Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

[Médiat]

Avez vous un exemple de preuve par l'absurde où ce raisonnement est bien utilisé hors du contexte purement formel ?

je cherche toujours un exemple de théorème de maths où la démonstration par l'absurde se justifie en algèbre/analyse/arithmétique par exemple

Désolé, mais personnellement je ne sais pas ce que peut être une démonstration mathématique qui ne soit pas formelle (sauf à faire des périphrases).
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[invite2b662c2b]

Le mot formel était mal choisit. Justement je cherche une démonstration traitant d'objets bien définis, dans le cadre mathématique. je change donc de question : Avez vous un théorème enseigné en mathématiques dont la preuve est couramment donné sous la forme d'un raisonnement par l'absurde et pour lequel cette utilisation de l'absurde est justifiée ?

Je pense qu'on s'entend sur le sens de justifié étant donné que cette question fait écho justement à l'inutilité de l'emploi de l'absurde pour la démonstration de l'irrationnalité de

[leon1789]

Pourrais-tu développer ce paragraphe, d'une part en clarifiant le complément d'objet direct de "on peut prouver", et d'autre part en donnant des exemples précis à "Il existe beaucoup"?

Exemple :
on peut démontrer sans tiers exclus que pour tous , on a ou (je vous laisse faire, je ne suis pas logicien, .....)

Remarque : ceci devient faux si on (il n'y a pas de test d'égalité dans R)

[Médiat]

Exemple :
on peut démontrer sans tiers exclus que pour tous , on a ou (je vous laisse faire, je ne suis pas logicien, .....)

Faites-le !

Remarque : ceci devient faux si on (il n'y a pas de test d'égalité dans R)

Nous faisons des maths dans ce forum, pas de l'informatique !

[Médiat]

Je pense qu'on s'entend sur le sens de justifié étant donné que cette question fait écho justement à l'inutilité de l'emploi de l'absurde pour la démonstration de l'irrationnalité de

A la louche, je dirais que pour montrer que quelque chose n'existe pas, il est plus naturel (je ne dis rien de plus) de supposer qu'elle existe et de montrer que cela mène à une contradiction ; par exemple pour démontrer que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas (dans ZF).

[invite2b662c2b]

En lisant la phrase de GB, j'avais reconstruit que le raisonnement par l'absurde est plutôt :

(non P ==> faux) ==> P

A la louche, je dirais que pour montrer que quelque chose n'existe pas, il est plus naturel (je ne dis rien de plus) de supposer qu'elle existe et de montrer que cela mène à une contradiction ; par exemple pour démontrer que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas (dans ZF).

Montrer que quelque chose n'existe pas en démontrant que si elle existe c'est absurde revient à utiliser :
(P ==> faux) ==> non P
où P est une propriété de la forme "il existe ..."

Ce qui ne serait donc pas une preuve par l'absurde d'après les différents messages de ce post.

A vrai dire, avant de lire ce post j'aurais répondu la même chose, d'où mon questionnement (d'ailleurs je trouve ça naturel aussi de procéder de la sorte, mon problème ici est surtout sémantique, qu'est ce qu'on peut qualifier de "raisonnement par l'absurde")

[invité576543]

Montrer que quelque chose n'existe pas en démontrant que si elle existe c'est absurde revient à utiliser :
(P ==> faux) ==> non P
où P est une propriété de la forme "il existe ..."

Ce qui ne serait donc pas une preuve par l'absurde d'après les différents messages de ce post.

C'est comme cela que je le comprends aussi.

Donc pour trouver un exemple de démonstration par l'absurde, il faut chercher une démonstration de quelque chose se présentant comme "il existe ...".

L'exemple qui me vient en tête, dont la pertinence est à confirmer, est l'existence d'une infinité de nombres premiers.

On cherche à démontrer que "Pour tout n, il existe un nombre premier supérieur à n". La démonstration par l'absurde consiste à montrer que "Il existe n tel que tout m>n, m n'est pas premier" => faux, et la démonstration procède par la construction d'un nombre m>n et premier, ce qui, combiné avec l'hypothèse, implique (P et non P), donc faux avec le tiers exclu.

