner par l'absurde" signifie "supposer fausse une propriété, en déduire une propriété fausse, en conclure que la première propriété est vraie".

Formellement la différence vient du statut de non(non P)), qui ne vaut P qu'avec l'hypothèse du tiers exclus.

A confirmer...

Cordialement,

[invite986312212]

mais ici, est-ce que P est " est rationnel", ou bien " n'est pas rationnel" ?

[invité576543]

mais ici, est-ce que P est " est rationnel", ou bien " n'est pas rationnel" ?

C'est juste un choix de notation ??

Cordialement,

[leon1789]

Je voudrais juste relancer une question intéressante de Denoby :

Avez vous un exemple de preuve par l'absurde où ce raisonnement est bien utilisé hors du contexte purement formel ?

...un exemple que tout le monde peut comprendre et apprécier

[Médiat]

Avez vous un exemple de preuve par l'absurde où ce raisonnement est bien utilisé hors du contexte purement formel ?

Si ma tante est un homme elle a des testicules, or je constate que ma tante n'en a pas (ne me demandez pas comment je le sais, mais je le sais), donc ma tante n'est pas un homme (puisqu'elle ne peut en avoir et ne pas en avoir, ce qui ne remet pas en cause la nouvelle d'Hemingway) !

Etant hors du cadre formel, le seul ou la notion de preuve soit bien définie, il n'est pas étonnant que cet exemple ne soit pas formellement acceptable (on pourrait discuter, inutillement, pendant très longtemps sur : "Si ma tante est un homme elle a des testicules")

[leon1789]

Etant hors du cadre formel, le seul où la notion de preuve soit bien définie...

A méditer.

[leon1789]

En lisant la phrase de GB, j'avais reconstruit que le raisonnement par l'absurde est plutôt :

(non P ==> faux) ==> P

Oui.

( l'implication P => faux est "logiquement" la définition de non(P) )



Mais je voudrais juste revenir sur une idée très répandue :
<< quand on veut démontrer P, faire un raisonnement par l'absurde peut être commode car on ajoute une hypothèse : non P >>

Alors comment agit-on pour faire une preuve par l'absurde ?

On écrit : non P => ... => ... => ... => ... => ... => ... => ...=> ...=> ...=> ...=> ... => faux !
Là , on invoque le principe : (non P ==> faux) ==> P
Donc P est prouvé par l'absurde.


On constate que le plus difficile dans la réalisation de cette preuve, c'est d'établir la suite d'implications non P => ... => faux .

Mais précisément, que montre l'implication non P => faux ? Elle montre non ( non P ) par définition du "non"

Dire que non (non P) => P , c'est justement le principe du tiers exclus. Donc , a priori, sans tiers exclus, on ne peut dire que (non P => faux) justifie P.




Mais voilà ! Il existe bcp de situations dans lesquelles on peut prouver sans utiliser le tiers exclus (P ou non P). Dans ce cas-là, non (non P) => P , et par suite, (non P => faux) => P.

Ainsi dans ces situations, on peut écrire
non P => ... => ... => ... => ... => ... => ... => ...=> ...=> ...=> ...=> ... => faux
Là , on invoque (P ou non P) prouvée de manière préliminaire,
ce qui prouve de manière directe la validité de P !

Mais en réalité, l'effort de celui qui a trouvé cette preuve réside toujours dans l'implication non P => faux (et pas dans P ou non P qui a été déjà prouvée...)


Moralité :
établir non P => ... => ... => ... => ... => ... => ... => ...=> ...=> ...=> ...=> ... => faux
ne préjuge pas de l'adjectif dont va être qualifiée la preuve une fois terminée : elle pourra être par l'absurde, ou directe , suivant le tout dernier argument !

... Enfin tout ça, c'est formel...

[Médiat]

Mais voilà ! Il existe bcp de situations dans lesquelles on peut prouver sans utiliser le tiers exclus (P ou non P). Dans ce cas-là, non (non P) => P , et par suite, (non P => faux) => P.

C'est à dire que si le tiers est exclu je n'ai pas besoin d'invoquer le tiers exclu comme règle générale ; je ne suis pas sûr que cela fasse avancer le débat.

[invité576543]

Mais voilà ! Il existe bcp de situations dans lesquelles on peut prouver sans utiliser le tiers exclus (P ou non P). Dans ce cas-là, non (non P) => P , et par suite, (non P => faux) => P.

Pourrais-tu développer ce paragraphe, d'une part en clarifiant le complément d'objet direct de "on peut prouver", et d'autre part en donnant des exemples précis à "Il existe beaucoup"?

établir non P => ... => ... => ... => ... => ... => ... => ...=> ...=> ...=> ...=> ... => faux
ne préjuge pas de l'adjectif dont va être qualifiée la preuve une fois terminée

Pour moi c'est la preuve directe de non P => faux, la preuve directe de non(non P), et la preuve par l'absurde de P. Quel autre choix y a-t-il?

Cordialement,

EDIT : Croisement

[Médiat]

Mais voilà ! Il existe bcp de situations dans lesquelles on peut prouver sans utiliser le tiers exclus (P ou non P).

Au message #13 vous contestiez le raisonnement par l'absurde avec l'argument que lorsque l'on écrit non P, alors que P est vrai on a écrit quelque chose de faux, et je vous ai répondu que ce que l'on prétend vrai, ce n'est pas non P, mais (non P ==> Q), vous me rétorquâtes que n'écrire que des choses vraies était un garde-fou contre les erreurs de raisonnement ; je trouve étrange que maintenant vous utilisiez une démonstration de (P ou non P), car manifestement en écrivant cela vous écrivez quelque chose de faux, selon vos critères de garde-fou (quelque que soit P, P et non P ne peuvent être vraies conjointement, n'est-ce pas ?).

[invite2b662c2b]

Merci pour ces éclaircissements .

Curieusement le raisonnement par l'absurde dans le cas de l'irrationnalité de me semble plus naturel :

(non ( n'est pas rationnel) ==> ( est rationnel) (en utilisant le tiers exclu donc)
==> faux) ==> ( est rationnel)

En fait c'est la démonstration de "non P" qui ne m'est pas courante.

Sinon, même si la tante qui n'a pas de testicules restitue bien un raisonnement par l'absurde, je cherche toujours un exemple de théorème de maths où la démonstration par l'absurde se justifie en algèbre/analyse/arithmétique par exemple (pas de proba par pitié )

Denoby