Géométrie algébrique et morphismes.

[thepasboss]

Bonjour,

je me met depuis peu à essayer de rattraper mon retard considérable en géométrie algébrique, et je manque énormément de confiance en moi.
J'essaye donc de déterminer les morphismes entre l'espace projectif P(C²) et C, et je n'arrive pas à voir si le raisonnement assez simple que je fais est juste ou si je rate des subtilités... Le voici :

Soit f un tel morphisme, et soit [x:y] dans P(C²), Il existe U un ouvert affine (ie un ouvert qui a une structure de variété affine) contenant [x:y] et V ouvert affine de C qui contient l'image de U par f tel que la restriction de f à U est un morphisme de variété algébrique. Cela entraine (c'est là que je ne suis pas sur de moi du tout) que sur U f est de la forme

F([X:Y])=P(x,y) où P est un polynôme.

Comme ce polynôme ne doit pas dépendre du choix d'un représentant, P est constant, et ensuite par recollement f est constante partout...

Si ce raisonnement n'est pas faux, je pense qu'il s'étend au cas des morphismes de P(C^n) dans P(C^m) (les morphismes ne seraient alors plus des constantes bien sur !) mais bon...

Merci d'avance !
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[invite76543456789]

Salut!
Tu n'as pas ecrit que des choses correctes.

Deja C (ou A1) est une variété affine.

Ensuite j'imagine que ton but c'est demontrer que les seules fonctions regulieres sur P1 ce sont les constantes.
P1 est recouvert par deux ouverts affines tous deux isomorphes à A1, un morphisme de de A1 dans A1 la effectivement c'est la donnée d'un polynome de k[T].
Donc se donner un morphisme de P1 dans A1 c'est se donner deux polynomes f et g tel que f(1/t)=g(t), et tu vois bien alors que f et g doivent etre constant et donc un morphisme de P1 dans A1 est donné par une constante.

Par contre si tu prend U un ouvert affine quelconque de P1, il n'est pas du tout dit qu'un morphisme de cet U dans P1 soit donné simplement par un polynome. Par exemple si tu prends A1 privé de 0, c'est un ouvert affine inclus dans P1, et un morphisme de U dans A1 c'est une fraction rationnelle en t dont le denominateur n'est pas nul en 0. Pas un polynome.

Ceci se generalise au cas des morphismes de P^n dans A^n, et plus generalement d'une variété propre dans une variété affine.

[thepasboss]

Par contre si tu prend U un ouvert affine quelconque de P1, il n'est pas du tout dit qu'un morphisme de cet U dans P1 soit donné simplement par un polynome. Par exemple si tu prends A1 privé de 0, c'est un ouvert affine inclus dans P1, et un morphisme de U dans A1 c'est une fraction rationnelle en t dont le denominateur n'est pas nul en 0. Pas un polynome.

merci pour cette réponse ! Je vais essayer de voir si j'arrive à montrer cet exemple ci... Tu pourras vérifier ?

En fait mon cours est assez rapide puisque se basant sur l'idée que ceux qui y participent ont déjà un bon niveau en GA et tout est torché à toute vitesse, et j'y comprend pas grand chose ><'. Tu pourrais me dire si ce que j'ai comprit de la notion de morphisme est bonne ?

Premier niveau : Si on prend X et Y deux variété fermées respectivement de An et Am, alors f est un morphisme entre X et Y si et seulement si il F polynomiale de An dans Am qui étend f (IE, La restriction de F à X est f).

Deuxième niveau : si on s'intéresse aux morphisme de X dans Am, on peut identifier l'ensemble des morphisme au quotient de l'anneau des polynômes de An dans Am par l'idéal qui définit X ? (j'ai un peu peur de dire une connerie là)

Troisième niveau : Pour faire plus général, on fait tout ça en local... oui mais comment précisément ? Avec la def que je donne par exemple, je ne vois pas ce qui assure qu'en restreignant le morphisme f de P1 dans A1 à une des deux copies de A1, alors j'aurais bien un morphisme de la dite copie dans A1 ><'.

Alors si je m'essaye à ce que tu dis :

On veut connaitre L'ensemble des morphismes de C* dans C.
On remarque que C* est définit par l'ensemble des points de C où l'identité ne s'annule pas (ça casse des briques ça ><').
Donc C* s'identifie comme variété algébrique affine à {(x,y) | xy=1}.
Donc l'ensemble des morphismes de C* dans C s'identifie à

C[X,Y]/<XY-1>

De la à relier ça à des fractions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas en 0... à la limite j'aurais plus vu les morphismes comme les applications de la forme P(x,1/x) Ou P est dans C[X,Y] mais ça ne colle pas avec ce que tu dis. Je me goure où ?

[invite76543456789]

Bon alors deja une correction par rapport a mon message quand j'ai
ecrit "un morphisme de U dans A1 c'est une fraction rationnelle dont
le denominateur est non nul en 0" je voulais pile poil ecrire l'opposé
c'est à dire " une fraction rationnelle dont le denominateur ne
s'annule pas hors de 0". Ca cadre bien avec ce que tu trouves. En fait c'est
juste un element du localisé de k[T] en T, i.e k[T,T^{-1}]. Donc tu ne
te gourrais pas du tout!

Revenons a ta notion de morphisme.
Si tu as deux variétés fermes, X et Y, de An et Am, pour moi une
morphisme de l'une dans l'autre c'est juste se donner un morphisme
d'anneau de C[T1,..,T_m]/I(Y) dans C[T1,...,T_n]/I(X).
Effectivement ca correspond a se donner un morphisme de C[T_1,..,T_m]
dans C[T1,..,T_n] qui envoie I(Y) dans I(X), c'est a dire ce que tu
disais, c'est se donner un morphisme de An dans Am, qui se retreint en
ton morphisme de X dans Y.

Ca fait aussi le lien avec ton point 2, un morphisme de X dans Am,
c'est une morphisme d'anneau de C[T1,...Tm] dans C[T1,...,T_n]/I(X).
et un tel morphisme c'est juste se donner les images de T1,...,Tm dans
C[T1,...,T_n]/I(X).
De facon plus geométrique se donner un *morphisme de X dans Am, c'est
juste se donner m fonctions regulieres sur X.

Pour le point local, il faut que tu m'en dises un peu plus sur ta
definition de variété. Qu'est ce pour toi une variété algébrique?
Enfin ce sera globalement la meme chose quelque soit ta definition.
Tu recouvre tes variétes X et Y par des ouverts affines. Se donner un
morphisme d'un ouvert affine U dans un ouvert affine V, c'est juste se
donner un morphisme d'anneau de l'anneau des fonctions regulieres au
dessus de V dans l'anneau des fonctions regulieres au dessus de U, et
ensuite tu recolle cette construction locale. (dans le contexte
schématique, U et V sont le spectre de n'importe quel anneau, dans un
contexte variété c'est le spectre (maximal eventuellement) d'une
C-algèbre de type fini (eventuellement reduite), j'ai l'impression que
dans ton contexte U et V seront des ouverts affines principaux de An)

[A voir en vidéo sur Futura]