Si j'ai bien compris cette démo s'analyse comme, P étant la propriété à démontrer, (non P) => (non P) et non(non(P)). Et cela implique P avec le tiers exclu.

(Ou encore, et je ne sais pas si cela fait une différence, d'où on déduit par le tiers exclu )

Cordialement,

[Médiat]

(P et non P), donc faux avec le tiers exclu

______________ _________________

[inviteaf1870ed]

Je ne suis pas aussi calé que vous dans ces domaines, mais en humble utilisateur des maths (et soutien de mes enfants...) je dois reconnaitre que j'ai parfois éprouvé une grande perplexité/frustration avec certaines démonstrations par l'absurde.

Grosso modo il y a deux types de démos : celles où on part d'une propriété et on aboutit à démontrer son contraire (par exemple : l'ensemble des nombres premiers est fini, on construit un nombre plus grand que le plus grand, l'irrationnalité de sqrt(2) où on montre que si sqrt(2) est rationnel et s'écrit p/q avec p et q premiers entre eux, alors p et q ne sont pas premiers entre eux etc.).
Mais il y a également des démos où on part d'une propriété que l'on veut infirmer, on fait un très long raisonnement et on aboutit à une proposition que l'on sait fausse (du type 1=0), mais qui n'a aucun rapport avec le départ.

Autant le premier type me semblait "raisonnable", autant je trouvais le deuxième type assez tiré par les cheveux, d'autant plus que l'on avait toujours peur d'avoir commis une erreur de raisonnement au milieu.

Je reconnais que ces considérations sont assez éloignées de la logique formelle maniée avec bonheur par certains intervenants de ce forum, mais c'est peut être ce que ressentent certains aversaires des raisonnements par l'absurde.

En tous cas j'ai toujours essayé de trouver des démonstrations directes - quand je le pouvais...

[invite7863222222222]

Je ne pense pas que le raisonnement par l'absurde soit déroutant, il y a certaines propriétés mathématiques intimement liées à ce type de raisonnement, c'est une facon de démontrer les choses comme une autre.

[Médiat]

En tous cas j'ai toujours essayé de trouver des démonstrations directes - quand je le pouvais...

Si la discussion avait porté sur "Le raisonnement par l'absurde est plus compliqué à comprendre, à enseigner et moins intuitif" je ne serais pas intervenu, puisqu'il s'agirait d'une opinion que l'on peut partager ou non, mais qui est tout à fait légitime.

Un autre exemple me vient, qui ne doit pas être évident à démontrer directement : la non dénombrabilité de IR (par la diagonale de Cantor).

[inviteaf1870ed]

Mediat

L'exemple que tu donnes est pour moi du "premier type" : on suppose que [0,1] est dénombrable, on range les nombres et on construit un nouveau nombre qui est dans [0,1], mais que l'on n'avait pas compté. La contradiction est claire, pas de débat.

[invite986312212]

n'est pas rationnel, l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini, R n'est pas dénombrable. Dans les trois cas, la propriété à démontrer est exprimée par une phrase négative. Est-ce par hasard?

[invité576543]

n'est pas rationnel, l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini, R n'est pas dénombrable. Dans les trois cas, la propriété à démontrer est exprimée par une phrase négative. Est-ce par hasard?

Pourquoi ré-écrits-tu sous forme négative ce que j'avais présenté comme "Pour tout n, il existe un entier >n et premier" ?

Si on fait cela, toute phrase positive ou presque peut être transformée en phrase négative. Pas vraiment de hasard, alors!

Cordialement,

[invité576543]

______________ _________________

J'accepte que je me sois trompé, cela ne me colle pas des boutons ni m'envoie bouder ni n'est pris comme une atteinte à ma personne.

Mais si c'est le cas j'apprécie que ce soit expliqué autrement que par des points d'interrogation.

Cordialement,

[leon1789]

n'est pas rationnel, l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini, R n'est pas dénombrable. Dans les trois cas, la propriété à démontrer est exprimée par une phrase négative. Est-ce par hasard?

En fait, en ce qui me concerne, les bonnes propriétés à démontrer sont des propriétés qui donne lieu à une exploitation "réelle" de la démonstration.

