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Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe



  1. #151
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe


    ------

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Le lien donné par Skydancer est très clair, oui.

    La réécriture que tu propose l'est beaucoup moins. Je ne vais pas entrer dans les détails, l'expérience montre que cela ne sert à rien.
    Quelle réécriture ? Parle-t-on de la même chose ? Quelle expérience montre que cela ne sert à rien ?

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Mais je pense qu'il vaut mieux lire le papier que ce que tu en dis.
    Oui, j'en dis peu (quelques lignes extraites), désolé de ne pas avoir copier tout le document sur le forum...

    -----

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  3. #152
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Mis à part que ca dérange des personnes, si ca ne dérange pas soi même déjà, je ne vois pas où pourrait être le problème avec les raisonnements par l'absurde. Il faut surement juste creuser le document.

    Moi je ne pourrais pas te dire mais cela a l'air lié aux ensembles infinis.

  4. #153
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    A priori, la "réduction à l'absurde" est parfaitement valide, et ceci pour tout les mathématiciens, intuitioniste ou non ; puisqu'elle ne nécessite pas d'utiliser le principe du tiers exclu.
    Tu es sur ?

    En logique classique ne peut on pas écrire ?

    (P ==> Faux) ==> Non P <==> (Non P ou Faux) ==> Non P <==> Non P ==> Non P <==> Non (Non P) ou Non P <==> P ou Non P (tiers exclu)

    Patrick

  5. #154
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Autre document ici dont voici le premier paragraphe :
    De très nombreux raisonnements par l'absurde sont des raisonnements directs
    présentés à l'envers. D'autres sont des raisonnements directs à peine déguisés, qu'il est
    facile de transcrire sous forme directe. D'autre preuves, dites par l'absurde, ne sont que
    des preuves de l'absurde: comment démontrer qu'une hypothèse est toujours fausse,
    sinon en la réduisant à l'absurde ?

  6. #155
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    Moi je ne pourrais pas te dire mais cela a l'air lié aux ensembles infinis.
    Si je comprends bien, on peut être plus précis : c'est lié à l'indécidabilité.

    Le cas fini ne pose pas de problème, parce que tout est décidable.

    Cordialement,

  7. #156
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Autre document (...) premier paragraphe : De très nombreux raisonnements par l'absurde sont des raisonnements directs présentés à l'envers. D'autres sont des raisonnements directs à peine déguisés, qu'il est facile de transcrire sous forme directe. D'autre preuves, dites par l'absurde, ne sont que des preuves de l'absurde: comment démontrer qu'une hypothèse est toujours fausse, sinon en la réduisant à l'absurde ?
    A ce que j'en ai lu, personne n'a jamais mis en doute ces choses là dans ce fil.

    La question est ailleurs.

    Cordialement,

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  9. #157
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    La question est ailleurs.
    Dans ce contexte de logique je dirais plutôt la vérité est ailleurs

    Patrick

  10. #158
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    En logique classique ne peut on pas écrire ?
    Ce n'est pas un problème d'algèbre de Boole (ni d'axiomatique), c'est un problème de démonstration.

    La question de fond est comment prouver "P ou (non P)" ?

    Il est clair que si on remplace P par une phrase vraie ou par une phrase fasse, la logique classique dit que "P ou (non P)" est une phrase vraie.

    Mais si P est une phrase indécidable, quelle doit être la valeur de "P ou (non P)"? La réponse n'est pas claire, et n'est pas donnée par l'algèbre de Boole, qui ne concerne que des "vrai" et des "faux" et ce de manière formelle.

    Si je comprends bien (à vérifier), en "mathématiques classiques", parce que "P ou (non P)" sera prouvée dans toute extension d'une théorie rendant décidable une phrase indécidable P, on "anticipe" et accepte qu'elle est prouvée a priori, sans préciser l'extension. En "constructiviste", on exige, pour accepter "P ou (non P)" comme prouvé (et plus généralement "A ou B") de savoir lequel des deux termes est prouvé; du coup, dans le cas P indécidable on préfère considérer "P ou (non P)" indécidable, même si toutes les "décidabilités potentielles" ne peuvent que donner "prouvé".

    En espérant ma lecture et ma réécriture correcte (c'est dans le papier, sous une autre forme).

    Cordialement,

  11. #159
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    La question est ailleurs.
    LA question ... Pourquoi n'y aurait-il qu' UNE question ? Surtout que CETTE question est résolue , non ?

  12. #160
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Ce n'est pas un problème d'algèbre de Boole (ni d'axiomatique), c'est un problème de démonstration.

