Inversion de laplace fraction

[invitef17530e3]

J'ai un problème pour trouver l'inverse de la fraction suivante:

F(p)= (1+a*p)/(1+b*p) avec a différent de b

Je ne vois pas trop comment commencer.
J'attend vos commentaires avec impatience..
Merci
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[invitede32eed7]

Tu sépares le numérateur :


Le premier membre est une forme usuelle qui va te donner une exponentielle décroissante, la deuxième est usuelle aussi quand tu as en tête que multiplier par p revient à faire une dérivation...

[invitef17530e3]

Pour la première fonction ,je vois trés bien l'inverse, mais pour la seconde,j'ai un peu de mal...je débute tout juste dans ce domaine...

[invitede32eed7]

Multiplier dans le domaine de Laplace par p, c'est équivalent en temporel à une dérivation par rapport au temps (la démonstration : http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo....C3.A9rivation)

Tu as donc :



Tu sais inverser le terme :


Il te suffit ensuite de le dériver temporellement et de le multiplier par a puisque la transformée de Laplace est linéaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17530e3]

J'ai bien compris qu'il faut employé la méthode mais je n'arrive pas à me lancer dans le résultat...

[invitede32eed7]

C'est pas de la paresse, ça ? (en ce qui me concerne, ça en était ! ^^)

Quand tu décomposes en deux termes comme je te l'ai indiqué.
L'inverse du premier terme vaut :

U(t) étant la fonction échelon.

Le deuxième terme, comme je t'ai dis, la multiplication par p dans le domaine de Laplace génère une dérivation en temporel. L'inverse du second terme vaut donc :


Tu effectues la dérivé du produit :


Or le dirac vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs, donc on peut remplacer l'explonentielle par sa valeur en 0, c'est à dire 1)

Tu obtiens donc le résultat suivant :


Petite question de ma part quand même : c'est un exercice "comme ça" ou c'est un résultat auquel tu as abouti (genre en électronique, automatique ou méca ???)

[invitef17530e3]

Effectivement, j'étais loin du résultat.
Merci.
Il s'agit d'un exercice de Physique de classe de BTS, qui nous demande d'établir temporellement la fonction de transfert d'un asservissement d'un robot.

[invitede32eed7]

Je posais la question car normalement (mais mes souvenirs sont lointain) sur une fonction de transfert, il faut que l'ordre du numérateur soit inférieur (ou inférieur ou égal, je ne sais plus) à l'ordre du dénominateur. Ca permet de garantir la causalité me semble-t-il mais j'avoue ne plus en être certain et être incapable de te le démontrer... Si d'autres personnes peuvent nous éclairer, ce serait bienvenu et sympa de votre part !