Par exemple, démontrer que l'ensemble des premiers est infini avec une preuve qui ne donne pas le moyen de réaliser cela, c'est << insuffisant >> !! En écrivant une preuve "dans le" / "avec du" bon sens, on obtient effectivement une méthode constructive !

Pour racine de 2, une "bonne" preuve qui apporte autre chose que la simple conclusion attendue, est par exemple de dire
<< pour tout p/q rationnel , on a >>
C'est évidemment plus fort que de dire que racine de 2 n'est pas rationnel... (pour ceux qui tolère certains axiomes communément acceptés)


Avez-vous constaté la difficulté d'enseigner la preuve dite communément (pas en logique formelle) "par l'absurde" ? C'est plus difficile que des preuves dites communément "directe".
Pourquoi ? Je pense que c'est parce qu'à l'intérieur d'une preuve par l'absurde, entre les donc (très bien justifiés, il n'y a pas de doute), il y a des propriétés mathématiques fausses et contradictoires.

Parler des éléments du vide, c'est bien, c'est formellement impeccable, mais cela facilite-t-il la compréhension ??

[invite986312212]

Si on fait cela, toute phrase positive ou presque peut être transformée en phrase négative. Pas vraiment de hasard, alors!

oui bien sûr toute assertion peut être transformée en sa négation et montrer P ou non(non(P)) c'est pareil. Mais dans les trois exemples en question, il y a quelque-chose de plus profond: non-dénombrable non-fini ou non-rationnel, ce sont des propriétés négatives. Médiat me contredira peut-être, mais je ne crois pas qu'on puisse définir "positivement" la notion d'infini non dénombrable par exemple.

[leon1789]

J
Je reconnais que ces considérations sont assez éloignées de la logique formelle maniée avec bonheur par certains intervenants de ce forum, mais c'est peut être ce que ressentent certains adversaires des raisonnements par l'absurde.

En tous cas j'ai toujours essayé de trouver des démonstrations directes - quand je le pouvais...

ah voilà ! Je crois qu'on est d'accord !!

Je dirais même davantage : je crois , pas expérience, qu'adopter de manière systématique un certain type de démonstration formate les outils qu'on utilise pour le faire. Et faire des maths, c'est aussi développer des outils pour trouver des preuves.

[invite986312212]

au fait, personne n'a répondu à la question que Denoby a posée au post 78. Moi aussi je suis un peu perplexe devant l'affirmation de God's Breath (post 16) que la preuve donnée de l'irrationnalité de n'est pas une preuve par l'absurde.

[leon1789]

Je ne pense pas que le raisonnement par l'absurde soit déroutant, il y a certaines propriétés mathématiques intimement liées à ce type de raisonnement, c'est une facon de démontrer les choses comme une autre.

La preuve directe est plus naturelle... sinon on n'attendrait pas la seconde partie du lycée pour proposer aux élèves le raisonnement communément dit "par l'absurde". Non ?

[leon1789]

Si la discussion avait porté sur "Le raisonnement par l'absurde est plus compliqué à comprendre, à enseigner et moins intuitif" je ne serais pas intervenu, puisqu'il s'agirait d'une opinion que l'on peut partager ou non, mais qui est tout à fait légitime.

ah ah ah !....

[leon1789]

Si on fait cela, toute phrase positive ou presque peut être transformée en phrase négative. Pas vraiment de hasard, alors!

Et quel est l'intérêt de tout mettre sous forme négative ?
<< Ceci n'est pas vrai, il n'existe pas de cela...>>

Ok, on peut aimer, mais personnellement, je préfère largement quand on dit
<< Ceci est vrai car ... il existe de cette manière... >>
en donnant un moyen d'illustrer le truc, d'expérimenter la preuve, de la suite réellement sur des exemples concrets. Une preuve commençant par admettre une truc impossible ne donne aucun moyen d'illustration.

[invité576543]

au fait, personne n'a répondu à la question que Denoby a posée au post 78.

Laquelle? Celle-ci : "pourquoi présente-t'on ça comme un raisonnement par l'absurde alors que ça n'en est pas un ?" ?

Moi aussi je suis un peu perplexe devant l'affirmation de God's Breath (post 16) que la preuve donnée de l'irrationnalité de n'est pas une preuve par l'absurde.