    La question de fond est comment prouver "P ou (non P)" ?
    Oui. Ce que je voulais exprimer c'est que les deux approches réduction et détour nécessitent à répondre au tiers exclu (l'une est nécessairement fausse si l'autre est vraie, et réciproquement). Car le raisonnement aboutie à si P est contradictoire alors c'est non P (car le tiers est exclu).

    Principe qui ne doit pas s'appliquer aux Qbits des ordinateurs quantique ?

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Mais si P est une phrase indécidable, quelle doit être la valeur de "P ou (non P)"? La réponse n'est pas claire, et n'est pas donnée par l'algèbre de Boole, qui ne concerne que des "vrai" et des "faux" et ce de manière formelle.
    Oui c'est la vision des intuitionnistes : P peut être soit Vrai, soit Faux, soit indécidable.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Si je comprends bien (à vérifier), en "mathématiques classiques", parce que "P ou (non P)" sera prouvée dans toute extension d'une théorie rendant décidable une phrase indécidable P, on "anticipe" et accepte qu'elle est prouvée a priori, sans préciser l'extension. En "constructiviste", on exige, pour accepter "P ou (non P)" comme prouvé (et plus généralement "A ou B") de savoir lequel des deux termes est prouvé; du coup, dans le cas P indécidable on préfère considérer "P ou (non P)" indécidable, même si toutes les "décidabilités potentielles" ne peuvent que donner "prouvé".
    Le contraire d’une proposition indécidable n'est elle pas aussi indécidable ?

    Patrick

  13. #161
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    LA question ...
    Faut se répéter...

    La question d'un fil est normalement celle du message #1.

    Et il n'y a pas été apporté de réponse, à ce que j'en vois. Je ne connais pas la réponse, et je trouverais intéressant qu'il soit proposé des éléments de réponse, même si je ne suis pas à l'origine du fil.

    D'ailleurs, je suis un peu perplexe devant l'absence de réponse à ladite question...

    Cordialement,

    PS: J 'applique ce qui me semble être une règle implicite : il n'est pas de bon goût de faire dériver un fil sur un sujet annexe tant que la question originelle n'a pas reçue une réponse satisfaisante.

  14. #162
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Oui c'est la vision des intuitionnistes : P peut être soit Vrai, soit Faux, soit indécidable.
    Ce n'est pas comme cela que je le comprends. Ce que tu dis là est commun aux différentes approches, il me semble.

    Le contraire d’une proposition indécidable n'est elle pas aussi indécidable ?
    Il me semble que oui. Mais je ne vois pas où mon texte peut être interprété comme disant le contraire

    Cordialement,

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  16. #163
    skydancer

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Tu es sur ?

    En logique classique ne peut on pas écrire ?

    (P ==> Faux) ==> Non P <==> (Non P ou Faux) ==> Non P <==> Non P ==> Non P <==> Non (Non P) ou Non P <==> P ou Non P (tiers exclu)

    Patrick
    Je ne suis pas sur d'avoir compris ou tu veux en venir. En tout cas, ce que je comprend c'est que la "réduction à l'absurde" peut se voir comme : Démontrer Non E en supposant E puis en aboutissant à une contradiction, ce que tu écris par : (P ==> Faux) ==> Non P.
    Pour moi, ceci n'implique pas d'utiliser le tiers exclu puisqu'en montrant que P est faux on démontre bien Non P, c'est la définition de la négation tout simplement !

    Par contre : Démontrer E en supposant Non E puis en aboutissant à une contradiction, signifie que l'on a démontré Non ( Non E) , ce qui est plus faible que E. Pour conlure sur E il faut utiliser le tiers exclu...

    Sinon, je serais d'accord pour dire que tout le problème se situe sur les propositions non décidables et comment les traiter en logique... Si une proposition est indécidable, le principe du tiers exclus est violé puisque ( E ou Non E) n'a pas de sens pour ces propositions. On a quelque chose du genre (Ni E Ni Non E), mais je ne sais pas comment traiter ces propositions....

  17. #164
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ihabo01 Voir le message
    Bonjour à tous,
    Je me demandais s'il existe un théorème ou un axiome qui dit que tous ce qu'on peut démontrer par l'absurde est démontrable par voie directe?
    Merci
    Disons qu'il y a un axiome qui montre que toute preuve par l'absurde peut s'écrire par voie directe : c'est l'axiome du tiers exclus !
    Voir la preuve de cela dans la référence que j'ai donnée, page 10.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    La question d'un fil est normalement celle du message #1.
    Est-ce ok maintenant ?

  18. #165
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    Je ne suis pas sur d'avoir compris ou tu veux en venir. En tout cas, ce que je comprend c'est que la "réduction à l'absurde" peut se voir comme : Démontrer Non E en supposant E puis en aboutissant à une contradiction, ce que tu écris par : (P ==> Faux) ==> Non P.
    Pour moi, ceci n'implique pas d'utiliser le tiers exclu puisqu'en montrant que P est faux on démontre bien Non P, c'est la définition de la négation tout simplement !
    (E ==> contradiction) ==> non E

    Signifie que l'on a démontré Non E parce que si c'est pas E c'est non E (E ou non E : c'est l'un ou l'autre il n'y a pas de tierce solution).

    Patrick

  19. #166
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Le contraire d’une proposition indécidable n'est elle pas aussi indécidable ?
    Le contraire du tiers exclus est faux (et pourtant le tiers est indécidable).

    En effet, un peu de logique :

    tiers exclus = (P ou non P)
    non (tiers exclus) = non (P ou non P)
    non non (tiers exclus) = non non (P ou non P) = vrai (voir document signalé par skydancer , haut de la page 6)
    non non non (tiers exclus) = faux

    Or (non Q = non non non Q)
    donc non (tiers exclus) est faux.

  20. #167
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Est-ce ok maintenant ?
    Si tu veux dire qu'on a répondu de manière satisfaisante à la question du message #1, merci de préciser où est cette réponse. Je n'en ai pas vu.

    Cordialement,

  21. #168
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Si tu veux dire qu'on a répondu de manière satisfaisante à la question du message #1, merci de préciser où est cette réponse. Je n'en ai pas vu.

    Cordialement,
    ah intéressant ! La preuve que j'ai mentionnée (page 10 du doc.) n'est-elle pas suffisante ?

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  23. #169
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Ce n'est pas comme cela que je le comprends. Ce que tu dis là est commun aux différentes approches, il me semble.
    Ce que je comprend : Du point de vue intuitionniste, une formule logique est valide si et seulement si une preuve de celle-ci existe.

    Lorsque l'expression est de la forme « P ou non P » la logique intuitionniste est, à priori, dans l’incapacité d’associer une valeur de vérité à P et à non P

    Non ((il existe x)Fx) ou (il existe x)Fx

    Il arrive pourtant qu’on ne puisse pas le faire et dans ce cas la proposition étudiée devient indécidable. Il suffit de supposer que le domaine d’interprétation de la formule soit infini dénombrable pour que notre progression ne nous fasse peut-être jamais rencontrer un x ayant la propriété F.

    En logique classique cette notion d'indécidable n'existe pas me semble t'il ?

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Il me semble que oui. Mais je ne vois pas où mon texte peut être interprété comme disant le contraire
    J'ai pas bien compris alors le sens de

    ...du coup, dans le cas P indécidable on préfère considérer "P ou (non P)" indécidable, même si toutes les "décidabilités potentielles" ne peuvent que donner "prouvé".
    Si P est indécidable et donc non P aussi alors pourquoi considérer (P ou (non P)) ? cela apporte quoi de plus ?

    Patrick

  24. #170
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Le contraire du tiers exclus est faux (et pourtant le tiers est indécidable).
    Le tiers exclus est un principe. Le contraire d'un principe c'est un autre principe.

    tiers exclus = (P ou non P)
    non (tiers exclus) = non (P ou non P)
    non non (tiers exclus) = non non (P ou non P) = vrai (voir document signalé par skydancer , haut de la page 6)
    Certes. Les différentes approches concordent sur le fait que "non non (P ou non P) " est prouvé. Mais on ne peut pas aller plus loin : puisque tu cites le document, autant citer la suite, non? C'est à dire

    Dès lors, prétendre que E∨¬E est faux implique
    que sa double négation est fausse également, ce qui rend le système inconsistant puisqu’on peut la démontrer.
    [Note : ton message est un exemple de ce que j'appelle une réécriture pas claire du texte, pour ne pas dire plus. Je ne trouve pas cela très constructif.]

    Cordialement,

  25. #171
    invité576543
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    En logique classique cette notion d'indécidable n'existe pas me semble t'il ?
    Le théorème d'incomplétude de Gödel s'applique à la logique classique, non?

    Si P est indécidable et donc non P aussi alors pourquoi considérer (P ou (non P)) ? cela apporte quoi de plus ?
    Ben, c'est le fond de la problèmatique du tiers exclu, non?

    Le principe du tiers exclu veut que "P ou (non P)" soit considéré comme prouvé pour toute formule P. Les formules P décidables ne posent pas de problème : la problématique ne se pose que pour les indécidables. Du moins c'est ce que je comprends.