J'avais répondu #80 en substance en disant qu'au début cela m'a rendu perplexe mais que cela m'a amené à l'interprétation proposée au message #80. Ce n'est pas la bonne interprétation?

Cordialement,

[invité576543]

Et quel est l'intérêt de tout mettre sous forme négative ?

C'est un peu la question que je posais à Ambrosio, non?

Cordialement,

[leon1789]

au fait, personne n'a répondu à la question que Denoby a posée au post 78. Moi aussi je suis un peu perplexe devant l'affirmation de God's Breath (post 16) que la preuve donnée de l'irrationnalité de n'est pas une preuve par l'absurde.

Tout simplement parce qu'il y a deux sens à l'expression "raisonnement par l'absurde" : le sens commun et le sens formel.

[leon1789]

C'est un peu la question que je posais à Ambrosio, non?

Cordialement,

Oui Je lui fais part de mon soutien.

[invité576543]

montrer P ou non(non(P)) c'est pareil.

Non, justement. Ce n'est pas pareil, et bien cela tout le fond du problème.

Si on ne prend pas le tiers exclu, non(non P) n'est pas équivalent à P, c'est soit P soit une tierce possibilité.

Mais dans les trois exemples en question, il y a quelque-chose de plus profond: non-dénombrable non-fini ou non-rationnel, ce sont des propriétés négatives.

Non rationnel est intrinséquement négatif, puisqu'on peut travailler dans Q sans s'occuper de R. On dit simplement que x²-2 n'a pas de racine, ou n'est pas réductible, etc. Et je ne vois pas comment on peut écrire cela positivement.

Pour les nombres premiers, je ne suis pas trop d'accord. Parce que si on travaille en finitiste (sans l'axiome de l'infini) la phrase positive garde un sens, alors que la phrase négative "non fini" n'en a pas.

Cordialement,

[invité576543]

L'exemple qui me vient en tête, dont la pertinence est à confirmer, est l'existence d'une infinité de nombres premiers.(...)

Je réécris la suite, en espérant corriger la faute sous-entendue.

On cherche à démontrer que "Pour tout n, il existe un nombre premier supérieur à n". La démonstration par l'absurde consiste à montrer que "Il existe n tel que tout m>n, m n'est pas premier" => faux, et la démonstration procède par la construction d'un nombre m>n et premier, ce qui, combiné avec l'hypothèse, implique (P et non P), donc faux avec le tiers exclu.

Si j'ai bien compris cette démo s'analyse comme, P étant la propriété à démontrer, (non P) => (non P) et non(non(P)), donc (non P) => faux, c'est à dire non(non(P)), ce qui est équivalent à P avec le tiers exclu.

(Ou encore, et je ne sais pas si cela fait une différence, , donc d'où on déduit , et de là, par le tiers exclu, ).

Cordialement,

[leon1789]

Non, justement. Ce n'est pas pareil, et bien cela tout le fond du problème.

D'un point de vue logique oui, vous avez raison.

Mais le problème peut être ailleurs, sur un autre plan que la logique.

[leon1789]

On cherche à démontrer que "Pour tout n, il existe un nombre premier supérieur à n". La démonstration par l'absurde consiste à montrer que "Il existe n tel que tout m>n, m n'est pas premier" => faux, et la démonstration procède par la construction d'un nombre m>n et premier, ce qui, combiné avec l'hypothèse, implique (P et non P)

Et là , on constate toute l'absurdité de ce genre de preuve par l'absurde ! Je ne dis pas que votre preuve est fausse (là n'est pas le problème pour moi), je me place sur un autre plan que celui de la logique pure et dure...

A l'intérieur de la preuve, on donne le moyen de construire un nombre premier satisfaisant au problème posé. Mais comme cette construction est cachée à l'intérieure d'un raisonnement par l'absurde, on ne peut pas l'utiliser à "l'extérieur" puisqu'elle repose sur une hypothèse fausse.

Pourquoi perdre une méthode expérimentable ? Personnellement, je ne peux m'y résoudre... et il est tellement plus simple de dire comment trouver un tel nombre premier directement...