    Cordialement,

  26. #172
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Le contraire du tiers exclus est faux (et pourtant le tiers est indécidable).

    En effet, un peu de logique :

    tiers exclus = (P ou non P)
    non (tiers exclus) = non (P ou non P)
    non non (tiers exclus) = non non (P ou non P) = vrai (voir document signalé par skydancer , haut de la page 6)
    non non non (tiers exclus) = faux

    Or (non Q = non non non Q)
    donc non (tiers exclus) est faux.
    Il faut alors appliquer la même logique au tiers exclu (P ou Non P) est une tautologie donc est décidable.

    Patrick

  27. #173
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Le tiers exclus est un principe. Le contraire d'un principe c'est un autre principe.
    Et alors ? Je prouve simplement que la négation d'une assertion P indécidable peut être fausse : exemple P = le tiers exclus !

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Certes. Les différentes approches concordent sur le fait que "non non (P ou non P) " est prouvé. Mais on ne peut pas aller plus loin :
    ah bon... on peut faire une double négation, mais on n'a pas le droit de faire une triple négation ? euh...

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    puisque tu cites le document, autant citer la suite, non? C'est à dire
    Dès lors, prétendre que E∨¬E est faux implique
    que sa double négation est fausse également, ce qui rend le système inconsistant puisqu’on peut la démontrer.
    Tu es marrant toi ! Quand je cite le document, tu n'es pas content, et quand je fais une référence, tu n'es pas content...
    Mais bon, pas grave, le principal c'est de savoir la bonne réponse

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    [Note : ton message est un exemple de ce que j'appelle une réécriture pas claire du texte, pour ne pas dire plus. Je ne trouve pas cela très constructif.]
    Répondre correctement aux questions n'est pas constructif ...

    Mon message n'est pas une réécriture de ce que j'ai lu dans le texte.
    Mais je peux me tromper : montre moi dans ce document la preuve (en logique formelle !) du fait que la négation du tiers exclus est fausse, stp.


    Maintenant, si tu n'es pas content d'avoir dit "Il me semble que oui." et que finalement la réponse est "non", ce n'est pas de ma faute : tout le monde peut se tromper, moi le premier !

  28. #174
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    ............. message effacé.

  29. Publicité
  30. #175
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Il faut alors appliquer la même logique au tiers exclu (P ou Non P) est une tautologie donc est décidable.
    Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Tu veux appliquer quoi à Q = (P ou Non P) ?

  31. #176
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Le théorème d'incomplétude de Gödel s'applique à la logique classique, non?



    Ben, c'est le fond de la problèmatique du tiers exclu, non?

    Le principe du tiers exclu veut que "P ou (non P)" soit considéré comme prouvé pour toute formule P. Les formules P décidables ne posent pas de problème : la problématique ne se pose que pour les indécidables. Du moins c'est ce que je comprends.

    Cordialement,
    Oui mais on l'introduit comment l'incomplétude de Gödel dans P ou (non P) en logique classique ?

    Patrick

  32. #177
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Tu veux appliquer quoi à Q = (P ou Non P) ?
    Oui comme toi en logique de boole j'obtient vrai donc décidable au même titre que faux est décidable comme tu le montre.

    Pour rester cohérent de bout en bout ne faut-il pas utiliser la même logique ?

    Patrick

  33. #178
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Oui comme toi en logique de boole j'obtient vrai donc décidable au même titre que faux est décidable comme tu le montre.
    heu, je pense qu'il y a une erreur quelque part : stp , montre nous comment tu obtiens "vrai", on va étudier ça.

  34. #179
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par leon1789 Voir le message
    heu, je pense qu'il y a une erreur quelque part : stp , montre nous comment tu obtiens "vrai", on va étudier ça.
    Il y a quelque chose qui doit m'échapper. Deux cas possible (en logique de boole). Soit P est vrai alors P ou Non P est vrai. Soit P est faux donc non P est vrai donc P ou non P est vrai. Dans tous les cas (en logique de boole) P ou Non P est toujours vrai

    Patrick

  35. #180
    leon1789

    Re : Démontrable par l'absurde...démonstrable par voie directe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Il y a quelque chose qui doit m'échapper. Deux cas possible (en logique de boole). Soit P est vrai alors P ou Non P est vrai. Soit P est faux donc non P est vrai donc P ou non P est vrai. Dans tous les cas (en logique de boole) P ou Non P est toujours vrai

    Patrick
    ok ! (Ta preuve n'est pas du tout comme la mienne. Je ne me place pas dans une logique de Boole)

    Tu sais pourquoi tu arrives à prouver la validité du tiers exclus ? Parce que tu l'as supposée en te plaçant en logique de Boole.

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